高中数学必修一测试卷及答案3套

高中数学必修一测试卷及答案3套
测试卷一
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如果
A
＝{
x
|
x
>－1}，那么( )
A．0?
A

C．?∈
A





B．{0}∈
A

D．{0}?
A

1
2．已知
f
(
x
－1)＝2
x
＋3，< br>f
(
m
)＝6，则
m
等于( )
2
1
A．－
4
3
C.
2





1
B.
4
3
D．－
2
3．函数
y
＝
x
－1＋lg(2－
x
) 的定义域是( )
A．(1,2)
C．[1,2)
3




B．[1,4]
D．(1,2]
4．函数
f
(
x
)＝
x
＋
x
的图象关于( )
A．
y
轴对称 B．直线
y
＝－
x
对称
D．直线
y
＝
x
对称 C．坐标原点对称
5．下列四类 函数中，具有性质“对任意的
x
>0，
y
>0，函数
f
(< br>x
)满足
f
(
x
＋
y
)＝
f
(
x
)
f
(
y
)”的是( )
A．幂函数
C．指数函数


B．对数函数
D．一次函数
6．若0<
m
<
n
，则下列结论正确的是( )
A．2>2
mn

1
m
1
n
B．()<()
22

0.3
C．log
2
m
>log
2
n
D．
log
1
m
>
log
1
n

2
0.2
2
7．已知
a
＝0.3，
b
＝2，
c
＝0.3，则
a
，
b
，
c
三者的大小关系是( )
A．
b
>
c
>
a

C．
a
>
b
>
c







B．
b
>
a
>
c

D．
c
>
b
>
a

8．函数
f< br>(
x
)＝log
3
x
－8＋2
x
的零点一定 位于区间( )
A．(5,6)
C．(2,3)




B．(3,4)
D．(1,2)

9．下列计算正确的是( )
A．(
a
)＝
a

B．log
2
6－log
2
3＝1
C．
a
?
1
2
329
·
a
＝0
2
1
2
D．log
3
(－4)＝2log
3
(－4)
10．已知函数
f
(
x
)＝
a
＋lo g
a
x
(
a
>0且
a
≠1)在[1,2]上的最大 值与最小值之和为log
a
2＋
6，则
a
的值为( )
1
A.
2
C．2






1
B.
4
D．4
x
11．函数
y
＝|lg(
x
＋1)|的图象是( )


4－
b
12．若函数
f
(
x
)＝lg(10＋1)＋
ax
是偶函数，
g
(
x
)＝
x
是奇函数，则
a
＋
b
的值是
2
x
x< br>( )
1
A.
2






B．1
D．－1
1
C．－
2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知
A
＝{ －1,3，
m
}，集合
B
＝{3,4}，若
B
∩
A
＝
B
，则实数
m
＝________.
14．已知
f
(
x
)＝lg
x
，则
f
(2)＝______ __.
15．函数
y
＝
f
(
x
)是定义域为R的 奇函数，当
x
<0时，
f
(
x
)＝
x
＋2 －1，则
x
>0时函数
的解析式
f
(
x
)＝___ ___________.
4
16．幂函数
f
(
x
)的图 象过点(3，27)，则
f
(
x
)的解析式是______________ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
3
5
x

17．(10分)(1)计算：
?
2
x
?
7
?
?
27
?
0
＋(lg5)＋
?
??
；
9
??
?
64
?
1
2
?
1
3
(2)解方程：log
3
(6－9)＝3.



< br>18．(12分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每
涨 1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？




19．(12分)已知函数
f
(
x
)＝－3
x< br>＋2
x
－
m
＋1.
(1)当
m
为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求
m
的值．




20．(12分)已知集合
M
是满足下列性质的函数
f
(
x
)的全体：在定义域
D
内存在
x
0
，使得
2
f
(
x
0
＋1)＝
f
(
x
0
)＋
f
(1)成立．
1
(1)函数
f
(
x
)＝是否属于集合
M
？说明理由；
x
(2)若函数
f< br>(
x
)＝
kx
＋
b
属于集合
M
，试 求实数
k
和
b
满足的约束条件．




21．(12分)已知奇函数
f
(
x
)是定义域[－2,2]上的减 函数，若
f
(2
a
＋1)＋
f
(4
a
－3 )>0，
求实数
a
的取值范围．

< br>22．(12分)已知函数
f
(
x
)＝
(1)若
a< br>＝1，求函数
f
(
x
)的零点；
.
(2)若函数
f
(
x
)在[－1，＋∞)上为增函数，求
a
的取值范围．




答案
1．D [∵0∈
A
，∴{0}?
A
.]
1
2．A [令
x
－1＝
t
，则
x
＝2
t
＋2， < br>2
所以
f
(
t
)＝2×(2
t
＋2)＋3＝ 4
t
＋7.
1
令4
m
＋7＝6，得
m
＝－.]
4
?
?
x
－1≥0
3．C [由题意得：
?
?
?
2－
x
>0
3

，解得1≤
x
<2.]
4．C [∵
f
(
x
)＝
x
＋
x
是奇函数，
∴图象关于坐标原点对称．]
5．C [本题考查幂的运算性质．
f
(< br>x
)
f
(
y
)＝
a
x
a
y
＝
a
x
＋
y
＝
f
(
x
＋
y
)．]
6．D [由指数函数与对数函数的单调性知D正确．]
7．A [因为
a
＝0.3＝0.3<0.3＝
c
<0.3＝1，
而
b
＝2>2＝1，所以
b
>
c
>
a
.]
8．B [
f
(3)＝log
3
3－8＋2×3＝－1<0， 0.30
0.50.20
f
(4)＝log
3
4－8＋2×4＝ log
3
4>0.
又
f
(
x
)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．]
9．B [A中(
a
)＝
a
，故A错；
6
B中log
2< br>6－log
2
3＝log
2
＝log
2
2＝1，故B 正确；
3
C中，
a
?
1
2
326
·a
＝
a
2
1
2
11
??
22
＝
a
＝1，故C错；
2
0
D中，log
3
(－4 )＝log
3
16＝log
3
4＝2log
3
4.]

