数列-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第12讲：数列
1、（2009一试 7）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，
最后一行仅 有一个数，第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表 示）
【答案】
101?2
98

【解析】易知：(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d
1
?1
，
d
2
?2
，
d
3
?2
2
，…，
d
99
?2
98
(ⅲ)
a
100
为所求．设第
n
?
n≥2
?< br>行的第一个数为
a
n
，则
n?3n?2
?

a
n
?a
n?1
?
?
a
n?1
?2n?2
?
?2a
n?1
?2
n?2
?2
?2a?2?2
n?2
??
3n?2
n?4n?2n?2
n?1n ?2n?2
?
?2a?3?2
=……
?2a?n?1?2?n?12
?2
2
?
2a?2?2?2?2
????
n?3
1
n?3
??
故
a
100
?101?2
98
．

2、（2010一试4）已知
{a
n
}
是公差不为
0
的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5< br>?b
3
，且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数n
都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
，则
?
?
?
?
.
【答案】
3
3?3

从而
log
?
9?6 ,?3??log
?
9?
?
，求得
?
?
3
3,
?
?3
，
?
?
?
?
3
3?3
.

3、（2013一试8）已知数列
?
a
n
?
共有9项，其中
a
1
?a
9
?1
，且对每个
i?
?
1,2,
这样的数列的个数为.
【答案】491
【解析 】令
b
i
?
a
i?1
?
1?i?8
?，则对每个符合条件的数列
?
a
n
?
有
a
i
,8
?
，均有
a
i?1
?
1
?
?
?
2,1,?
?
则
a
i
2
??
?
b
i
?
?
i?1i?1
88
a
i?1a
9
1
??
??1
，且
b
i
?
?
2,1,?
?
?
1?i?8
?
.
2
?
a
i
a
1
?

1
○
1
的8项数列
?
b
?
可唯一确定一 个符合题设条件的9项数列
?
a
?
. 反之，由符合条件○
n
n
1
的数列
?
b
?
的个数为
N
.显然< br>b
?
1?i?8
?
中有偶数个
?
记符合条件○
i
n
11
，即
2k
个
?
；继而有
2k< br>个2，
8?4k
22

k
个1.当给定
k
时，
?
b
n
?
的取法有
C
8
2k
C
8
2
?2k
种，易见
k
的可能值只有0,1,2，所以
24
N?1?C
8
2
C
6
?C
8
4
C
4
?1?28?15?70?1?491
.
因此，根据对应原 理，符合条件的数列
?
a
n
?
的个数为491

4、（2014一试4）数列
{a
n
}
满足
a
1
? 2,a
n?1
?
2(n?2)
a
2014
a
n(n?N
?
)
，则=_____.
n?1
a
1
?a
2
?...?a
2013
【答案】

2015
.
2013
将上面两式相减，得S
n
?2
n
(n?1)?(2
n?1
?2
n?2
?????2?2)
?2
n
(n?1)?2
n
?2
n
n.

a
2014
2
2013
?20152015
故??.
a
1
?a
2
?????a
2013
2
2013
?20132013

5、（2017一试8）设两个严格递增的正整数数列
{a
n
}
，
{b
n
}
满足
a
10
?b
10
?2017,
，对任意的正整数
n
，
有< br>a
n?2
?a
n?1
?a
n
,b
n?1?2b
n
,
则
a
1
?b
1
的所有可能 值为.
【答案】13,20.
【解析】由条件可知，
a
1
,a< br>2
,b
1
均为正整数，且
a
1
?a
2
,

由于
2017?b
10
?2
9
?b
1
?512b
1
,
故
b
1
?{1,2,3}.反复运用
{a
n
}
的递推关系知
a
10
?a
9
?a
8
?2a
8
?a
7
?3a
7
?2a
6
?5a
6
?3a
5
?8a
5< br>?5a
4
?13a
4
?8a
3
?21a
3< br>?13a
2
?34a
2
?21a
1

因此< br>21a
1
?a
10
?b
10
?512b
1< br>?2b
1
(mod34)

而
13?21=34?8+1，< br>故有
a
1
?13?21a
1
?13?2b
1
?26b
1
(mod34)
另一方面,注意到
a
1
?a2
,
有
55a
1
?34a
2
?21a
1
?512b
1
,故a
1
?
(1)

(2)

512
b
1
55
a
1
?
当
b
1
?1
时,(1)(2)分别化为
a
1
?26(mod34)，
512
,
无解.
55
a
1?
当
b
1
?2
时，（1）（2）分别化为
a
1
?52(mod34)，
a
1
?
当
b
1
? 3
时，（1）（2）分别化为
a
1
?78(mod34)，
综上所述 ，
a
1
?b
1
的所有可能值为
13,20.
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1024
,
得到唯一的正整数
a
1
?18,此时
a
1
?b
1
?20.

