高中 解析几何 常用公式

解析几何

1.两直线分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的关系
平行不重合A1B2=A2B1且C1B2≠C2B1
相交：A1B2≠A2B1
垂直：B1B2≠0时，A1A2=-B1B2
B1=0,A2=0或B2=0，A1=0
重合：A1B2=A2B1且C1B2=C2B1
:
3.三角函数公式
★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα

cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
[编辑本段]诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于π2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到 α相应的余函数值，即
sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4?π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符
号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k?360°+α（k∈Z）， -α、
180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
＃
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；
二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦
＃
还有一种按照函数类型分象限定正负：
函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 ...........＋............
＋............ —............—........
余弦 ...........＋...... ......—............—............
＋........
正切 ...........＋............—............
＋..... .......—........
余切 ...........＋............ —............
＋............—........
其他三角函数知识：
[编辑本段]同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的关系：

sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
[编辑本段]同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个
顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系
式。
（3）平方关系 ：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角
函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方 。
[编辑本段]两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα?tanβ)
[编辑本段]倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα[1－tan^2(α)]
[编辑本段]半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sin^2(α2)＝(1－cosα)／2
cos^2(α2)＝(1＋cosα)／2
tan^2(α2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
另也有tan(α2)=(1－cosα)sinα=sinα(1+cosα)
[编辑本段]万能公式
⒌万能公式
sinα＝2tan(α2)／[1＋tan^2(α2)]
cosα＝[1－tan^2(α2)]／[1＋tan^2(α2)]
tanα＝2tan(α2)／[1－tan^2(α2)]
[编辑本段]万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^ 2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋
tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
[编辑本段]三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]
[编辑本段]三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
[编辑本段]三倍角公式联想记忆
★记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣
钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用
余弦表示。
★另外的记忆方法:
正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是倍α,
无指的是减号, 四指的是倍立指的是sinα立方
余弦三倍角: 司令无山 与上同理
[编辑本段]和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)2]?cos[(α－β)2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)2]?sin[(α－β)2]
[编辑本段]积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
cosα ?sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosα ?cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
sinα ?sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]
[编辑本段]和差化积公式推导
附推导：
首先,我们知道
sin(a+b)=sina*cosb+cos a*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道
cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和
差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么
a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)