10．C [依题意，函数
f
(
x
)＝
a< br>＋log
a
x
(
a
>0且
a
≠1)在[1, 2]上具有单调性，因此
a
＋
a
＋log
a
2＝loga
2＋6，解得
a
＝2.]
x
2
11．A [将
y
＝lg
x
的图象向左平移一个单位，然后把
x
轴下 方的部分关于
x
轴对称到
上方，就得到
y
＝|lg(
x＋1)|的图象．]
12．A [∵
f
(
x
)是偶函数，
∴
f
(－
x
)＝
f
(
x
)， < br>1＋10
x
即lg(10＋1)－
ax
＝lg
x
－< br>ax
＝lg(10＋1)－(
a
＋1)
x

10
－
x
x
＝lg(10＋1)＋
ax
，
1
∴
a
＝－(
a
＋1)，∴
a
＝－，又
g
(
x
)是奇函数，
2
∴
g
(－
x)＝－
g
(
x
)，
x
bb
1
－xx
即2－
－
x
＝－2＋
x
，∴
b
＝ 1，∴
a
＋
b
＝.]
222
13．4
解析 ∵
A
＝{－1,3，
m
}，
B
＝{3,4}，
B∩
A
＝
B
，
∴
m
＝4.
1
2
5
解析 令
x
＝
t
，则
x
＝
t
.
51
5
11
∴
f
(
t
)＝lg
t
，∴
f
(2)＝lg2.
55
15．
x
－2＋1
解析 ∵
f
(
x
)是R上的奇函数，∴当
x
>0时，
3 －
x
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝ －[(－
x
)
3
＋2
－
x
－1]＝
x3
－2
－
x
＋1.
16．
f
(
x
)＝
x

解析 设
f
(
x
)＝
x
，则有3＝27，即3＝
3
， 3
∴
n
＝，即
f
(
x
)＝
x
4
.
4
3
nn
3
4
4
n
34
17．解 (1)原式＝
?
54
＝＋1＋＝4.
33
?
?
3
?
?
25
?
0
＋(lg5)＋< br>?
??
?
?
9
?
?
?
?
4
?
1
2
1
3
?
3
?
?

?
?
(2)由方程log
3
(6－9)＝3得
x

6－9＝3＝27，∴6＝36＝6，
∴
x
＝2.
经检验，
x
＝2是原方程的解．
18．解 设最佳售价为(50＋
x
)元，最大利润为
y
元， x
3
x
2
y
＝(50＋
x
)(50－
x
)－(50－
x
)×40
＝－
x
＋40
x
＋500.
当
x
＝20时，
y
取得最大值，所以应定价为70元．
故此商品的最佳售价应为70元．
19．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3
x
＋2
x
－
m
＋1＝0有两个根，易知
Δ
>0，
即
Δ
＝4＋12(1－
m
)>0，
444
可解得
m
<；
Δ
＝0，可解得
m
＝；
Δ
<0，可 解得
m
>.
333
4
故
m
<时，函数有两个零点；
3
2
2
m
＝时，函数有一个零点；
m
>时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－
m
＝0，可解得
m
＝1.
20．解 (1)
D
＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，
1
若
f
(
x
)＝∈
M
，则存在非零实数
x
0
，
4
3
4
3
x
使得
2
11
＝＋1，
x
0
＋1
x
0
即
x
0
＋
x
0
＋1＝0，
1
因为此方程无实数解，所以函数
f
(< br>x
)＝?
M
.
x
(2)
D
＝R，由
f
(
x
)＝
kx
＋
b
∈
M
，存 在实数
x
0
，使得
k
(
x
0
＋1)＋< br>b
＝
kx
0
＋
b
＋
k
＋
b
，解得
b
＝0，
所以，实数
k
和
b
的取 值范围是
k
∈R，
b
＝0.
21．解 由
f
(2
a
＋1)＋
f
(4
a
－3)>0得
f
(2
a
＋1)>－
f
(4
a
－3)，
又
f< br>(
x
)为奇函数，得－
f
(4
a
－3)＝
f
(3－4
a
)，
∴
f
(2
a
＋1)>< br>f
(3－4
a
)，
又
f
(
x
)是定义域[－2,2]上的减函数，
∴2≥3－4
a
>2
a
＋1≥－2

a≥
1
?
2≥3－4
a
4
即
?
?
3－4
a
>2
a
＋1
?
?
2
a
＋1≥－2

?
?
∴
?
a
<
1
?
3
?
a
≥－
3
2


∴实数a
的取值范围为[
1
4
，
1
3
)．
22．解 (1)当
a
＝1时，由
x
－
2
x
＝0，
x
2
＋2
x
＝0，
得零点为2，0，－2. < br>(2)显然，函数
g
(
x
)＝
x
－
21x
在[
2
，＋∞)上递增，
且
g
(
1
2
)＝－
7
2
； 函数
h
(
x
)＝
x
2
＋2
x
＋
a
－1在[－1，
1
2
]上也递增，
且
h(
1
2
)＝
a
＋
1
4
.
故若函数
f
(
x
)在[－1，＋∞)上为增函数，
则a
＋
1
4
≤－
7
2
，∴
a
≤ －
15
4
.
故
a
的取值范围为(－∞，－
15
4
]．