55
15 36
,
得到唯一的正整数
a
1
?10,
此时
a1
?b
1
?13.

55

6 、（2009一试10）已知
p
，
q
?
q?0
?
是 实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，
?
，数列
?
a
n
?
满足
a
1
?p< br>，
4，
a
2
?p
2
?q
，
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n?3，
?
1
，求
?
a
n
?
的前
n
项和．
4
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式（用
?
，
?
表示）；(Ⅱ)若
p?1
，
q?

数列
?
b
n
?
的首项为：
b
1
?a
2
?
?
a
1
?p
2
?q?
?
p ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
．
22，
所以
b
n
?
?
2
?
?
n ?1
?
?
n?1
，即
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，
2，
所以< br>a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1?
n?1，
?
．
?
．
①当
??p
2
?4q?0
时，
?
?
?
?0
，
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
，
a
n ?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n? 1，2，
?
变为
2，
a
n?1
?
?
an
?
?
n?1
?
n?1，
数列，其首项为
a< br>1
?
2
?
?
．整理得，
a
n
an?1
?
?
n?1
a
n
?
n
2，?1
，
?
n?1，
?
．所以，数列
?
?
a
n
?
成公差为
1
的等差
n
?
?
?
?
??
?2
．所以
?
n
?2?1
?< br>n?1
?
?n?1
．
于是数列
?
a
n?
的通项公式为
a
n
?
?
n?1
?
?
n
；
②当
??p
2
?4q?0
时，
?< br>?
?
，
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
a
n
?
?
?< br>?
n?1
??
?
?
?
a
n
?
?
n?1
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
?
?
?
?
??
?
?
?
．
??
n?2
?
n?1
?
2，
?
?
?a
n
?
整理得
a
n?1
?
?
，
?
n?1，
?
?
??
?
?
??
?
．
?
?
n?1
?
所以，数列
?
a
n< br>?
?
成公比为
?
的等比数列，其首项为
?
?
?
??
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?
2
a
1
??
?
?
?
????
n?1
． ．所以
a
n
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
n?1
?
?
n?1
于是数列
?
a
n< br>?
的通项公式为
a
n
?
．
?
?
?
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
n
11
，则
??p
2
?4q?0
，此时
?
?
?
?
．由第(Ⅰ )步的结果得，数列
?
a
n
?
的通项公式为
42
?
1
?
n?1
a
n
?
?
n?1
?< br>??
?
n
，所以，
?
a
n
?
的前< br>n
项和为
2
?
2
?
s
n
?
234
???
22
2
2
3
?
nn?1

?
n?1n
22
?
nn?1

?
2n2< br>n?1
1234
s
n
?
2
?
3
?< br>4
?
2222

13n?3
以上两式相减，整理得
s
n
??
n?1

222
所以
s
n
?3?

n?3
． n
2
?
?
?
A
1
?A
2
?< br>?
?2
?
，解得
A
1
?A
2
?1< br>．故
a
n
?
?
1?n
?
?
n
．
?
22
?
?
?
A
1
?2A
2
?
?
?3
?
②当
?
?
?
时，通 项
a
n
?A
1
?
n
?A
2
?n
?
n?1，2，
?
．由
a
1
?
?< br>?
?
，
a
2
?
?
2
?
?< br>2
?
??
得
?
?
?
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
A?
A?
，解得，．故
?
2
1
2222
?
?
?
?
?
?
A
?
?A
?
??
?
?
?
??
?
?
12
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1a
n
???
．
?
?
??
?
??
?
?
(Ⅱ)同方法一．

7、（2010二试3）给定整数
n?2
，设正实数
a
1
,a
2
,,a
n
满足
a
k
?1,k?1, 2,
,k?1,2,,n
．
,n
，记
A
k
?< br>求证：
a
1
?a
2
?
k
?a
k?
a
k
?
?
A
k
?
k?1k?1nn
n?1
．
2
【解析】由
0?a
k
?1< br>知，对
1?k?n?1
，有
0?
?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k?1
?
a
n
i
?n ?k
．
注意到当
x,y?0
时，有
x?y?max
?x,y
?
，于是对
1?k?n?1
，有
1
n
?
11
?
k
A
n
?A
k
?
??
?
?
a
i
?
?
a
i
n
i?k?1
?
nk
?
i?1
1
n
? 1
n
?
11
?
k
?
?
a
i
?
?
?
?
?
a
i
?max
?
?
a
i
,
n
i?k?1
?
kn
?
i ?1
?
n
i?k?1
?1
?max
?
(n?k),
?
n
nn
?
11
?
k
?
?
?
?
?
a
i
?

