数学必修一练习题汇总含答案

第一章综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( )
A．3
C．7




B．6
D．8
解析：含一个元素的有 {1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，
共3个；空 集是任何非空集合的真子集，故有7个．
答案：C
2．下列五个写法，其中错误写法的个数为( )
．．
①{0}∈{0,2,3} ；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝?
A．1
C．3




B．2
D．4
解析：②③正确．
答案：C
3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集 合依次为M、F，则使根式x－1＋
x－2有意义的x的允许值集合可表示为( )
A．M∪F
解析：根式
答案：B
4．已知M＝{x|y＝x
2
－2}，N＝{y|y＝x
2
－2}，则M∩N等于( )
A．N B．M C．R D．?
B．M∩F C．?
M
F
x－2有意义，必须
D．?
F
M
x－2同时有意义才可． x －1＋x－1与
解析：M＝{x|y＝x
2
－2}＝R，N＝{y|y＝x
2
－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：A
5．函数y＝x
2
＋2x＋3(x≥0)的值域为( )

A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) < br>解析：y＝x
2
＋2x＋3＝(x＋1)
2
＋2，∴函数在区间[0， ＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)
2
＋2
＝3.
答案：D
6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于( )
A．20－2x(0


B．20－2x(0D．20－2x(5解析：C＝20＝y＋2x，由三角形两边之和大于第三边可知2x>y＝20－2x，x>5.
答案：D
7．用固定的速度向图1甲形状的瓶子注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是 图1
乙中的( )
甲


图1
解析：水面升高的速度由慢逐渐加快．
答案：B
乙
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|) ②y＝f(－x) ③y＝xf(x) ④y＝f(x)＋x
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
解析：因为y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．①y＝f(|x|)为偶函数；②y
＝f(－x)为奇函 数；③令F(x)＝xf(x)，所以F(－x)＝(－x)f(－x)＝(－x)·[－f(x)]＝xf(x )．所以F(－

x)＝F(x)．所以y＝xf(x)为偶函数；④令F(x)＝f(x )＋x，所以F(－x)＝f(－x)＋(－x)＝－f(x)－x
＝－[f(x)＋x]．所以F(－ x)＝－F(x)．所以y＝f(x)＋x为奇函数．
答案：D
3
9．已知0≤x≤
2
，则函数f(x)＝x
2
＋x＋1( )
3
A．有最小值－
4
，无最大值
19
C．有最小值1，最大值
4


3
B．有最小值
4
，最大值1
D．无最小值和最大值
133
解析：f(x)＝x
2
＋x＋1＝(x＋
2
)
2< br>＋
4
，画出该函数的图象知，f(x)在区间[0，
2
]上是增函数，
319
所以f(x)
min
＝f(0)＝1，f(x)
max
＝f(
2
)＝
4
.
答案：C
10．已知函数f(x) 的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如图2甲所示，则函数f(|x|)的图
象是图2乙中 的( )
甲



图2
乙
解析：因为y ＝f(|x|)是偶函数，所以y＝f(|x|)的图象是由y＝f(x)把x≥0的图象保留，再关
于 y轴对称得到的．
答案：B
11．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )

3
A．f(－
2
)3
C．f(2)2
)




3
B．f(－1)2
)3
D．f(2)2
)解析：由f(x)是偶 函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<
33
－
2
<－1，则f(2)2
)答案：D
12.?2009·四川高考?已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意< br>?
5
?
实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f
?f?
2
?
?
的值是( )
??
15
A．0 B. C．1 D.
22
31
解析：令x＝－
2
，则－
2
f(
2
)＝
2
f(－
2
)，又∵f(
2
)＝f(－
2
)，∴f(
2
)＝0；令x＝
2
，
2
f(
2
)＝
2
f(
2
)，
33 35535
?
5
?
得f(
2
)＝0；令x＝
2，
2
f(
2
)＝
2
f(
2
)，得f(
2
)＝0；而0·f(1)＝f(0)＝0，∴f
?
f?
2
?
?
＝f(0)＝0，故选
??
A.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．设全 集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则?
U
A∩?< br>U
B＝________.
解析：?
U
A∩?
U
B ＝?
U
(A∪B)，而A∪B＝{a，b，c，d，e}＝U.
答案：?
14．设全集U＝R，A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1≤x<2}，则?
U
(A∩B)＝ ________.
解析：A∩B＝{x|1≤x<2}，∴?
R
(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．
答案：{x|x<1或x≥2}
15．已知函数f(x)＝x
2
＋2(a－ 1)x＋2在区间(－∞，3]上为减函数，求实数a的取值范围
为________．
解析：函数f(x)的对称轴为x＝1－a，则由题知：1－a≥3即a≤－2.