测试卷二
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．集合
A
＝{ 0,2，
a
}，
B
＝{1，
a
2
}，若
A
∪
B
＝{0,1,2,4,16}，则
a
的值为(
A．0 B．1
C．2 D．4
2．设函数
f
(
x
) ＝，则
f
(
1
f
3
)的值为( )
)

A.
127

128








D.
127
B．－
128
1

16
1
C.
8
3．若函数
y
＝
f
(
x
)的定义域是[0,2]，则函数
g< br>(
x
)＝
A．[0,1]

2
f
2
x
的定义域是( )
x
－1


B．[0,1)
D．(0,1) C．[0,1)∪(1,4]
4． 已知
f
(
x
)＝(
m
－1)
x
＋3
mx
＋3为偶函数，则
f
(
x
)在区间(－4,2)上为( )
A．增函数

B．减函数
C．先递增再递减
2
D．先递减再递增
0.3
5．三个数
a
＝0.3，b
＝log
2
0.3，
c
＝2之间的大小关系是( )
A．
a
<
c
<
b

C．
b
<
a
<
c









B．
a
<
b
<
c

D．
b
<
c
<
a

6．若函数
f
(
x
)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2 )内，那么下列
命题中正确的是( )
A．函数
f
(
x
)在区间(0,1)内有零点
B．函数
f
(
x
)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数
f
(
x
)在区间[2,16)内无零点
D．函数
f
(
x
)在区间(1,16)内无零点
7．已知 0<
a
<1，则方程
a
＝|log
a
x
|的实根个 数是( )
A．2
C．4










B．3
D．与
a
值有关
|
x
|
8．函数
y＝1＋ln(
x
－1)(
x
>1)的反函数是( )
A．< br>y
＝e
C．
y
＝e
x
＋1
－1(
x
>0)
－1(
x
∈R)
2

B．
y
＝e
D．
y
＝e
x
－1
＋1(
x
>0)
＋1(
x
∈R)
x
＋1
x< br>－1
9．函数
f
(
x
)＝
x
－2
a x
＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数
a
的取值范
围是( )
A．－1<
a
<1
5
C．1<
a
<
4







B．
a
<－1或
a
>1
5
D．－<
a
<－1
4
10．若一系列函数的解析式和值 域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函
数”，例如函数
y
＝
x< br>，
x
∈[1,2]与函数
y
＝
x
，
x
∈[－2，－1]即为“同族函数”．请你找出
下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )
A．
y
＝
x
B．
y
＝|
x
－3|
22

C．
y
＝2
x
D．
y
＝
log
1
x

2
11．下列4个函数中：
①
y
＝2008
x
－1；
2 009－
x
②
y
＝log
a
(
a
>0且
a
≠1)；
2 009＋
x
x
2 009
＋
x
2 008
③
y
＝；
x
＋1
④
y
＝
x
(
11
＋)(
a
>0且
a
≠1)．
a
－12
－
x
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )
A．①
C．①③






B．②③
D．①④
11
12．设函数的集合
P
＝{< br>f
(
x
)＝log
2
(
x
＋
a)＋
b
|
a
＝－，0，，1；
b
＝－1,0,1}，平 面上
22
11
点的集合
Q
＝{(
x
，
y< br>)|
x
＝－，0，，1；
y
＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中 ，
P
中函数
22
f
(
x
)的图象恰好经过
Q
中两个点的函数的个数是( )
．．
A．4
C．8

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
1
－4
13．计算：0.25×(－)＋lg8＋3lg5＝________.
2










B．6
D．10
14．若规定＝|
ad
－
b c
|，则不等式<0的解集是____________．
15．已知关于
x
的函数
y
＝log
a
(2－
ax
)在[0,1]上是减函 数，则
a
的取值范围是
________．
16．已知函数
f(
x
)是定义在R上的奇函数，当
x
>0时，
f
(x
)＝1－2，则不等式
f
(
x
)<
1
－的解 集是______________．
2
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数
f
(
x
)＝
log
1
(x?1)
的定义域为集合
A
，函数
g
(
x
)＝< br>3
2
m?2x?x
2
－
x
－1
的值域为集合
B
，且
A
∪
B
＝
B
，求实数
m< br>的取值范围．

18．(12分)已知
f
(
x
)＝
证明你的结论．



19．(12分)若非零函数
f
(
x
)对任意实数
a
，
b
均有
f
(
a
＋b
)＝
f
(
a
)·
f
(
b
) ，且当
x
<0时，
x
＋
a
是定义在[－1,1]上的奇函数 ，试判断它的单调性，并
x
＋
bx
＋1
2
f
(x
)>1；
(1)求证：
f
(
x
)>0；
(2)求证：
f
(
x
)为减函数；
11
22(3)当
f
(4)＝时，解不等式
f
(
x
＋
x
－3)·
f
(5－
x
)≤.
164



20．(12分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不< br>同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台
9 0元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张
球台开展活 动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动
x
小时的收费为
f
(
x
)元(15≤
x
≤40)，在 乙家租一张球
台开展活动
x
小时的收费为
g
(
x
) 元(15≤
x
≤40)，试求
f
(
x
)和
g
(
x
)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？




21．(12分)已知函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
D
，且
f
(
x
)同时满足以下条件：
①
f
(
x
)在
D
上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[
a
，
b
]
D
(其中
a<
b
)，使得当
x
∈[
a
，
b
]时，
f
(
x
)的取值集合也是[
a
，
b
]．那 么，我们称函数
y
＝
f
(
x
)(
x
∈D
)是闭函数．
(1)判断
f
(
x
)＝－
x
是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若
f
(
x
)＝
k
＋
x
＋2是闭函数，求实数
k
的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)
3