?
kn
?i?1
?
k
?
11
?
?
?1?
， < br>?k
??
?
n
?
kn
?
?
n
故

?
a
k
?
?
A
k
?nA< br>n
?
?
A
k
?
k?1k?1k?1
?
?
A
n
?A
k
?
?
?
A
n?A
k
k?1k?1
n?1n?1
?
k
?
n? 1
．
?
?
?
1?
?
?
2
n?
k?1
?
n?1
8、（2011一试10）已知数列
{an
}
满足：
a
1
?2t?3(t?
R且
t?? 1)
，

a
n?1
(2t
n?1
?3)a< br>n
?2(t?1)t
n
?1
(n?
N
*
)< br>．
?
n
a
n
?2t?1
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；（2）若
t?0
，试比较
a
n? 1
与
a
n
的大小．
【解析】（1）由原式变形得
a
n?1
2(t
n?1
?1)(a
n
?1)
??1
，
a
n
?2t
n
?1
2(a
n
?1)< br>a?12(a
n
?1)
t
n
?1
． 则
n< br>n
?
?
1
1
??
t?1a
n
?2t
n
?1
a
n
?1
?2
t
n
?1< br>记
又
2b
n
a
n
?1
a
1
?1
2t?2
b?
，则，
?bb???2
．
n?1
n1
b
n
?2
t
n
?1t?1t?1
11111
??,?
，从而有
b
n?1
b
n
2b
1
2
111n
??(n?1)??
，
b
n
b
1
22
a
n
?1
2
2(t
n
?1)故
n
?
，于是有
a
n
??1
．
t? 1nn
2(t
n?1
?1)2(t
n
?1)
?
（2 ）
a
n?1
?a
n
?

n?1n
?
2(t?1)
?
n(1?t?
n(n?1)
?
?t
n?1
?t
n
)?(n?1)(1?t??t
n?1
)
?
?

?(t
n
?t
n?1
)
?
?

?
2(t?1)
n
?
nt?(1?t?
?
n(n? 1)
?t
n?1
)
?
?
?
2(t?1)
n n
?
(t?1)?(t?t)?
?
n(n?1)
2(t?1)
2
n?1n?2
?
?(t?t?
?
n(n?1)
?1)? t(t
n?2
?t
n?3
??1)??t
n?1
?
?
，
显然在
t?0(t?1)
时恒有
a
n?1
? a
n
?0
，故
a
n?1
?a
n
．

9、（2012一试10）已知数列
?
a
n
?
的 各项均为非零实数，且对于任意的正整数
n
，都有
(a
1
?a2
?
33
?a
n
)
2
?a
1
?a
2
?
3

?a
n
（1）当
n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2
,a
3
;
（2）是否存在满足条件的无穷数列
{a
n
}
，使得
a
2013
??2012?
若存在，
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,1

(2)令
S
n
?a
1
?a
2
?
233?a
n
,
则
S
n
?a
1
?a
2
?
333
?a
n
(n?N
?
)
从而(S
n
?a
n?1
)
2
?a
1
?a< br>2
?
33
?a
n
?a
n?1
.

2
n?1
时,由(1)知
a
1
?1
; 两式相减, 结合
a
n?1
?0
得
2S
n
?a
n?1< br>?a
n?1
当
22
当
n?2
时,
2a
n
?2(S
n
?S
n?1
)?(a
n?1
?a< br>n?1
)?(a
n
?a
n
),
即
(a
n?1
?a
n
)(a
n?1
?a
n
?1)?0,

所以
a
n?1
??a
n
或
a
n ?1
?a
n
?1

?
n(1?n?2012)
又< br>a
1
?1,a
2013
??2012,
所以
a
n
?
?

n
?
2012?(?1)(n?2013)

10、（2012二试 4）设
S
n
?1?
1
?
2
?
1
， ｎ是正整数．证明：对满足
0?a?b?1
的任意实数
a,b
，数
n
列
{S
n
?[S
n
]}
中有无穷多项属于
(a,b)
．这里，
[x]
表示不超过实数ｘ的最大整数．