答案：a≤－2
16．若f(x)＝(m－1)x
2
＋6m x＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是
__________．
解析：∵f(x)＝(m－1)x
2
＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0.
∴ f(x)＝－x
2
＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)< f(1)答案：f(－2)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，
(1)当x∈N
*
时，求A的子集的个数；
(2)当x∈R且A∩B＝?时，求m的取值范围．
解：(1)∵x∈N
*
且A＝{x|－2≤x≤5}，
∴A＝{1,2,3,4,5}．故A的子集个数为2
5
＝32个．
(2)∵A∩B＝?，
∴m－1>2m＋1或2m＋1<－2或m－1>5，
∴m<－2或m>6.
18．(12分)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x
2
－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求a，b的
值．
解：(1)当B＝A＝{－1,1}时，易得a＝0，b＝－1；
(2)当B含有一个元素时，由Δ＝0得a
2
＝b，
当B＝{1}时，由1－2a＋b＝0，得a＝1，b＝1
当B＝{－1}时，由1＋2a＋b＝0，得a＝－1，b＝1.
x
(a，b为常数 ，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有
ax＋b
唯一实数解，求函数f(x) 的解析式和f[f(－4)]的值．
19．(12分)已知函数f(x)＝

解 ：∵f(x)＝
x
ax＋b
且f(2)＝1，∴2＝2a＋b.
又∵方程f(x)＝x有唯一实数解．
∴ax
2
＋(b－1)x＝0(a≠0)有唯一实数解．
1x2x
故(b－1)
2
－4a×0＝0，即b＝1，又上式2a＋b＝2，可得：a＝
2，从而f(x)＝
1
＝，
x＋2
x＋1
2
2×?－4 ?
844
∴f(－4)＝＝4，f(4)＝
6
＝
3
，即f[ f(－4)]＝
3
.
－4＋2
20．(12分)已知函数f(x)＝4x< br>2
－4ax＋(a
2
－2a＋2)在闭区间[0,2]上有最小值3，求实数a
的值．
?
a
?
2
解：f(x)＝4
?
x －
2
?
＋2－2a.
??
a
(1)当
2
<0即a<0时，f(x)
min
＝f(0)＝a
2
－2a＋2＝3，解得： a＝1－2.
a1
?
a
?
??
(2)0≤≤2即0≤a≤ 4时，f(x)
min
＝f
2
＝2－2a＝3，解得：a＝－(舍去)． < br>22
??
a
(3)
2
>2即a>4时，f(x)
mi n
＝f(2)＝a
2
－10a＋18＝3，解得：a＝5＋10，
综上可知：a的值为1－2或5＋10.
21．(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙 地，现有汽车、火车两种运输工具可供选
择．若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元小 时，其他主要参考数据如下：
运输工
具
汽车
火车
途中速度(千
米小时)
50
100
途中费用(元
千米)
8
4
装卸时间(小
时)
2
4
装卸费用(元)
1000
1800
问：如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程中的费用与损耗之和最小？
解：设甲 、乙两地距离为x千米(x>0)，选用汽车、火车运输时的总支出分别为y
1
和y
2
.
由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表：

运输工
具
汽车
火车
途中及装卸费
用
8x＋1000
4x＋1800
途中时
间
x
50
＋2
x
100
＋4
x
于是y< br>1
＝8x＋1000＋(
50
＋2)×300＝14x＋1600，
x
y
2
＝4x＋1800＋(
100
＋4)×300＝7x＋300 0.
令y
1
－y
2
<0得x<200.
①当01
2
，此时应选用汽车；
②当x＝200时，y
1
＝y
2
，此时选用汽车或火车均可；
③当x>200时，y
1
>y
2
，此时应选用火车．
故当 距离小于200千米时，选用汽车较好；当距离等于200千米时，选用汽车或火车均
可；当距离大于2 00千米时，选用火车较好．
22．(12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2 )＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x
2
>x
1
>0
时 ，f(x
2
)>f(x
1
)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范围．
解：(1)f(1)＝f( 1)＋f(1)，∴f(1)＝0，f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，f(8)＝f(2)＋f(4 )＝2＋1＝3.
(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，又∵对 于函数f(x)有x
2
>x
1
>0时f(x
2
)>f(x< br>1
)，∴f(x)
在(0，＋∞)上为增函数．
x>0
?
?
x－2>0
∴
?
?
?
x?x－2?≤8


?2

第二章综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．计算log
2
25·log3
22·log
5
9的结果为( )
A．3
C．5




B．4
D．6
3
lg2lg25lg22lg92lg5
2
2lg3
解析：原式＝
lg2
·
lg3
·＝··
lg5lg2lg3lg5
＝6.
答案：D
x
－
1
?
2e，x<2，
2．设f(x)＝
?则f(f(2))的值为( )
2
?
log
3
?x－1?，x≥2，

A．0
C．2




B．1
D．3
解析：f(2)＝log
3
(2
2
－1)＝1，f(f(2))＝2e1
－
1
＝2e
0
＝2.
答案：C
1
3．如果log
2
x>0成立，则x应满足的条件是( )
1
A．x>
2

