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2020年整理往年全国高中数学联赛一试真题及答案详解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:14
tags:2013全国高中数学联赛

岳阳高中数学教师考编试题-复兴高中数学水平

2020年9月19日发(作者:戈书涛)


2010年全国高中数学联赛

一 试

一、填空题(每小题8分,共64分,)
1. 函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是 .
2
2. 已 知函数
y?(acosx?3)sinx
的最小值为
?3
,则实数
a
的取值范围是 .
3. 双曲线
x?y?1
的右半支与直线x?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标
均为整数的点)的个数是 .
4. 已知
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列 ,
{b
n
}
是等比数列,其中
22
a
1
? 3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3
,且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n都有
a
n
?log
?
b
n
?
?


?
?
?
?
.
5. 函数
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的最大值为8,则它在这个区
间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱
ABC? A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等,
P
是< br>CC
1
的中点,二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,

sin
?
?
.
8. 方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解(x
,
y
,
z
)的个数是 .
二、解答题(本题满分56分)
9. (16分)已知函数
f(x)?ax?bx? cx?d(a?0)
,当
0?x?1
时,
f
?
(x)?1< br>,试求
a
的最大值.
10.(20分)已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2

232
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂 直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大值.

11.(20分)证明:方程
2x?5x?2?0
恰有一个 实数根
r
,且存在唯一的严格递增正整数数

{a
n
},使得


3
2
?r
a
1
?ra
2
?r
a
3
??
.
5

1


解 答


1.
[?3,3]
提示:易知
f(x)
的定义域是
?
5, 8
?
,且
f(x)

?
5,8
?
上是增函 数,从而可知
f(x)
的值域为
[?3,3]
.
2.
?
3
?a?12
提示:令
sinx?t
,则原函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
,即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
3
?a t(t?1)?3(t?1)?0
,由
?at?(a?3)t??3

(t? 1)(?at(t?1)?3)?0

t?1?0

2
?at(t?1)?3?0

a(t
2
?t)??3
. (1)

t?0,?1
时(1)总成立;

0?t?1,0?t?t?2
;对
?1?t?0,?
2
13
?t
2
?t?0.从而可知
??a?12
.
42
3. 9800 提示:由对称 性知,只要先考虑
x
轴上方的情况,设
y?k(k?1,2,?,99)
与双 曲线
右半支于
A
k
,交直线
x?100

B
k
,则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99? k
,从而在
x
轴上方区
域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99

x
轴上有98个整点,所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.
4.
3
3?3
提示 :设
{a
n
}< br>的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
,则
3?d?q,
(1)
3(3?4d)?q
2
, (2)
(1)代入(2)得
9?12d?d?6d?9
,求得
d?6,q? 9
.
n?1
从而有
3?6(n?1)?log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立,即
6n?3?(n?1)log
?
9??

2
一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?


2


求得
?
?
3
3,
?
?3

?
?
?
?
3
3?3
.
5.
?
3
1
x2
提示:令
a?y,
则原函数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)

(?,+?)< br>上是递增的.
2
4
?1

0?a?1
时,
y?[a,a]
,
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
所以
1

2
111
g(y)
min
?()
2
?3??2??

224

a?1
时,
y?[a
?1
,a]< br>,
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8?a?2

所以
1
g(y)
min
?2
?2
?3?2?1
?2??
.
4
1
综上
f(x)

x?[?1,1]
上的最小值为
?
.
4
217
12
6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为?
,从而先投掷人的获胜概率
3612
17

757577
?
()
2
??
()
4
???
??< br>1212121212
12
112
?
.
25
17
1?
144
7.
10
提示:解法一 :如图,以
AB
所在直线为
x
轴,线段
AB
中点
O
为原点,
OC
所在
4
直线为
y
轴,建立空间直角坐 标系.设正三棱柱的棱长为2,则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A
1
(?1,0,2),P(0,3,1)
,从而,
BA
1
?(?2 ,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B< br>1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量

m?(x
1
,y
1
,z
1
)

n?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
z
A< br>1
C
1
B
1
P
A
O
C
B< br>
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z
1
?0,

?
?
?
m?BP??x
1
? 3y
1
?z
1
?0,
?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0,

?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
? 0,
x
y
3


由此可设
m?(1,0,1),n? (0,1,3)
,所以
m?n?m?ncos
?
,即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
.
4
6
.
4
所以
sin
?
?
A
1
解法二:如图,
PC?PC
1
,PA
1
?PB< br> .

A
1
B

AB
1
交于点< br>O,
C
1

E
B
1
O
A
P

OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB
1
.
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?

PA
1
B< br> .

O
在平面
PA
1
B
上作
O E?A
1
P
,垂足为
E
.
C
B
连结B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面角
B? A
1
P?B
1
的平面角.设
AA
1
?2
, 则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2 ,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中,
A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.

B
1< br>O?2,?B
1
E?B
1
O
2
?OE
2?2?
645
?
.
55
sin
?
?sin? B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
2
8. 336675 提示:首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
C
2009
?2009?1004
.

x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类:
(1)
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知


4


1?3?1003?6k?2009?1004

所以

6k?2009?1004?3?1003?1


?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004


k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.

?
f
?
(0)?c,
?
13
?
2
9. 解法一:
f
?
(x)?3ax?2bx?c,

?
f
?
()?a?b?c,

4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
所以
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

2

?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

?8

1
2
所以
a?

88
32
. 又易知当< br>f(x)?x?4x?x?m

m
为常数)满足题设条件,所以
a最大值
33
8
.
3
2
解法二:
f
?
(x)?3ax?2bx?c
. 设
g(x)?f
?
(x)?1
,则当
0?x?1
时,
0?g(x)?2
.

z?2x?1
,则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1< br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时,
0?h(z)?2 ,0?h(?z)?2
. 从而当
?1?z?1
时,
0?
h(z)?h(?z)
?2
, 即
2
0?
3a
2
3a
z??b?c?1?2
44
3a3a8
?b?c?1?0
,
z
2
?2
,由
0?z
2
?1

a?
. 从而
443
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4 x?x?m

m
为常数)满足题设条件,所以
a
最大值为.
33

5


10. 解法一:设线段
AB
的 中点为
M(x
0
,y
0
)
,则
x
0?
x
1
?x
2
y?y
2

?2,y
0
?
1
22
k
AB
?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?
2
2
??
.
x
2
?x
1
y
2
?y
1
y
0
y
2
y
1
2
?
66
线段AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
. (1)
3
易知
x?5,y?0
是(1)的一个解,所以线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,且点
C
坐标为
(5,0)
.
由(1)知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(x?2)
,即
y
0
x?
y
0
(y?y0
)?2
. (2)
3
2
2
(2)代 入
y?6x

y?2y
0
(y?y
0
)?12,即
2
y
2
?2y
0
y?2y
0
? 12?0
. (3)
依题意,
y
1
,y
2< br>是方程(3)的两个实根,且
y
1
?y
2
,所以
2 22
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y

AB?

?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(1? (
y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2

3
O
A
B
2
y
0

?(1?)[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

9
2
y
0
22

?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9
C(5,0)
x

?
2
22
( 9?y
0
)(12?y
0
)
.
3
6

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