又令
N
1
?2
t(m?1)
,则
S
N
1
?S
2
t(m?1)
?m?1?m?b,

因此存在
n? N
?
,N
0
?n?N
1
,
使得
m?a?S
n
?m?b,
所以
S
n
?[S
n
]?(a ,b)

不然一定存在
N
0
?k,
使得
S
k?1
?m?a,S
k
?m?b,
因此
S
k
?S< br>k?1
?b?a,

这与
S
k
?S
k?1< br>?
11
??b?a
矛盾.所以一定存在
n?N
?
,< br>使得
S
n
?[S
n
]?(a,b)

kN< br>0
(2)假设只有有限个正整数
n
1
,n
2
,,n< br>k
,
使得
S
n
j
?[S
n
j
]?(a,b),(1?j?k
令
)
c?
min
S
nj
?[S
n
j
],
则
1?j?k
??
a?c?b,
则不存在
n?N
?
,n?N
?
,
使得
S
n
?[S
n
]?(a,c),
这与（1）的结论矛盾.
所以数列
?
S
n
?[S
n
]
?
中 有无穷多项属于
(a,b)
.终上所述原命题成立
证法二:(1)
S2
n
?1?
11
??
23
?
1
n
2
?
1111
)?1??(?)?
2
n
22
2
2
2
?(
1
?
2
n
?
1
)

2
n
?1?
1111
?(
1
?
2
)?(
n?1
?
22?122?1
1111
?1?????n

2222
因此,当
n
充分大时,
Sn
可以大于如何一个正数,令
N
0
?[
11
]?1,< br>则
N
0
?,
当
k?N
0
时,
b? ab?a
S
k
?S
k?1
?
11
??b?a

kN
0

因此,对于如何大于
S
N
0的正整数
m,
总存在
n?N
0
,
使
S
n
?m?(a,b),

即
m?a?S
n
?m?b,
否则,一定存在
k?N
0
,
使
S
k?1
?m?a ,
且
S
k
?m?b,

这样就有
S
k
?S
k?1
?b?a,

而
S
k
?S
k?1
?
11
??b?a,
矛盾 .故一定存在
n?N
0
,
使得
m?a?S
n
?m? b,

kN
0
令
m
i
?[S
N
0
]?i(i?1,2,3,),
则
m
i
?S
N
0< br>,
故一定存在
n
1
?N
0
,

使< br>m
i
?a?S
n
i
?m
i
?b
,因 此
a?S
n
i
?m
i
?S
n
i
? [S
n
i
]?b

这样的
i
有无穷多个,所以数列
?
S
n
?[S
n
]
?
中有无穷多项属于< br>(a,b)


11、(2013一试10)（本题满分16分）给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
，
n?2,3,
，这里
S
n
?x
1
?? x
n
.证明：存在常数
C?0
,使得
x
n
?C?2
n
，
n?1,2,
.
【解 析】当
n?2
时，
S
n
?2S
n?1
等价于
x
n
?x
1
?
对常数
C?


?x
n?1
.
.


1
○
1
x
1
，用数学归纳法证明：
x
n
?C?2
n< br>，
n?1,2,
4

2
○
12、（2013二 试2）（本题满分40分）给定正整数
u,v
.数列
?
a
n
?
定义如下：
a
1
?u?v
，对整数
m?1
，
?
a
2m
?a
m
?u,

?
a? a?v.
m
?
2m?1
记
S
m
?a
1?a
2
??a
m
?
m?1,2,
?
.证明：数 列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数.
【证明】对正整数
n
，有
S
2
n?1
?1
?a
1
?
?
a
2
?a
3
?
?< br>?
a
4
?a
5
?
??
?
a
2
n?1
?2
?a
2
n?1
?1
?
?
?
a
2
n
?1
?u?a
2
n
?1
?v
?


?u?v?
?
a
1?u?a
1
?v
?
?
?
a
2
?u?a
2
?v
?
?
?2
n
?
u?v
?< br>?2S
2
n
?1
，

所以
S
2
n
?1
?2
n?1
?
u?v
?
?2S
2
n?1
?1
?2
n?1
?
u?v
?
?22
n?2
?
u?v
?
?2S
2
n ?2
?1

?2?2
n?1
?
u?v
?
? 2
2
S
2
n?2
?1

??
??
?
n?1
?
?2
n?1
?
u?v
?
?2< br>n?1
?
u?v
?


