2013年全国高中数学联赛加试试题(word版)及答案

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本 题满分40分）如图，
AB
是圆
?
的一条弦，
P
为弧
AB
内一点，
E,F
为线段
AB

上两点，满 足
AE?EF?FB
.连接
PE,PF
并延长，与圆
?
分别 相交于点
C,D
.求证：
?

EF?CD











AC?B

D
.
二、（本题 满分40分）给定正整数
u,v
.数列
{a
n
}
定义如下：
a
1
?u?v
，对整数
m?1
，

?
?
a
2m
?a
m
?u,

?
a
2m?1
?a
m
?v.
记
S
m
?a
1
?a
2
???a
m
（
m ?1,2,?
）.证明：数列
{S
n
}
中有无穷多项是完全平方数.



三、（本题满分50分）一次考试共有
m
道试题，< br>n
个学生参加，其中
m,n?2
为给定的整
数.每道题的得分规则是： 若该题恰有
x
个学生没有答对，则每个答对该题的学生得
x
分，
未答 对的学生得零分.每个学生的总分为其
m
道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排
列为
p
1
?p
2
???p
n
，求
p
1
?p
n
的最大可能值.



四、（本题满 分50分）设
n,k
为大于1的整数，
n?2
.证明：存在
2k个不被
n
整除的整
数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n
整除.





1
k

2

3

4

5

6