22．(12分)已知
f
(
x
)是定义在R上的奇函数，当
x
≥0时，
f
(
x
)＝
a
－1.其中
a
>0且
x
a
≠1.
(1)求
f
(2)＋
f
(－2)的值；
(2)求
f
(
x
)的解析式；
(3)解关于
x< br>的不等式－1<
f
(
x
－1)<4，结果用集合或区间表示．




答案
1．D [∵
A
∪
B
＝{0,1,2，
a
，
a
}，
又∵
A
∪
B
＝{0,1,2,4,16}，
∴
?
?
?
a
＝4，
2
2
?
?
a
＝16，
否则有
?
?
a
＝16
?
?
?< br>a
＝4
2


即
a
＝4.
矛盾．]
2
2．A [∵
f
(3)＝3＋3×3－2＝16，
∴
11
＝，
f
316
111
2
2127
)＝
f
()＝1－2×()＝1－＝.]
f
3161625612 8
∴
f
(
?
?
0≤2
x
≤2
3． B [由题意得：
?
?
?
x
≠1
2

，∴0≤
x
<1.]
4．C [∵
f
(
x
)＝(
m
－1)
x
＋3
mx
＋3是偶函数，
∴
m
＝0，
f
(
x
)＝－
x
＋3，函数图象 是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，
f
(
x
)在
(－4, 2)上先增后减．]
5．C [2>2＝1＝0.3>0.3>0＝log
2
1>log
2
0.3.]
6．C [函数
f
(
x
)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函 数
f
(
x
)在区间[2,16)内无零
点．]
7．A [ 分别画出函数
y
＝
a
与
y
＝|log
a
x
|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为
2.]
|
x
|
0.3002
2

8．D [∵函数
y
＝1＋ln(
x
－1)(
x
>1)，
∴ln(
x
－1)＝
y
－1，
x
－1＝e
2
y
－1
，
y
＝e
x
－1
＋1(
x
∈R)．]
9．C [∵
f
(
x
)＝
x
－2
ax
＋1，
∴
f
(
x
)的图象是开口向上的抛物线．
f
0> 0，
?
?
由题意得：
?
f
1<0，
?
?< br>f
2>0.
10．B

1>0，
?
?
即< br>?
1－2
a
＋1<0，
?
?
4－4
a
＋1>0，

5
解得1<
a
<.]
4
11．C [其中①不过原点，则不可能为奇函数，而且也不可能为偶函数；③中定义域不
关于原点对称，则既不是 奇函数，又不是偶函数．]
11
12．B [当
a
＝－，
f
(
x
)＝log
2
(
x
－)＋
b
，
22
1
∵
x
>，
2
∴此时至多经过
Q
中的一个点；
1
当
a
＝0时，
f
(
x
)＝log
2
x
经过(，－1) ，(1,0)，
2
f
(
x
)＝log
2
x
＋1经过(，0)，(1,1)；
1
当
a
＝1时，
f
(
x
)＝log
2
(
x
＋1)＋1经过(－，0)，(0,1 )，
2
1
2
f
(
x
)＝log
2
(
x
＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
111
当
a< br>＝时，
f
(
x
)＝log
2
(
x
＋ )经过(0，－1)，(，0)
222
f
(
x
)＝log
2
(
x
＋)＋1经过(0,0)，(，1)．]
13．7
解析 原式＝0.25×2＋lg8＋lg5＝(0.5×2)×2＋lg(8×5)＝4＋lg1000＝7.
14．(0,1)∪(1,2)
43223
1
2
1
2
?
1
解析
?
?
1
由log
2
1
?
x
?< br>?
＝|
x
－1|，
|
x
－1|<0，得0<|
x
－1|<1，
即0<
x
<2，且
x
≠1.
15．(1,2)
解析 依题意，
a
>0且
a
≠1，
∴2－
ax
在[0,1]上是减函数，

即当
x＝1时，2－
ax
的值最小，又∵2－
ax
为真数，
?
?
a
>1
∴
?
?
?
2－
a
>0

，解得1<
a
<2.
16．(－∞，－1)
1
－
x
解析 当
x
>0时，由1－2<－，
2
1
x
3
()>，显然不成立．
22
当
x
<0时，－
x
>0.
因为该函数是奇函 数，所以
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝2－ 1.
1
xx
－1
由2－1<－，即2<2，得
x
<－1.
2
1
又因为
f
(0)＝0<－不成立，
2
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
17．解 由题意得
A
＝ {
x
|1<
x
≤2}，
B
＝(－1，－1＋3
由< br>A
∪
B
＝
B
，得
A
?
B
， 即－1＋3
所以
m
≥0.
18．解 ∵
f
(
x< br>)＝
1＋
m
1＋
m
x
]．
≥2，即3
1＋
m
≥3，
x
＋
a
是定义在[－1,1]上的奇函数，
x
＋
bx
＋1
2
0＋
a
∴
f
(0)＝0，即
2
＝0，
0＋0＋1
∴
a
＝0.
－11
又∵
f
(－1)＝－
f
(1)，∴＝－，
2－
b
2＋
b
∴
b
＝0，∴
f
(
x
)＝
x
2
x
＋1
.
∴函数
f
(
x
)在[－1,1]上为增函数．
证明如下：
任取－1≤
x
1
<
x
2
≤1，
∴
x
1
－
x
2
<0，－1<
x
1
x
2
<1，
∴1－
x
1
x
2
>0.
∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝
x
1
2
1
x
＋1
x
＋1
－< br>x
2
2
2

