全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

20XX年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案

一、填空题（每小题8分，共64分）
1.已知函数f?
x??ln
答案：2
提示： ?1?则f?l na??f?lnax?1?a?0?，??a???
f?x??f?
?x??ln
是
．
答案：?1,???
ax?ln?ax?2?ln?1?a2x2?a2x2??2?2.2?22.设A、B两点分别在抛物线y2 ?6x
和圆C:?x?2??y?1上，则AB的取值范围
提示：由于AB?AC?1，则只需要考虑AC的范围．而
AC??x?2??y2??x?2??6x
?x?2x?4??x?1??3,22222
又x?0，故ACmin?2，故AB的取值范围为?1,???.
3.若tan??3tan??0?????
答案：?????，则???的最大值为 ． 2??． 6
tan??tan?2tan??1?tan?tan?1?3tan2?
2? ?3tan?tan?提示： tan?

?????
??tan.36
??因为0?????，所以0?????. 22
??所以????，即???的最大值为. 66
4.已知△ABC为等腰 直角三角形，其中?C为直角，AC?BC?1，过点B
作平面ABC的垂线DB，使得DB?1，在D A、DC上分别取点E、F，则△BEF
周长的最小?
1
值为 ．
提示：由题意可知，?CDB?
侧面 ?4,且?BDA与?CDA之和为?.如图，将侧面BDA和2
CDB分别折起至面B1D A和B2DC，且与侧面ADC位于同一个平面上．则
△BEF周长的最小值即面AB1DB2C上两点 B1、B2之间的线段长．
由前面的分析可知，
?B1DB2??B1DA??ADC??CDB2
3????.244
由余弦定理可得，
??
B1B2???所以，△BEF
x35.已知函数f?x??x?3x，对任意的m???2,2?,f?mx?8??f2?0恒成立， ??
则正实数x的取值范围为 ．
答案：0?x?2.

x3提示：由于f?x??x?3x为奇函数且为增函数，所以f?mx?8??f2?0等
价于
??
2
f?mx?8???f?2x??f??2x?，即mx?8??2x.
即mx?2?8?0对任意m???2,2?恒成立． x
x??0?x?2,?2x?2?8?0,即?所以即0?x?2. ?x0?x?4,????2x?2?8?0,
??????????*a?2c?b6.已 知向量a、且b?b、c满足a:b:c?2:k:3?k?N?，???，
若?为a、
?c的夹角，则cos?的值为 ． 答案：?.
?1?2?????提示：由b?a?2c?b得b?a?c，所以 33?21?24?24??b?a?c?a?c.
999???又a:b:c?2:k:3，所以 16??
k2?4024?1664??cos???,?. 99?99?
1
6*又k?N，所以k?2，所以cos?的值为?.
7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容
器棱长最小值为 ．
答案：4?
提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个， 第3
层6个，即每一条棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍
的小球的半径加上 2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上射影的长度，
又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成 角的

?4? 4?2?3
8.将10个小球（5个黑球和 5个白球）排成一行，从左边第一个小球
开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个 数的概率
为 ． 答案：.
提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1 白），那么黑球的个数总不
少于白球个数的概1611；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个
数总不少于白球个数的概率为；23
1如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个
数的概率为；以此类4率为
推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向
右数小球，无论数几
3
个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为.
方法二 直接从10个小球入手分类讨论．
二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分）
9.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，向量 16
???p??sinA?sinC,sinB?,q??a?c,b?a?，
???且满足p?q．
（1）求△ABC的内角C的值；
（2）若c?2,2sin2A?sin?2B?C??sinC，求△ABC的面积．
???解 （1）由题意p?q，所以
?a?c??sinA?sinC???b?a?sinB?0.

由正弦定理，可得?a?c??a?c???b?a?b?0.
整理得a?c?b?ab． 222
?a2?b2?c21?,又C??0,??，所以C?. 由余弦定理可得，cosC?32ab2
(2)由2sin2A?sin?2B?C??sinC可得，
4sinAcosA?sin?B???A??sin?B?A?.
整理得，4sinAcosA?sin?B?A??sin?B?A??2sinBcosA.
当cosA?0时，A??
2，此时
，b?2cot?
3?，所以△ABC的面
积1S?ABC?bc? 2当cosA?0时，上式即为sinB ?2sinA，由正弦定理可得
b?2a,又a?b?ab?4，
22
解之得，a?1 b?所以△ABC
的面积S?ABC?absinC?2综上所述，△ABC的面积
1S?ABC?absinC? 24
10.已知数列?an?满足：a1?2,an?1?a2
n?2an.
（1）求证：数列?lg?an?1??是等比数列，并求?an?的通项公式；
（2）若b11
n?a?，且数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?1.
nan?2 证 （1）由已知得a22a2

n?1?an?n,an?1?1??an?1?.
因为a1?2，所以an?1?1，两边取对数得lg?1?an?1??2lg?1?an?,即
lg?1?an?1?
lg1?a?2，故?lg?an?1??为以lg3为首项，2为公比的等比数列，即
nlg?an?1??2n?1lg3,即an?1
n?32?1.
（2）方法一 由a2
n?1?an?2a11?11?
n，两边取倒数得a???2?，所以n?12?anan??
1
a?1?2，即bn?2??1
??1??，故S?11?
n?2??
n?2anan?2anan?1??232n?1??,故Sn?1. 方法二
b2?32n?1
n?1?1
32n?1?132n?1?1?32n?1
?2??11?
?32n?1?1?32n?1?1??,
则
S?11?
n?2??2?32n?1???1.
由于