C．x<1


1
B.
2
D．0解析：由对数函数的图象可得．
答案：D
4．函数f(x)＝log
3
(2－x)在定义域区间上是( )
A．增函数

B．减函数
D．无法确定其单调 C．有时是增函数有时是减函数
解析：由复合函数的单调性可以判断，内外两层单调性相同则为增函数 ，内外两层的单

调性相反则为减函数．
答案：B
5．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( )
A．0.015克



B．(1－0.5%)
3
克
D.
100
x
C．0.925克 0.125克
111
100
解析：设该放射性元素满足y＝a(a>0且a≠1)，则有
2
＝a得a＝(
2
)
100
.
100
111
x
1x13
100
可得放射性元素满足y＝[(
2
)
100
]＝(2
)
100
.当x＝3时，y＝(
2
)
100
＝?
2
?
3
＝0.125.
答案：D
1
6．函数y＝log
2
x与y＝log
2
x的图象( )
A．关于原点对称
C．关于y轴对称




B．关于x轴对称
D．关于y＝x对称
解析：据图象和代入式判定都可以做出判断，故选B.
答案：B
7．函数y＝lg(
A．x轴对称
2
－1)的图象关于( )
1－x


2


B．y轴对称
D．y＝x对称 C．原点对称
1＋x1－x
2
解析：f(x)＝lg( －1)＝lg，f(－x)＝lg＝－f(x)，所以y＝lg(－1)关于原点
1－x1－x1＋x1 －x
对称，故选C.
答案：C
8．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是( )
A．a
c
>b
c
B．log
a
b>log
a
c

C．c
a
>c
b
D．log
b
ca
c
解析：y＝x
c
在 (0，＋∞)上递增，因为a>b，则a
c
>b
c
；y＝log
a< br>x在(0，＋∞)上递增，因为
b>c，则log
a
b>log
ac；y＝c
x
在(－∞，＋∞)上递增，因为a>b，则c
a
>c
b
.故选D.
答案：D
9．已知f(x)＝log
a
(x＋1 )(a>0且a≠1)，若当x∈(－1,0)时，f(x)<0，则f(x)是( )
A．增函数

B．减函数
D．不单调的函数 C．常数函数
解析：由于x∈ (－1,0)，则x＋1∈(0,1)，所以a>1.因而f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
答案：A
43
10．设a＝24，b＝12，c＝6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c
C．b>c>a




B．bD．a4121212
解析：a＝24＝2 4
3
，b＝12
4
，c＝6＝6
6
.∵24
3<12
4
<6
6
，
12
24
3
<< br>12
12
4
<
12
6
6
，即a答案：D
11．若方程a
x
＝x＋a有两解，则a的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)




B．(0,1)
D．?
解析：分别作出当a>1与0(1)当a>1时，图象如下图1，满足题意．

图1

图2

(2)当0答案：A
12．已知f(x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是( )
1
A．(
10
，1)
1
C．(
10
，10)

1
B．(0，
10
)∪(1，＋∞)
D．(0,1)∪(0，＋∞)
解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以 f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，
?
?
x>0，
1
0) 上是增函数，应有
?
解得
10
?
?
－1答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若函数f(x)＝a
x
(a> 0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝________.
1
解析：由互 为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a
－
1
＝2?a＝
2< br>.
1
答案：
2

14．方程log
2
(x －1)＝2－log
2
(x＋1)的解为________．
解析：log
2
(x－1)＝2－log
2
(x＋1)?log
2
(x－1)＝l og
2
值舍去)，∴x＝5.
答案：5
1
15．设函数f
1
(x)＝x
2
，f
2
(x)＝x
－
1
，f
3
(x)＝x
2
，则f
1
(f
2
(f
3
(2007)))＝________.
1
解析：f
1
(f
2
(f
3
(2007)))＝f
1
(f
2(2007
2
))＝f
1
((2007
2
)
－
1
)＝[(2007
2
)
－
1
]
2
＝2007
－
1
.
4
x＋1
，即x－1＝
4< br>x＋1
，解得x＝±5(负

1
答案：
2007

1
16．设0≤x≤2 ，则函数y＝4x－
2
－3·2
x
＋5的最大值是________，最小值 是________．
1
x
111
解析：设2
x
＝t(1 ≤t≤4)，则y＝
2
·4－3·2
x
＋5＝
2
t
2
－3t＋5＝
2
(t－3)
2
＋
2
.
1115
当t＝3时，y
min
＝
2
；当t＝1时，y
ma x
＝
2
×4＋
2
＝
2
.
51
答案：
2

2

三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知 a＝(2＋3)
－
1
，b＝(2－3)
－
1
，求(a＋1)
－
2
＋(b＋1)
－
2
的值．
解：(a＋1)< br>－
2
＋(b＋1)
－
2
＝(
1
2＋3
＋1)
－
2
＋(
1
2－3
＋1)
－
2< br>＝(
3＋3
2＋3
)
－
2
＋(
3－3
2－3
1
)
－
2
＝
6
7＋437－43
112
(＋)＝
6
[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝
6
×4＝
3
.
2＋32－3
18．(12分)已知关于x的方程4
x
·a－(8＋2)·2
x
＋42＝0有一个根为2，求a的值和方程
其余的根．
解：将x＝2代入方程中，
得4
2
·a－(8＋2)·2
2
＋42＝0，解得a＝2.
当a＝2时，原方程为
4
x
·2－(8＋2)2
x
＋42＝0，
将此方程变形化 为2·(2
x
)
2
－(8＋2)·2
x
＋42＝0.
令2
x
＝y，得2y
2
－(8＋2)y＋42＝0.
2
解得y＝4或y＝
2
.
当y＝4时，即2
x
＝4，解得x＝2；

