高中数学函数利率问题-2019全国高中数学联赛排行榜
2019年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2019年9月8日上午10∶00—11∶20)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把
答案填在横线上
1. 已
知
2012
2
?2010?2011?2013?2014?k
2
?
k?0
?
,则
k?
.
答案:
2012
2
?2
(或
4048142
)
解: <
br>n
2
?(n?2)(n?1)(n?1)(n?2)?n
2
?(n2
?4)(n
2
?1)
?n
2
?(n
4
?5n
2
?4)?(n
2
?2)
2
.
2. 函数
于 .
答案:1
解:因为
f
(x)?sinxcos
f(x)?sin(x?)?sin(x?)?cosx?3
66??
的最小值等
?
6
?cosxsin
?
6
?
sinxcos
?
6
?cosxsin
?
6
?cosx?3
?3sinx?cosx?3
?2sin(x?)?3,
6
?
所以
f(x)
的最小值为1.
3. 已知
f(x)?
bx?1
2x?a
,其中
a,b
为常数,且
ab
?2
. 若
1
f(x)?f()?k
为常数,则
k
的值为
.
x
答案:
1
.
4
解:由于
1b
x?1b?xbx
2
?(b
2
?1)x?b
k?f(x)?f()?
??
x2x?a2?ax2ax
2
?(a
2
?4)x?2
a
是常数,故
2a?k?b
,且
(a
2
?4)k?b
2
?1
. 将
b?2ak
代入
(a
2
?4)k?
b
2
?1
整理得
(4k
2
?k)a
2
?(1?4k)?0
,分解因式得
(4k?1)(ka
2
?1)?
0
. 若
4k?1?0
,则
ka
2
?1?0
,因此
ab?2ka
2
?2
,与条件相矛盾.
故
1
4k?1?0
,即
k?
.
4
4.
已知方程
3
2x
?3
x?1
?p
有两个相异的正实数解,则
实数
p
的取值范围是 .
答案:
(?
9
,?2).
4
解法一:令
t?3
x
,则原方程化为
t
2
?3t?p?0
.
根据题意,方程
t
2
?3t?p?0
有两个大于1的相异实根. <
br>令
?
?
??(?3)
2
?4p?0,
?
9<
br>f(t)?t
2
?3t?p
,则
?
f(1)?1
2<
br>?3?1?p?0,???p??2.
4
?
3
?
?
1.
?2
解法二:令
y?3
x
,则原方程化为
y
2
?3y?p?0
. 注意到这
个关于
y
的方程最多有两个解,而由<
br>y?3
x
严格单调递增知每
个
y
最多对应一个
x,因此所求的
p
应当使
y
2
?3y?p?0
有两个相异的实数解
y
1
,y
2
,且满足
3
x
1
?y
1
,3
x
2
?y
2
的两个实数<
br>x
1
,x
2
都是正
的. 由于
x
1
,x
2
都是正的,故
y
1
,y
2
都应大于1. 由
于
y
1
?y
2
?3
,
3?y
1
?
1
及
y
1
?3?y
1
. 因此
y
1
的故
y
2
?3?y
1
,因此
y
1
必须满
足
y
1
?1
,
取值范围为
(1,
3
)U(
3
,2)
. 因此
p??y
1
y
2
??y
1
(3?y
1
)
的取值范围为
22
9
(?
,?2)
.
4
5. 将25个数排成五行五列:
a
11
a
31
a
51
a
12
a
32
a
52
a
13
a
23
a
33
a
43
a
53
a
14
a
24
a
3
4
a
44
a
54
a
15
a
25
a
35
a
45
a
55
a
21
a<
br>22
a
41
a
42
已知第一行
a
11
,
a
12
,
a
13
,
a
14
,
a
15
成等差数列,而每一列
a
1j
,
a
2j
,
a
3j
,
a
4j
,
a
5j
(
1?j?5
)都成等比数列,且五个公比全
相等. 若
a
24
?4
,
a
41
??2
,
a
43
?10
,则
a
11
?a
55
的值为______.
答案:
?11
解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数
列的公差不一定相等.
由a
41
??2
,
a
43
?10
知
a<
br>42
?
a
44
?16
,
a
45
?2
2
.
10?(?2)
?4
且公差为6,故
2
由
a
24
?4
,
a
44
?16
知公比
q??2
.
?21
,
a
55
?22?2?4?11
,故<
br>a
11
?a
55
??11
;
??
3
s4
?21
若
q??2
,则
a
11
?
3
?
,
a
55
?22?(?2)?4?(?11)
,故
s4
a
11
?a
55
??11
.
若
q?2
,则
a
11
?
6.设点
P
在曲线
y?
1
e
x
上,点
Q
在曲线<
br>y?ln(2x)
上,则
PQ
的
2
最小值为______.
解:
2(1?ln2)
.
函数
y?
1
e
x
与函数
y?ln(2x)
互为反函数,图象关于
y?x
对
2
称.
函数
1
x
e?x
2
d?
2
1
y?e
x
2
上的点
1
P(x,e
x
)
2
到直线
y?x
的距离为
.
函数设
g(x)?
1
x
11?ln2
e?x?g
?
(x)?e<
br>x
?1?g(x)
min
?1?ln2?d
min
?
.
22
2
由图象关于
y?x
对称得:
PQ
最小值
为
2d
min
?
2(1?ln2)
.
7.将2
个
a
和2个
b
共4个字母填在4×4方格表的16
个小方格内,每个
小方格内至多填一个字母,若使相同字母
既不同行也不同列,则不同的填法种数共有 .