2
x
1
x
2< br>2
＋
x
1
－
x
1
x
2
－< br>x
2
＝
2
x
1
＋1
x
2
2
＋1

＝
x
1
x
2
x
2< br>－
x
1
＋
x
1
－
x
2
x< br>2
1
x
2

1
＋
2
＋1
＝
x
1
－
x
2
1－
x
1
x
2
x
2
1
＋1
x
2
<0，
2
＋ 1
∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)，
∴
f
(
x
)为[－1,1]上的增函数．
19．(1)证明
f
(
x
)＝
f
(
xx
2
x
2
＋
2
)＝
f
(
2
)≥0，
又∵
f
(
x
)≠0，∴
f
(
x
)>0.
(2)证明 设
x
1
<
x
2
， 则
x
1
－
x
2
<0，
又∵
f
(
x
)为非零函数，
∴
f
(x
1
－
x
2
)＝
fx
1
－
x
2
·
fx
2
fx
1
－
x
2
＋
x
fx
＝
2

2
fx
2
＝< br>fx
1
fx
>1，∴
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)，∴
f
(
x
)为减函 数．
2
(3)解 由
f
(4)＝
f
2
(2)＝< br>11
16
，
f
(
x
)>0，得
f
( 2)＝
4
.
原不等式转化为
f
(
x
2
＋
x
－3＋5－
x
2
)≤
f
(2)，结合(2)得：
x
＋2≥2，∴
x
≥0，
故不等式的解集为{
x
|
x
≥0}．
20．解 (1)< br>f
(
x
)＝5
x,
15≤
x
≤40；
g
(
x
)＝
?
?
?
90， 15≤< br>x
≤30
?
30＋2
x
，30<
x
.
?
≤40

(2)①当15≤
x
≤30时，5
x< br>＝90，
x
＝18，
即当15≤
x
<18时，
f< br>(
x
)<
g
(
x
)；
当
x
＝18时，
f
(
x
)＝
g
(
x
)； < br>当18<
x
≤30时，
f
(
x
)>
g
(
x
)．
②当30<
x
≤40时，
f
(
x
)>
g
(
x
)，
∴当15≤
x
<18时，选甲家比较合算；
当
x
＝18时，两家一样合算；
当18<
x
≤40时，选乙家比较合算．
21．解 (1)
f(
x
)＝－
x
3
在R上是减函数，满足①；
3
设存在区间[
a
，
b
]，
f
(
x
)的取 值集合也是[
a
，
b
]，则
?
?
?
－a
＝
b
?
?
－
b
3
＝
a
1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
a
＝－1，
b< br>＝，解得

所以
f
(
x
)＝－
x
(
x
∈R)是闭函数．
(2)
f
(
x
)＝k
＋
x
＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，
f< br>(
x
)＝
k
＋
x
＋2是闭函数，存在区间[
a
，
b
]满足②
3
即：
?
?
k
＋
a
＋2＝
a
?
k
.
＋
b
＋2＝
b

即
a
，
b
是方程
k
＋
x
＋2＝
x
的两根，化简得，
a< br>，
b
是方程
x
2
－(2
k
＋1)
x
＋
k
2
－2＝0的两根．
且
a
≥
k
，
b
>
k
.
?
fk
≥0
令
f
(
x
)＝
x
2< br>－(2
k
＋1)
x
＋
k
2
－2，得
?
?
Δ
>0
?
?
2
k
＋1
2>
k

解得－
9
4
<
k
≤－2，
所以实数
k
的取值范围为(－
9
4
，－2]．
22．解 (1)∵
f
(
x
)是奇函数，
∴
f< br>(－2)＝－
f
(2)，即
f
(2)＋
f
(－2)＝ 0.
(2)当
x
<0时，－
x
>0，
∴
f
(－
x
)＝
a
－
x
－1.
由
f
(
x
)是奇函数，有
f
(－
x
)＝－
f
(
x
)，
∵
f
(－
x
)＝
a
－
x
－1，
∴
f
(
x
)＝－
a
－
x
＋1(< br>x
<0)．
x
∴所求的解析式为
f
(
x
) ＝
?
?
?
a
－1
x
≥0
?
?
－
a
－
x
＋1
x
<0

(3) 不等式等价于
?
?
?
x
－1<0
?
?
－1 <－
a
－
x
＋1
＋1<4


或
?
?
?
x
－1≥0
?
?
－1<
a
x
－1
－1<4

，
即
?
?
?
x
－1<0
?
－
x
.
?
－3<
a
＋1
<2

或
?
?< br>?
x
－1≥0
?
?
0<
a
x
－1< br><5

当
a
>1时，有
?
?
?
x< br><1
或
?
?
x
≥1
?
?
x
>1－log
a
2

?
?
，
?
x
<1＋log
a
5

注意此时log
a
2>0，log
a
5>0，
，
.

可得此时不等式的解集为(1－log
a
2,1＋log
a
5)．
同理可得，当0<
a
<1时，不等式的解集为R.
综上所述，当
a
>1时，
不等式的解集为(1－log
a
2,1＋log
a
5)；
当0<
a
<1时，不等式的解集为R.

测试卷三
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．设全集
U
是实数集R，
M
＝{
x
|
x
>4}，
N
＝{
x
|
合是( )
A．{
x
|－2≤
x
<1}
C．{
x
|1<
x
≤2}


B．{
x
|－2≤
x
≤2}
D．{
x
|
x
<2}
2
2
≥1}，则上图中阴影 部分所表示的集
x
－1
11
ab
2．设2＝5＝
m
，且＋＝2，则
m
等于( )
ab


A.10
C．20






B．10
D．100
3．设函数
f
(
x
)满足：①
y＝
f
(
x
＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则
f
(－1)
与
f
(2)的大小关系是( )
A．
f
(－1)>
f
(2)



B．
f
(－1)<
f
(2)
D．无法确定
2
C．
f
(－1)＝
f
(2)
x
4．若集合
A
＝{
y
|
y
＝2，
x
∈R} ，
B
＝{
y
|
y
＝
x
，
x
∈R}，则( )
A．
A
?
B