221
当 y＝
2
时，2
x
＝
2
，解得x＝－
2
.
1
综上，a＝2，方程其余的根为－
2
.
2
x
－ 1
19．(12分)已知f(x)＝
x
，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增 函数．
2＋1
证明：设任意x
1
，x
2
∈(－∞，＋∞) 且x
1
2
，则
2x
1
－1
2x1
＋1
2x
2
－1
2x
2
＋1
?2x
1
－1??2x
2
＋1?－?2x
2
－1??2x
1
＋1?
?2x
1
＋1??2x
2
＋1?
2x1
－2x
2
－?2x
2
－2x
1
?
? 2x
1
＋1??2x
2
＋1?
f(x
1
)－f(x
2
)＝
＝
2?2x
1
－2x
2
?
－＝＝
?2x
1
＋1??2x
2
＋1?
.∵x
1< br>2
，∴2x
1
<2x
2
，即2x
1－2x
2
<0.∴f(x
1
)2
)．∴f(x )在区间(－∞，＋∞)
上是增函数．
1
20．(12分)已知偶函数f(x)在x ∈[0，＋∞)上是增函数，且f(
2
)＝0，求不等式f(log
a
x)> 0(a>0，
且a≠1)的解集．
1
解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋ ∞)上递增，f(
2
)＝0，
111
∴f(x)在(－∞，0)上递减，f (－
2
)＝0，则有log
a
x>
2
，或log
a
x<－
2
.
11a
(1)当a>1时，log
a
x>
2
，或log
a
x<－
2
，可得x>a，或0a
；
11a
(2)当0a
x>
2
，或log
a
x<－
2
，可得0
a.
a
综上可知，当a>1时，f(log
a
x)>0的解集为(0，< br>a
)∪(a，＋∞)；
a
当0a
x )>0的解集为(0，a)∪(
a
，＋∞)．
21．(12分)已知函数f(x)对 一切实数x，y都满足f(x＋y)＝f(y)＋(x＋2y＋1)x，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)求f(x)的解析式；

1
(3)当x∈[0，
2
]时，f(x)＋3<2x＋a恒成立，求a的范围．
解：( 1)令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(0)＋(1＋1)×1，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.
(2)令y＝0，则f(x)＝f(0)＋(x＋1)x，∴f(x)＝x
2
＋x－2. < br>1
(3)由f(x)＋3<2x＋a，得a>x
2
－x＋1.设y＝x
2
－x＋1，则y＝x
2
－x＋1在(－∞，
2
]上是减
1 3
函数，所以y＝x
2
－x＋1在[0，
2
]上的范围为
4
≤y≤1，从而可得a>1.
a
22．(12分)设函数f(x)＝log
a
(1－
x
)，其中0(1)求证：f(x)是(a，＋∞)上的减函数；
(2)解不等式f(x)>1.
aa
解：(1)证明：设任意x
1
，x
2
∈(a，＋∞)且x1
2
，则f(x
1
)－f(x
2
)＝lo g
a
(1－
x
)－log
a
(1－
x
)< br>12
aa
aaaa
?
1－
x
1－
x
＋
x
－
x
ax
1
－ax
2
x
2< br>－
x
1
?
1221
＝log
a
＝loga
?
1＋
a
?
＝log
a
(1＋
x< br>1
x
2
－ax
1
)＝log
a
[1＋
a
＝log
a
a
1－
x
1－
x
?
1－
x
2
?
22
a?x
1
－x
2
?a?x
1
－x
2
?
]．∵x
1
，x
2
∈(a，＋∞)且x
1
2
，∴x
1
－x
2
<0,01
2
，x
2
－a>0. ∴<0，∴1
x
1
?x
2
－a?x
1
?x
2
－a?
a?x
1
－x
2
?a?x
1
－x
2
?
a
＋<1，又∵0a
[1＋]>0 ，∴f(x
1
)>f(x
2
)，所以f(x)＝log
a
( 1－
x
)在(a，
x
1
?x
2
－a?x
1
?x
2
－a?
＋∞)上为减函数．
a
1－
??
x
>0，①
a
(2)因为01?loga
(1－
x
)>log
a
a?
?
a
1 －
?
?
x
x<0.解不等式②，得0

解不等式①，得x>a或
a
1－a
a
1－a
.因 为0a
1－a
，所以原不等式的解集为{x|a

第三章综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．二次函数f(x)＝2x
2
＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0
C．2