答案:3960
解:使得2个
a
既不同行也不同列的填法有
C4
2
A
4
2
?72
种,
使得2个
b<
br>既不同行也不同列的填法有
C
4
2
A
4
2
?
72
种,故由乘法
原理,这样的填法共有
72
2
种.
其中
不合要求的有两种情况:2个
a
所在的方格内都填
有
b
的情况有72
种;2个
a
所在的方格内恰有1个方格填有
b
1
A
9
2
?16?72
种. 的情况有
C
16
所以,符合条件的填法共有
72
2
?72?16?72?3960
种.
8.一个直角梯形的上
底比下底短,该梯形绕它的上底
旋转一周所得旋转体的体积为
112
?
,该梯
形绕它的下底旋转
一周所得旋转体的体积为
80
?
,该梯形绕它的直角腰旋转
一
周所得旋转体的体积为
156
?
,则该梯形的周长为 .
答案:
16?213
.
解:设梯形的上底长为
a
,下底长
为
b
,高为
h
,则梯
形绕上底旋转所得旋转体的体积为
?<
br>h
2
b?
?
h
2
(a?b)?
?
h
2
(a?2b)
1
3
1
3
,因此
1
2
?
h(a?2b)?112
?
3
,即
h
2
(a?2b)?336
. 同理有
h
2
(2a?b)?2
40
,两式相除得
a?2b3367
??
,
2a?b2405
去分母化简得
b?3a
,代入
h
2
(a?2b)?336
得
ah
2
?48
.
注意到直角腰长等于高
h
,梯
形绕它的直角腰旋转一周
所得旋转体为圆台,其体积为
1
h(a
2
?
ab?b
2
)?156
.
将
b?3a
代入
3
化简得
a
2
h?36
.
结合
ah
2
?48
可解得
a?3,h?4
,因此
b
?9
,由勾
股定理知另一条腰的长度为
长为
3?9?4?2
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分16
x
2
y
2
分)设椭圆
2
+
2
=1
(a>b>0)
的左、右
ab
13?16?213
.
4
2
?(9?3)
2
?213
,因此梯形的周
顶点分别为
A,B
,点
P
在椭圆上且异于
A,B
两
点,
O
为坐标原
点. 若
|AP|=|OA|
,证明:直线
OP
的斜率
k
满足
|k|?3
.
解法一:设
P(
acos
?
,bsin
?
)(0?
?
?2
?
)
,A(?a,0)
.
由
|AP|?|OA|
,有
(a
cos
?
?a)
2
?(bsin
?
)
2
?
a
,
即
a
2
cos
2
?
?2a
2
cos
?
?b
2
sin
2
?
?0
. ……
4分
从而
?
?
?1?cos
?
?0,
2222222
?
?acos
?<
br>?2acos
?
?bsin
?
?asin
?
.
b
2
sin
2
?
1
所以,
??cos
?
?0
,且
22
??1?
2
?3
.
aco
s
?
cos
?
2
bsin
?
2
所以,|k|???1??3.
……16
acos
?
cos
?
分
解法二:设<
br>P(acos
?
,bsin
?
)(0?
?
?2
?
)
.
则线段
OP
的中点
Q(
a
co
s
?
,
b
sin
?
)
.
22
|
AP|=|OA|
?AQ?OP?k
AQ
?k??1
.
k
AQ
?
bsin
?
?bsin
?
?ak
AQ
cos
?
?2ak
AQ
.
……8
2a?acos
?
分
222
?2ak
AQ
?(b
2
?b
2
k
AQ
)?(sin
2
?
?cos
2
?
)?b
2
?a
2k
AQ
?a
2
?a
2
k
AQ
?|k
AQ
|?
1
?|k|?3
.
……16
3
分
2.(本小题满分20分)
设非负实数
a
,
b
,
c
满足
a?b?c?3
. 求
S?(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)
222222
的最大值.
解:不妨设
a?b?c
.显然有
b
根据AM-GM不等式可得 S?ab(a?ab?b)?
2222
2
?bc?c?b
22
,
c
2
?ca?a?a
22
.
……………5分
4
3ab3ab
22
???(a?ab?b)
922
3
2
<
br>66
?
44(a?b)4(a?b?c)
??(a?ab?b)
???
?
2
??12.
2
55
9
?
33
?
??
3
?
3ab3ab
2
……………15分
所以S 的最大值为12,这时
?
a,b,c
?
?
?
2,1,0
?
.
……………20分
3.(本小题满分20分
)求出所有的函数
f:N
对于所有
x
,
y
?N<
br>,
(f(x))
*
*
?N
*
使得
2
?y
都能被
f(y)?x
2
整除.
?1
能被
f(
1)?1
整解:根据题目的条件,令
x?y?1
,则
(f(1))
除
.
因此
(f(1))
f(1)?1
整除.
2
2
?f(1)
能被
f(1)?1
整除,也就是
f(1)(f(1)?1)
能被
因为
f(1)
与
f(1)?1
互素,所以
f(1)?
1
能被
f(1)?1
整除,且
f(1)?1?f(1)?1
,所以<
br>f(1)?1?0
,
f(1)?1
.
……………10分
令
y?1
,则
(f(x))
f(x)?x
,对所有2
?1
能被
1?x
2
整除,因此
(f(x))
2
?x
2
.从而
x
?N
.
*
令
x?1
,则
1?y
能被
y
?N
.
*
f( y)?1
整除.从而
y?f(y)
,对所有
综上所述,
f(x)?x
,对所有x
?N
.
*
……………20分