C．
A
＝
B







B．
AB

D．
A
∩
B
＝?
5．某企业去年销售收入1000万元， 年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元
两部分．若年利润必须按
p
%纳 税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按
p
%纳税，其他不
纳税．已知该企业去 年共纳税120万元，则税率
p
%为( )
A．10%
C．25%






B．12%
D．40%

6．设
A．0
C．2










则
f
(
f
(2))的值为( )
B．1
D．3
7．定义运算：
a
*
b
＝
A．R





如1*2=1，则函数f(x)
B．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
的值域为( )
C．(0,1]
8．若2lg(
x
－2
y
)＝lg
x
＋lg
y
，则log
2
等于 ( )
A．2
C．0










B．2或0
D．－2或0
x
y
9．设函数
个数是( )
A．4
C．2










，
g
(
x
)＝log
2
x
，则函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(< br>x
)的零点
B．3
D．1
2
10．在下列四图中，二次函 数
y
＝
ax
＋
bx
与指数函数
y
＝()的 图象只可为( )
b
a
x

11．已知
f
(< br>x
)＝
a
x
－2
，
g
(
x
)＝log
a
|
x
|(
a
>0且
a
≠1) ，若
f
(4)
g
(－4)<0，则
y
＝
f
(
x
)，
y
＝
g
(
x
)在同一坐标系内的 大致图象是( )

12．设函数
f
(
x
)定义在实数 集上，
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)，且当< br>x
≥1时，
f
(
x
)＝ln
x
，则有
( )
11
A．
f
()<
f
(2)<
f
() < br>32
11
B．
f
()<
f
(2)<
f
()
23

11
C．
f
()<
f
()<
f
(2)
23
11
D．
f
(2)<
f
()<
f
()
23

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数
f
(
x
)，
g
(
x
)分别由下表给出：

x
f
(
x
)



1

1

2

3

3
1
x
g
(
x
)


1

3

2

2

3
1
则不等式
f
[
g
(
x
)]>
g
[
f
(
x
)]的解为________．
11
x
2
?2x?4
14．已知 log
a
>0，若
a
≤，则实数
x
的取值范围为_____ _________．
2
a
15．直线
y
＝1与曲线
y< br>＝
x
－
|
x
|
＋
a
有四个交点，则
a
的取值范围为
2
________________．
16．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
1.5

3

5

6

8

9
lg
x
4
a
－2
b
＋
c
2
a
－
b a
＋
c
1＋
a
－
b
－
c
3[1－(
a
＋
c
)] 2(2
a
－
b
)
其中错误的对数值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
1
x
17．(10分)已知函数
f
(
x
)＝
lo g
1
[()－1]，
2
2
(1)求
f
(
x
)的定义域；
(2)讨论函数
f
(
x
)的增减性．




18．(12分)已知集合
A
＝{
x
∈R|< br>ax
－3
x
＋2＝0，
a
∈R}．
(1)若
A
是空集，求
a
的取值范围；
(2)若
A
中只有一个元素，求
a
的值，并把这个元素写出来； < br>2

(3)若
A
中至多只有一个元素，求
a
的取 值范围．





19．(12分)设函数
f
(
x
)＝
ax
－1
，其中
a
∈R. x
＋1
(1)若
a
＝1，
f
(
x
)的 定义域为区间[0,3]，求
f
(
x
)的最大值和最小值；
(2) 若
f
(
x
)的定义域为区间(0，＋∞)，求
a
的取值范围 ，使
f
(
x
)在定义域内是单调减函
数．




20．(12分)关于
x
的二次方程
x
＋(< br>m
－1)
x
＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数
m
的取 值
范围．




21．(12分)
2

据气象中心观察和预测：发生于
M
地的沙尘暴一直向正南方向移 动，其移动速度
v
(kmh)
与时间
t
(h)的函数图象如图所示， 过线段
OC
上一点
T
(
t,
0)作横轴的垂线
l< br>，梯形
OABC
在直
线
l
左侧部分的面积即为
t(h)内沙尘暴所经过的路程
s
(km)．
(1)当
t
＝4时，求
s
的值；
(2)将
s
随
t
变化的规律用数学关系式表示出来；
(3 )若
N
城位于
M
地正南方向，且距
M
地650km，试判断 这场沙尘暴是否会侵袭到
N
城，
如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
N
城？如果不会，请说明理由．

22．(12分)已知函数
f
(
x
)的定义域 是{
x
|
x
≠0}，对定义域内的任意
x
1
，x
2
都有
f
(
x
1
·
x
2< br>)
＝
f
(
x
1
)＋
f
(
x
2
)，且当
x
>1时，
f
(
x
)>0，< br>f
(2)＝1.
(1)证明：
f
(
x
)是偶函数；
(2)证明：
f
(
x
)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式
f
(2
x
－1)<2.



答案
1．C [题图中阴影部分可表示为(?
U
M
)∩
N
，集合
M
＝{
x
|
x
>2或
x
<－2}，集合
N
＝
{
x
|1<
x
≤3} ，由集合的运算，知(?
U
M
)∩
N
＝{
x
|1<
x
≤2}．]
2．A [由2＝5＝
m
得
a
＝l og
2
m
，
b
＝log
5
m
，
11
∴＋＝log
m
2＋log
m
5＝log
m
1 0.
ab
2
ab
ab
11
2
∵＋＝2，∴log
m
10＝2，∴
m
＝10，
m
＝10.]
3．A [由
y
＝
f
(
x
＋1)是偶函数，得到
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝1对称，∴
f(－1)＝
f
(3)．
又
f
(
x
)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴
f
(3)>
f
(2)，即
f
(－1)>
f
(2)． ]
4．A [∵
x
∈R，∴
y
＝2>0，即
A
＝ {
y
|
y
>0}．
又
B
＝{
y
|
y
＝
x
，
x
∈R}＝{
y
|
y
≥0}，
∴
A
?
B
.]
5．C [利润300万元，纳税300·
p
%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1000×2%＝180(万元)，
纳税180·
p
%万元，
共纳税300·
p
%＋180·
p
%＝120(万元)，
∴
p
%＝25%.]
2
x

6．C [∵
f
(2)＝log
3
(2－1)＝log
3
3＝1，
∴
f
(
f
(2))＝
f
(1)＝2e
7． C
1－1
2
＝2.]