B．1
D．4
解析：∵Δ＝b
2
＋4×2×3＝b
2
＋24>0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点．
答案：C
1
2．函数y＝1＋
x
的零点是( )
A．(－1,0)
C．1




B．－1
D．0
1
解析：令1＋
x
＝0，得x＝－1，即为函数零点．
答案：B
3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( )

解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点．
答案：C
4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2 ,2)上
仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )
A．大于0

B．小于0
D．等于零 C．无法判断

解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
1
5．函数f(x)＝e
x
－
x
的零点所在的区间是( )
1
A．(0，
2
)
3
C．(1，
2
)




1
B．(
2
，1)
3
D．(
2
，2)
111
解析：f(
2
)＝e－2<0， f(1)＝e－1>0，∵f(2
)·f(1)<0，∴f(x)的零点在区间(
2
，1)内．
答案：B
1
6．方程log
2
x＝2
x
－1的实根个数是( )
A．0
C．2




B．1
D．无穷多个
11
解析：方程logx＝2
x
－1的实根个数只有 一个，可以画出f(x)＝logx及g(x)＝2
x
－1的图
22
象，两曲 线仅一个交点，故应选B.
答案：B
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的 函数关系式是y＝0.1x
2
－11x＋3000，若每
台产品的售价为25万元，则 生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台
C．150台




B．120台
D．180台
解析：设产量为x 台，利润为S万元，则S＝25x－y＝25x－(0.1x
2
－11x＋3000)
＝－0.1x
2
＋36x－3000
＝－0.1(x－180)
2
＋240，则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
8．已知α是函数f(x)的一个零点，且x
1
<α2
，则( )

A．f(x
1
)f(x
2
)>0
C．f(x
1
)f(x
2
)≥0




B．f(x
1
)f(x
2
)<0
D．以上答案都不对
解析：定理的逆定理不成立，故f(x
1
)f(x
2
)的值不确定．
答案：D
9．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用 水不
超过8吨，按每吨2元收取水费，每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水( )
A．10吨
C．11吨




B．13吨
D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，
∴x＝9.
答案：D
10．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年
年产量 保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )

答案：A
11．函数f(x)＝|x
2
－6x＋8|－k只有两个零点，则( )
A．k＝0



B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1，或k＝0
解析：令y
1
＝|x
2
－6x＋8|，y< br>2
＝k，由题意即要求两函数图象有两交点，利用数形结合思
想，作出两函数图象可得选 D.
答案：D
12．利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：

x
y＝x
2

0.2 0.6 1.0
2.0
1.0
1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
8.0
9.0
y＝2
x

1.149 1.516
0.04 0.36
2.639 3.482 4.595 6.063
1.96 3.24 4.84 6.76
3.4
10.55
6
11.56
…
…
…
那么方程2
x
＝x
2
的一个根所在区间为( )
A．(0.6,1.0)
C．(1.8,2.2)






B．(1.4,1.8)
D．(2.6,3.0)
解析：设f(x)＝2
x
－x
2
，由表格观察出x＝1.8时，2
x
>x
2
，即f(1.8)>0；
在x＝2.2时，2
x
2
，即f(2.2)<0.
综 上知f(1.8)·f(2.2)<0，所以方程2
x
＝x
2
的一个根位于区 间(1.8,2.2)内．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x
3
－2x－ 5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x
1
＝3，则下一个
有根区间是___ _______．
解析：设f(x)＝x
3
－2x－5，则f(2)<0，f(3) >0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间
是(2,3)．
答案：(2,3)
11
14．已知函数f(x)＝ax－bx＋1的零点为－
2
，
3
，则a＝__________，b＝__________.
2
11b111
解析：由韦达定理得－
2
＋
3
＝
a< br>，且－
2
×
3
＝
a
.解得a＝－6，b＝1.
答案：－6 1
15．以墙为一边，用篱笆围成一长方形的场地，如图1.已知篱笆的总长为 定值l，则这块
场地面积y与场地一边长x的关系为________．

图1

解析：由题意知场地的另一边长为l－2x，
l
则y＝x(l－2x)，且l－2x>0，即02
.
l
答案：y＝x(l－2x)(02
)
16．某化工厂生产 一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每
1
过滤一次可使杂质含 量减少
3
，至少应过滤________次才能达到市场要求？(已知lg2＝0.3010，
lg3＝0.4771)
1
解析：设过滤n次才能达到市场要求，则2%(1－3
)
n
≤0.1%
20.12
即(
3
)n
≤
2
，∴nlg
3
≤－1－lg2，
∴n≥7.39，∴n＝8.
答案：8
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知 二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且f(x)的两个
零点的平方和 为10，求f(x)的解析式．
b
解：设二次函数f(x)＝ax
2
＋bx ＋c(a≠0)．由题意知：c＝3，－
2a
＝2.
2
设x
1，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，则x
2
1
＋x
2
＝10，
b2c6
∴(x
1
＋x
2
)
2
－2x
1
x
2
＝10，∴(－
a< br>)
2
－
a
＝10，∴16－
a
＝10，
b
∴a＝1.代入－
2a
＝2中，得b＝－4.∴f(x)＝x
2
－4 x＋3.
18．(12分)求方程x
2
＋2x＝5(x>0)的近似解(精确度0.1)．
解：令f(x)＝x
2
＋2x－5(x>0)．
∵f(1)＝－2，f(2)＝3，
∴函数f(x)的正零点在区间(1,2)内．

