全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题18集合真题汇编与预赛典型例题

1．【2019年全国联赛】若实数集合
的值为
【答案】
.
.
的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x
【解析】由题意知，x为负值 ，
2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈ A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为

【答案】24
【解析】由条件知，
故B∩C的元素个数为24.
3．【2013年全国联赛】设集合
【答案】-5
【解析】
易知，
当
当
因此，集合
时，
时，
.
.
.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
.
.
；
.则集合中所有元素的和为______.
.
从而，集合中所有元素的和为
4．【2011年全国联赛】设集合
，则集合
【答案】
【解析】


______.
显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，

.
从而，集合的四个元素分别为.

因此，集合
故答案为:
.
5．【2019年全国联赛】设V是空间中20 19个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，
记E为这些线段构成的集合.试求最 小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个
二元子集.其中每个二元子集中 的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.
【答案】
【解析】我们来证明一 个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分
为个二元子集，二元子 集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.
设结论对m≤k成立，k≥3，
则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一 顶点B上，则将A
i
B与A
j
B分为
个二元子集且两两不相交，结论 成立，
度为2，设B
i
与A
i
，C相连，将与
二元子集， 对其余m-2条边由归纳假设，可分为
否则设分别接在顶点上，若存在
B
i
C 取下，同理由归纳假设结论成立，
否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B
1
在环上与C，D相连，在H中把
引理证毕.故原命题成立.
6．【2015年全国联赛】设
求
【答案】
【解析】
由条件知
于是
则
的值.

与B
1
C去掉 ，图依然连通，由归纳假设同理可证，
为四个有理数，使得.
为六个互不相同的数，且其中没有 两个为相反数.
的绝对值互不相等. 不妨设
中最小的、次小的两个数分别为
.
.
故

.
结合
由此易知
.
经检验，两组解均满足条件.
从而，
7．【2015年全国联赛】设
对任意，均有.若
.
，其中 ，个互不相同的有限集合，满足
表示有限集合的元素个数），证明：存在
，只可能.
，使得属于
【答案】见解析
【解析】
不妨设
设在
设包含
.
中与
中的至少个集合.
不相交的集合有个，重新记为
.
.
；
的集合有个，重新记为< br>，即由已知条件，得
于是，得到一个映射
显然，为单射.从而，
设
在< br>.
中除去
.
.
后，在剩下的
个集合中，设包含
个集合中，设包含
的集合有个，由于剩下的
的集合
个集合中有个，由于剩下的
每个集合与的交非空，即包含某个，从而，
. ①
不妨设
则由式①知
又由于
.
，即在剩下的
，故
个集合中，包含的集合至少有
均包含.
个.
因此，包含的集合个数至少为