?
?
2
x
≤0，
[由题意可知
f
(
x
)＝
?< br>－
x
?
2，
x
>0.
?
x

作出
f
(
x
)的图象(实线部分)如右图所示；
由图可知
f
(
x
)的值域为(0,1]．]
8．A [方法一 排除法．
由题意可知
x
>0，
y
>0，
x－2
y
>0，
∴
x
>2
y
，>2，∴log
2
>1.
方法二 直接法．
依题意，(
x
－2
y
)＝
xy
，∴
x
－5
xy
＋4
y
＝0，
∴(x
－
y
)(
x
－4
y
)＝0，∴
x< br>＝
y
或
x
＝4
y
，
∵
x
－2
y
>0，
x
>0，
y
>0，∴
x
>2
y
，
∴
x
＝
y
(舍去)，∴＝4，∴log
2
＝2.]
9．B [当
x
≤1时，函数
f
(
x
)＝4
x
－4与
g
(
x
)＝log
2
x
的图象 有两个交点，可得
h
(
x
)有
两个零点，当
x
>1 时，函数
f
(
x
)＝
x
－4
x
＋3与g
(
x
)＝log
2
x
的图象有1个交点，可得函数< br>h
(
x
)
有1个零点，∴函数
h
(
x
)共有3个零点．]
10．C [∵>0，∴
a
，
b
同号．
若
a
，
b
为正，则从A、B中选．
又由
y
＝
ax
＋
bx
知对称轴
x
＝－<0，∴B错，
2
a
但又∵
y
＝
ax
＋
bx
过原点，∴A 、D错．
若
a
，
b
为负，则C正确．]
11．B [据 题意由
f
(4)
g
(－4)＝
a
×log
a
4<0，得0<
a
<1，因此指数函数
y
＝
a
(0<a
<1)是
减函数，函数
f
(
x
)＝
a
x
－2
2
2
2
2
222
x
y
x
y
x
y
x
y
b
a
b
x
的 图象是把
y
＝
a
的图象向右平移2个单位得到的，而
y
＝< br>x
log
a
|
x
|(0<
a
<1)是偶函数 ，当
x
>0时，
y
＝log
a
|
x
|＝l og
a
x
是减函数．]
12．C [由
f
(2－
x
)＝
f
(
x
)知
f
(
x
)的图 象关于直线
x
＝
2－
x
＋
x
＝1对称，又当
x
≥1时，
2
f
(
x
)＝ln
x
，所以 离对称轴
x
＝1距离大的
x
的函数值大，

11
∵|2－1|>|－1|>|－1|，
32
11
∴
f
()<
f
()<
f
(2)．]
23
13．
x
＝2
解析 ∵
f
(
x)、
g
(
x
)的定义域都是{1,2,3}，
∴当
x
＝1时，
f
[
g
(1)]＝
f
(3)＝1，
g
[
f
(1)]＝
g
(1)＝3，不等式不成立；
当< br>x
＝2时，
f
[
g
(2)]＝
f
(2)＝3 ，
g
[
f
(2)]＝
g
(3)＝1，此时不等式成立； < br>当
x
＝3时，
f
[
g
(3)]＝
f
(1)＝1，
g
[
f
(3)]＝
g
(1)＝3，
此时，不等式不成立．
因此不等式的解为
x
＝2.
14．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
1
解析 由log
a
>0得0<
a
<1.
2
由
a
2
x
2
?2x?4
1
－1
x
2
?2x?4
≤得
a
≤
a
，
a
∴
x
＋2x
－4≥－1，解得
x
≤－3或
x
≥1.
5
15．1＜
a
＜
4
?
?
x
－
x
＋
a
，
x
≥0，
解析
y
＝< br>?
2
?
x
＋
x
＋
a
，
x< br>＜0，
?
2


作出图象，如图所示．

11
此曲线与
y
轴交于(0，
a
)点，最小值为
a
－，要使
y
＝1与其有四个交点，只需
a
－＜1
44
＜a
，
5
∴1＜
a
＜.
4
16．lg1.5
解析 ∵lg9＝2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8＝3lg2＝3(1－lg5)， ∴
lg8，lg5正确．
lg6＝lg2＋lg3＝(1－lg5)＋lg3＝1－(
a
＋
c
)＋(2
a
－
b
)＝1＋
a－
b
－
c
，故lg6也正确．
1
x
17．解 (1)()－1>0，即
x
<0，
2

所以函数
f< br>(
x
)定义域为{
x
|
x
<0}．
1x
(2)∵
y
＝()－1是减函数，
f
(
x
) ＝
log
1
x
是减函数，
2
2
?
?1
?
x
?
∴
f
(
x
)＝
lo g
1
?
??
?1
?
在(－∞，0)上是增函数．
?
2
?
?
?
2
?
?
?
?
a
≠0
18．解 (1)要使
A
为空集，方程应无实根，应满足
?< br>?
Δ
<0
?