取(1,2)中点x
1
＝1.5，f(1.5)>0.取(1,1.5)中点 x
2
＝1.25，f(1.25)<0.
取(1.25,1.5)中点x
3
＝1.375，f(1.375)<0.
取(1.375,1.5)中点x
4
＝1.4375，f(1.4375)<0.取(1.43 75,1.5)．
∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴方程x
2
＋2x＝5(x>0)的近似解为x＝1.5(或1.4375)．
19．(12分)要挖一个面积为800 m
2
的矩形鱼池，并在四周修出宽分别为1 m,2 m的小路，
试求鱼池与路的占地总面积的最小值．
800
解：设所建矩形鱼池的长为x m，则宽为
x
m，于是鱼池与路的占地面积为
8
y＝(x＋2)(
x
＋4)＝808＋4x＋
x
＝808＋4(x＋
x
)＝808＋4 [(x－)
2
＋40]．
x
当x＝
20
，即x＝20时，y取最小值为968 m
2
.
x
答：鱼池与路的占地最小面积是968 m
2
.
20．(12分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为P和Q(万元)，
x10
这两项利润与投入的资金x(万元)的关系是P＝
3
，Q＝
3
x，该集团今年计划对这两项生产共
投入资金60万元，其中投入养殖业为x万元，获得总利润y(万元 )，写出y关于x的函数关
系式及其定义域．
x10
解：投入养殖加工生产业为60 －x万元．由题意可得，y＝P＋Q＝
3
＋
3
由60－x≥0得x≤60，∴ 0≤x≤60，即函数的定义域是[0,60]．
21．(12分)已知某种产品的数量x(百件)与 其成本y(千元)之间的函数关系可以近似用y＝
ax
2
＋bx＋c表示，其中a，b ，c为待定常数，今有实际统计数据如下表：
产品数量x(百件)
成本合计y(千元)
(1)试确定成本函数y＝f(x)；
(2)已知每件这种产品的销售价为200元，求利润函数p＝p(x)；
(3)据利润函数 p＝p(x)确定盈亏转折时的产品数量．(即产品数量等于多少时，能扭亏为
6
104
10
160
20
370
60－x，

盈或由盈转亏)
解：(1)将表格中相关数据代入y＝ax
2
＋bx＋c，
36a＋6b＋ c＝104
?
?
得
?
100a＋10b＋c＝160，
?< br>?
400a＋20b＋c＝370

11
2
解得a＝
2
，b＝6，c＝50.所以y＝f(x)＝
2
x＋6x＋50(x≥0)．
1
(2)p＝p(x)＝－
2
x
2
＋14x－50(x≥0)．
1
(3)令p(x)＝0，即－
2
x
2
＋14x－50＝0 ，
解得x＝14±46，即x
1
＝4.2，x
2
＝23.8，
故4.20；x<4.2或x>23.8时，p(x)<0，
所以当产品数量为420件时，能扭亏为盈；
当产品数量为2380件时由盈变亏．
22．(12分)某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在
正常情 况下，该产品产量将平衡增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如表
所示：
x
f(x)
1
4.00
2
5.58
3
7.00
4
8.44
(1)画出2000～2003年该企业年产量的散点图；
(2)建立一个能基本反映(误差 小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求
之．
(3)2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根
据所建立的函数模型，确定 2006年的年产量应该约为多少？
解：

图2
(1)散点图如图2：
?
?
a＋b＝4
(2)设f(x)＝ax＋ b.由已知得
?
，
?
?
3a＋b＝7
35
解得a ＝
2
，b＝
2
，
35
∴f(x)＝
2
x＋
2
.
检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08<0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
35
∴模型f(x)＝
2
x＋
2
能基本反映产量变化．
35
(3)f(7)＝
2
×7＋
2
＝13，
由题 意知，2006年的年产量约为13×70%＝9.1(万件)，即2006年的年产量应约为9.1万
件．

必修1综合练习
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3}
C．{2,3,4}




B．{1,2,4}
D．{1,2,3,4}
解析：∵A∩B＝{1,2}，∴(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}．
答案：D
2．如图1所示，U表示全集，用A，B表示阴影部分正确的是( )

图1

A．A∪B
C．A∩B




B．(?
U
A)∪(?
U
B)
D．(?
U
A)∩(?
U
B)
解析：由集合之间的包含关 系及补集的定义易得阴影部分为(?
U
A)∩(?
U
B)．
答案：D
1－x
2
?
1
?
3．若f(x)＝1－ 2x，g(1－2x)＝
x
2
(x≠0)，则g
?
2
?的值为( )
??
A．1
C．15