11.设f?x??ex?ax?a.
（1）若f?x??0对一切x??1恒成立，求a的取值范围；
1008
（2）求证：??2015?
?2016???e?1
2.
（1）由f?x??0得?x?1?a?ex，即a?ex
解x?1?x??1?． 5
xexex
. 令h?x??，则h??x??2x?1?x?1?
由h??x??xex
?x?1?2?0得x?0.
所以h?x?在?0,???上单调递增，h?x?在??1,0?单调递减．
所以h?x??h?0??1?x??1?,由此得a?1.
又x??1时，?x?1?a?ex即为0?a?e，此时a取任意值都成立． ?1
综上可得a?1.
?2015?（2）???2016?1?e2015等价于1??e2016. ?e等价于
20162016?12
x由（1）知，当a?1时f?x??0对一切x??1恒成立，即e?x?1（x?0时
取等号）． 111?e2016. 取x??，得1?20162016
?2015?即证得：???2016?1008?e. ?1
2

12. 已知：如图，两圆交于A、B两点，CD为一条外公切线，切点分
别为C、D．过A任意作一条 直线分别交两圆于E、F，EC交FD于点P．
求证：PB平分?EBF.
证 如图，连结BA、BC、BD,延长CD．由A、B、E、C共圆有?1??CBA，
同理，?2??
DBA.
6
又?1??2??EPF?180，所以
??CBD??CPD??1??2??EPF?180. ?
故P、C、B、D四点共圆．
则?CBP??3??4??DBF（弦切角等于圆周角）．
同理?CBE??5??DBP.
所以
?EBP??EBC??PBC??DBP??FBD??FBP,
此即为PB平分?EBF.
13.设正数x、y满足x?y?x?y，求使x??y?1恒成立的实数?的最大值．
33解 由正数x、y满足x?y?x?y，知x?y?0. 3322
令t?x?1. y
2222x3?y3
不等式x??y?1等价于x??y?,x?y x3?y3x2y?y3
2等价于?y??x?, x?yx?y2
x2y?y3

等价于??, 2x?yyx2?y2t2?1等价于???. 2xy?yt?
1
7
因为
t2?12f?t???2??t?1?
?t?1t?1
?2?
?2?等号仅当t?
1?2，即t?1
?的最大值为2? t?1
x2?1?14.已知椭圆C:?y2?1及点P?1,?，过点 P作直线l与椭圆C交于A、
B两点，2?2?
过A、B两点分别作C的切线交于Q．
（1）求Q的轨迹方程：
（2）求△ABQ的面积的最小值．
解 （1）设A?x1,y1?、B?x2,y2?、Q?x0,y0?，则QA:x1x?y1y?1过Q，有
2
x1x0?y1y0?1； ① 2
xxQB:2?y2y?1过Q，有 2
x2x0?y2y0?1， ② 2
故直线AB为xyx0x?1??y0y?1，由于直线AB过点P?1,?，则有0?0?1，
即 222?2?

x0?y0?2. ③
故Q的轨迹方程为x?y?2.
（2）当直线AB斜率不存在时，即直线AB的方程为x
?1，此时A?1,?
???B1,?、、??
2?2??
C
?2,0?.所以
1S?ABQ?1? 22
当直线AB的斜率存在时，设直线AB:y?1?k?x?1?，即 2
8
y?kx?1?k. 2
?x2?2y2?2,?联立?消去y得 1?y?kx??k,?2
?2k23???1?x2?2k?1?2k?x??2k2?2k???0. 2??于是有
2k?2k?1??,?x1?x2?22k?1??3 22k?2k??.?x1x2?2k2?1?
又①?②，得到x02??4k?ky0?0与③联立，可解得Q?,?，则
2?2k?11?2k?S?AQB?1ABd2
1?x22?32?4k?4k?3??,42k2?12k?1
可得 S?AQB?21?. 2228?2k?1??2k?1?
2?4k2?4k?3?3
23令f?k???4k?2k2?4k?3?2?1??2k?1?
2，则

f??k???8?4k2?4k?3??k?1??8k2?4k?3?
?2k2?1??2k?1?33,
故f?k?在区间???,?1?上单调递减，??1,?上单调递增，??
?1?2??1?,???上单调递减，又?2?
k???limf?k??4,所以
9
1f?k?min?f??1??. 3
于是，当k??1时，△AQB
面积的最小值为Smin? 10