，
9
解得
a
>.
8
2
(2)当
a
＝0时，方程为一次方程，有一解
x
＝；
3
9
当
a
≠0，方程为一元二次方程，使集合
A
只有一个元素的条件是
Δ
＝0，解得
a
＝，
x
8
4
＝.
3
294
∴
a
＝0时，
A
＝{}；
a
＝时，
A
＝{} ．
383
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，
9
∴
a
＝0或
a
≥.
8
19．解 f
(
x
)＝
ax
－1
ax
＋1－
a< br>－1
a
＋1
＝＝
a
－，
x
＋1
x
＋1
x
＋1
a
＋1
a
＋1
a
＋1
－＝
x
2
＋1
x
1
＋1
x
1＋1
x
1
－
x
2
.
x
2
＋ 1
设
x
1
，
x
2
∈R，则
f
(< br>x
1
)－
f
(
x
2
)＝
(1)当< br>a
＝1时，
f
(
x
)＝1－
则
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝
2
，设0≤
x
1
<
x
2
≤3，
x
＋1
2
x
1
－
x
2
，
x
1
＋1
x
2
＋1
又
x
1
－< br>x
2
<0，
x
1
＋1>0，
x
2
＋ 1>0，
∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)<0，∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)．
∴
f
(
x
)在[0,3]上是增函数，
21
∴< br>f
(
x
)
max
＝
f
(3)＝1－＝， < br>42
f
(
x
)
min
＝
f
(0)＝ 1－＝－1.
(2)设
x
1
>
x
2
>0，则x
1
－
x
2
>0，
x
1
＋1>0，< br>x
2
＋1>0.
若使
f
(
x
)在(0，＋∞)上是减函数，
2
1

只要
f
(
x
1
)－
f
(< br>x
2
)<0，
而
f
(
x
1
)－< br>f
(
x
2
)＝
a
＋1
x
1
＋1
x
1
－
x
2
，
x
2
＋1< br>∴当
a
＋1<0，即
a
<－1时，有
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)<0，
∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)． ∴当
a
<－1时，
f
(
x
)在定义域(0，＋∞)内是 单调减函数．
20．解 设
f
(
x
)＝
x
＋(< br>m
－1)
x
＋1，
x
∈[0,2]．
2
f
(0)＝1>0，
(1)当2是方程
x
＋(
m
－1)
x
＋1＝0的解时，
3
则4＋2(
m
－1)＋1＝0，∴
m
＝－.
2
(2)当2不是方程
x
＋(
m
－1)
x
＋1＝0的 解时，
①方程
f
(
x
)＝0在(0,2)上有一个解时，则
f
(2)<0，
3
∴4＋2(
m
－1)＋1<0.∴
m
<－.
2
②方程
f
(
x
)＝0在(0,2)上有两个解时，则 < br>－4≥0，
?
?
m
－1
?
0<－
2
<2，
?
?
f
2＝4＋2
m
－1＋1>0，
3∴－<
m
≤－1.
2
综合(1)(2)，得
m
≤－1.
∴实数
m
的取值范围是(－∞，－1]．
21．解 (1)由图象可知：当
t
＝4时，
v
＝3×4＝12，
1
∴
s
＝×4×12＝24.
2
13
2
(2)当0≤
t
≤10时，
s
＝·
t
·3
t
＝
t
，
22
1
当10<
t
≤20时，
s
＝×10×30＋30(
t
－10)＝30
t
－150；
2
11
2
当20<
t
≤35时，
s
＝×10×3 0＋10×30＋(
t
－20)×30－×(
t
－20)×2(
t< br>－20)＝－
t
22
＋70
t
－550.
2
2
Δ
＝
m
－1
2

m
≥3或
m
≤－1，
?
?
－3<
m
<1，
∴
?
3
m
>－
?
?
2
.

3
?
?
2
t
，
t
∈[0，10]，
综上可知
s
＝
?
30
t
－15 0，
t
∈10，20]，
?
?
－
t
＋70
t
－550，
t
∈20，35].
2
2


3
2
(3)∵
t
∈[0,10]时，
s
max
＝ ×10＝150<650.
2
t
∈(10,20]时，
s
max< br>＝30×20－150＝450<650.
∴当
t
∈(20,35]时，令－
t
＋70
t
－550＝650.
解得
t
1
＝30，
t
2
＝40，∵20<
t
≤35，∴
t
＝30，
所以沙尘暴发生30h后将侵袭到
N
城．
22．(1)证明 令
x
1
＝
x
2
＝1，得
f
(1)＝2
f
(1)，
∴
f
(1)＝0.令
x
1
＝
x
2
＝－1，得
f
(－1)＝0，
∴
f
(－< br>x
)＝
f
(－1·
x
)＝
f
(－1)＋f
(
x
)＝
f
(
x
)．
∴
f
(
x
)是偶函数．
(2)证明 设
x
2
>
x
1
>0，
则
f
(< br>x
2
)－
f
(
x
1
)＝
f
(
x
1
·)－
f
(
x
1
)
＝< br>f
(
x
1
)＋
f
()－
f
(
x
1
)＝
f
()，
∵
x
2
>
x
1
>0，∴>1.
∴
f
()>0，即
f
(
x
2
)－
f
(x
1
)>0.
∴
f
(
x
2
)>f
(
x
1
)．
∴
f
(
x
)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵< br>f
(2)＝1，∴
f
(4)＝
f
(2)＋
f
(2)＝2.
又∵
f
(
x
)是偶函数，
∴不等式
f
(2
x
－1)<2可化为
f
(|2
x
－1|) <
f
(4)．
又∵函数
f
(
x
)在(0，＋∞) 上是增函数，∴|2
x
－1|<4.
解得－
1010
<
x
<，
22
1010
，)．
22
2
22
2
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
即 不等式的解集为(－