B．3
D．30
2
1－x
11
?
1
?
解析：g(1－2x)＝
x
2
，令
2
＝1－2x ，则x＝
4
，∴g
?
2
?
＝
??
1
1－
16
1
＝15，故选C.
16
答案：C

< br>2
?
?x＋1??x<1?，
4．设函数f(x)＝
?
则使得 f(－1)＋f(m－1)＝1成立的m的值为( )
?
4－x－1?x≥1?，

A．10

B．0，－2
D．1，－1,11 C．0，－2,10
解析：因为x<1时，f(x)＝(x＋1)
2
，所以f(－ 1)＝0.当m－1<1，即m<2时，f(m－1)＝m
2
＝1，m＝±1.当m－1≥1， 即m≥2时，f(m－1)＝4－m－2＝1，所以m＝11.
答案：D
5．若x＝6是不 等式log
a
(x
2
－2x－15)>log
a
(x＋13 )的一个解，则该不等式的解集为(
A．(－4,7) B．(5,7)
C．(－4，－3)∪(5,7) D．(－∞，－4)∪(5，＋∞)
?
x
2
解析：将x＝6代入不等式，得log
?
－2x－15>0，
a< br>9>log
a
19，所以a∈(0,1)．则
?
x＋13>0，
?
?
x
2
－2x－15
得x∈(－4，－3)∪(5,7)．
答案：C
6．若函数f(x)＝
1
2
x
＋1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最大值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解析：2
x
＋1在(－∞，＋∞)上递增，且2
x
＋1>0，
∴
1
2
x
＋1
在(－∞，＋∞)上递减且无最小值．
答案：A
7．方程(
1
x
3
)＝|log
3x|的解的个数是( )
A．0 B．1
)
解

C．2
解析：
D．3

图2
1
x
在平面坐标系中，画出函数y
1
＝(
3
)和y
2
＝|log
3
x|的图象，如图2所示，可知方程有两个
解．
答案：C
8．下列各式中，正确的是( )
4252
A．(－
3
)
3
<(－
4
)
3

1111
C．(
2
)
2
>(
3
)
2




4151
B．(－
5
)
3
<(－
6
)
3

34
D．(－
2
)
3
>(－
3
)
3

2454252
解析：函数y ＝x在(－∞，0)上是减函数，而－<－，∴(－)>(－)，故A错；
3343343
1 454151
函数y＝x
3
在(－∞，＋∞)上是增函数，而－
5
> －
6
，∴(－
5
)
3
>(－
6
)
3
，故B错，同理D
错．
答案：C
9．生物学指出：生态系统在输入一个 营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个
营养级，在H
1
→H
2< br>→H
3
这个食物链中，若能使H
3
获得10 kJ的能量，则需H
1
提供的能量为
( )
A．10
5
kJ
C．10
3
kJ




B．10
4
kJ
D．10
2
kJ
?
1
?
2
解析：H
1
?
10
?
＝10，∴ H
1
＝10
3
.
??
答案：C
10．如图3( 1)所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是如图3(2)
所示的( )

图3
H
解析：当h＝
2
时，对应阴 影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S
随之减小，故排除A，B，D.
答案：C
11．函数f(x)在(－1,1)上是奇函数，且在(－1,1)上是减函数，若 f(1－m)＋f(－m)<0，则m
的取值范围是( )
1
A．(0，
2
)
1
C．(－1，
2
)




B．(－1,1)

1
D．(－1,0)∪(1，
2
)
解析：f(1－m)<－f(－m)，
∵f(x)在(－1,1)上是奇函数，∴f(1－m)1－m>m>－1，
11
解得02
，即m∈(0，
2
)．
答案：A
?
log
2
?1－x?，
12．(2009·山 东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
?
?
f?x－1?－f?x－2?，
的值为( )
A．－1
C．1




B．0
D．2


x≤0
x>0
，则f(2 009)
解析：由题意可得：x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，从而f(x－1)＝ f(x－2)－f(x－3)．
两式相加得f(x)＝－f(x－3)，f(x－6)＝f[(x－3 )－3]＝－f(x－3)＝f(x)，
∴f(2009)＝f(2003)＝f(1997)＝…＝ f(5)＝f(－1)＝log
2
2＝1.

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
log
27
16
13.
log4
的值是________．
3
2
log4
log
27
16
3
3
2
解析：
log4
＝
log4
＝
3
.
33
2
答案：
3

kx＋5
14．若函数y＝2
的定义域为R，则实数k的取值范围为__________．
kx＋4kx＋33
解析：kx
2
＋4kx＋3恒不为零．若k＝0，符合题意，k≠0，Δ<0， 也符合题意．所以0≤k<
4
.
?
?
?
3
答案：
?
k
?
0≤k<
4
?
?
?

?
?
?

?
?
15．已知全集U＝{x|x∈R} ，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k且(?
U< br>A)∩B＝?，则实数k的取值范围是________．
解析：?
U
A＝{x|1U
A)∩B＝?，
∴k＋1≤1或k≥3，
∴k≤0或k≥3.
答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)
16．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保
护区成 立于1986年，第一年(即1986年)只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初
快要灭绝 的动物只数y(只)与时间x(年)的关系可近似地由关系式y＝alog
2
(x＋1)给出， 则到
2016年时，预测麋鹿的只数约为________．
解析：当x＝1时，y＝alo g
2
2＝a＝100，∴y＝100log
2
(x＋1)，
∵2016－1986＋1＝31，即2016年为第31年，

∴y＝100log
2
(31＋1)＝500，
∴2016年麋鹿的只数约为500.
答案：500
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
k
17．(1 0分)用定义证明：函数g(x)＝
x
(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增函数． < br>kk
k?x
2
－x
1
?
证明：设x
1
2
<0，则g(x
1
)－g(x
2
)＝
x< br>－
x
＝
xx
.
1212
∵x
1
< x
2
<0，∴x
1
x
2
>0，x
2
－x< br>1
>0，
k
又∵k<0，∴g(x
1
)－g(x
2
)<0，即g(x
1
)2
)，∴g(x)＝
x(k<0，k为常数)在(－∞，0)上为增
函数．
18．(12分)已知集合P＝{x |2≤x≤5}，Q＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，当P∩Q＝?时，求实数
k的取值范围． ??
?
2k－1<2，
?
k＋1>5，
解：当Q≠?，且P∩Q ＝?时，
?
或
?
解得k>4；当Q＝?
??
?
2k －1≥k＋1，
?
2k－1≥k＋1.
时，即2k－14.
19．(12分)已知f(x)为一次函数，且 满足4f(1－x)－2f(x－1)＝3x＋18，求函数f(x)在[－1,1]
上的最大值，并比 较f(2007)和f(2008)的大小．
解：因为函数f(x)为一次函数，所以f(x)在[－ 1,1]上是单调函数，f(x)在[－1,1]上的最大值
?
?
4f?1?－2f? －1?＝18，
为max{f(－1)，f(1)}．分别取x＝0和x＝2，得
?
解 得f(1)＝10，f(－1)
?
?
4f?－1?－2f?1?＝24，
＝1 1，所以函数f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝11.又因为f(1)减函数，所以f(2007)>f(2008)．
20．(12分)已知函数f (x)＝ax
2
－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最 小
值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．

解：(1)f(x)＝a(x－1)
2
＋2＋b－a.
①当a>0时，f(x)在[2,3]上单调递增．
???
?
f?2?＝2
?
4a－4a＋2＋b＝2
?
a＝1
故
?
，即?
，解得
?

???
?
f?3?＝5
?
9a－6a＋2＋b＝5
?
b＝0
②当a<0时，f(x)在[2,3]上单调递减 ．
???
?
f?2?＝5
?
4a－4a＋2＋b＝5
?< br>a＝－1
故
?
，即
?
，解得
?
.
???
?
f?3?＝2
?
9a－6a＋2＋b＝2
?
b＝3
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x
2
－2x＋2，g(x)＝x< br>2
－2x＋2－mx＝x
2
－(2＋m)x＋2，
2＋m2＋m由题意知
2
≤2或
2
≥4，∴m≤2或m≥6.
21．(12分)设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式和定义域；
(2)求f(x)的值域；
(3)讨论f(x)的单调性．
?
?
3x>0，
又
?所以0?
?
3－x>0，






解：(1)lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即lgy＝3x(3－ x)，y＝10
所以f(x)＝10
3x(3
－
x)
(03x(3
－
x)
．

9
?
27327
?
(2)y＝10
3x(3
－
x)
，设u＝3x(3－x) ＝－3x
2
＋9x＝－3
?
x
2
－3x＋
4
?
＋
4
＝－3(x－
2
)
2
＋
4
.当x＝
??
3272727
∈(0,3)时，u取得最大值，所以u∈(0，]， y∈(1,10
2444
]．
3
?
3
?
3
?
27
?
(3)当02
时，u＝－3
?
x －
2
?
2
＋
4
是增函数，而y＝10
u
是 增函数，所以在
?
0，
2
?
上f(x)
????
3
是递增的；当
2
u
是增函数，所 以f(x)是减函数．
22．(12分)已知函数f(x)＝lg(4－k·2
x
)(其中k为实数)，
(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若f(x)在(－∞，2]上有意义，试求实数k的取值范围．
解：( 1)由题意可知：4－k·2
x
>0，即解不等式：k·2
x
<4，
①当k≤0时，不等式的解为R，
4
②当k>0时，不等式的解为x2
k
，所以当k≤0时，f(x)的定义域为R；
4
当k>0时，f(x)的定义域为(－∞，log
2
k
)． 44
(2)由题意可知：对任意x∈(－∞，2]，不等式4－k·2
x
>0恒成 立．得k<
2
x
，设u＝
2
x
，
4
又x ∈(－∞，2]，u＝
2
x
的最小值1.所以符合题意的实数k的范围是(－∞，1) ．