?
?
u?v
?
n?2
n?1
.
设
u?v?2
k
?q
，其中
k
是非负整数，
q
是奇 数.取
n?q?l
2
，其中
l
为满足
l?k?1
?
mod2
?
的任意正整数，此
时
S
2
n
? 1
?q
2
l
2
?2
k?1?q?l
，注意到
q
是奇数，故
k?1?q?l
2
?k?1?l
2
?k? 1?
?
k?1
?
?k
?
k?1
?
?0?
mod2
?
，
2
2
所以，
S
2< br>n
?1
是完全平方数.由于
l
有无穷多个，故数列
?
S
n
?
中有无穷多项是完全平方数.学科&网

13、(2013 二试3)（本题满分50分）一次考试共有
m
道试题，
n
个学生参加，其中< br>m,n?2
为给定的整数.
每道题的得分规则是：若该题恰有
x
个学生 没有答对，则每个答对该题的学生得
x
分，未答对的学生得零分.
每个学生得总分为其
m
道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为
p
1
?p
2
?
可能值.
因为每一个人在第
k
道题上至多得
xk
分，故
p
1
?
?
x
k
.
k?1
m
?p
n
，求
p
1
?p
n
得最大

由于
p
2
?
p
2
?p
3
??p
n
S?p
1
.所以
?
n?1n?1< br>S?p
1
n?2S
p
1
?p
n
?p
1
?p
1
?
n?1n?1n?1

m
n?2
m
1
?
m
?
2
??
?
x
k??
?
n
?
x
k
?
?
x
k< br>?
n?1
k?1
n?1
?
k?1k?1
?
? p
1
，故有
p
n
?
mm
1
2
?2
?
x
k
??
?
x
k
.
n?1
k?1k?1

1
?
m
?
由柯西不等式得
?
x?
?
?
x
k
?
， < br>m
?
k?1
?
k?1
2
k
m
2于是

1
?
m
?
p
1
?pn
?2
?
x
k
??
?
x
k
?
m
?
n?1
?
?
k?1
?
k?1
?
m
2
m
2

??
1
??
??
?
x
k
?m
?
n?1
?
?
?m
?
n?1
?
m
?
n?1
?
?
k?1
?
?m
?
n?1
?
.
另一方面，若有一个学生全部答对，其他
n?1
个学生全部答错，则
p1
?p
n
?p
1
?
?
?
n?1
?
?m
?
n?1
?
.
k?1
m
综上所 述，
p
1
?p
n
的最大值为
m
?
n?1< br>?
.


14、（2016二试4）（本题满分50分）设p与p+2均是素数，p>3, 数列
{a< br>n
}
定义为
a
1
?2
，
a
n
?a
n?1
?[
pa
n?1
],n?2,3,???.
这 里
[x]
表示不小于实数
x
的最小整数.
a
n
证 明：对
n?3,4,???,p?1
均
n|pa
n?1
?1
有成立
对
3?n?p?1
，设对
k?3,???,n?1
成立k|pa
k?1
?1
，此时
[
故
pa
k?1< br>?1?p(a
k?2
?[
pa
k?1
pa?1
]?< br>k?1
.
kk
pa
k?2
pa?1
])?1?p( a
k?2
?
k?2
)?1

k?1k?1
?
(pa
k?2
?1)(p?k?1)
.

k?1
故对
3?n?p?1
，有
p?n?1p?n?1p?n?2
(pa
n?2
?1)?(pa
n?3
?1)
n?1n?1n ?2

p?n?1p?n?2p?3
????????(pa
2
?1 )
n?1n?23
pa
n?1
?1?
因此，
pa
n ?1
?1?
n
2n(p?1)
n
C
p?n

(p?n)(p?2)
由此知（注意
C
p?n
是整数）
n|(p? n)(p?2)(pa
n?1
?1)
①
因n(n,n?p)?(n,p)?1
，又p+2是大于n的素数，故
(n,p?2)?1
，从而n与（p+n）
(p+2)互素，故由①知
n|pa
n?1
? 1
.由数学归纳法知，本题得证.

15、（2017二试2）（本 题满分40分）设数列
{a
n
}
定义为
a
1
?1< br>.
?
a
n
?n,若a
n
?n,
a
n?1
?
?
n?1,2,.
a?n，若a?n,

n
?
n
求满足a
r
?r?3
2017
的正整数r的个数.< br>
当t=1时，由于
a
r
?r?r,
由定义，
ar?1
?a
r
?r?r?r?2r?r?1,

结论成立. < br>a
r?2
?a
r?1
?(r?1)?2r?(r?1)?r?1?r? 2，
设对某个
1?t?r?1,(1)
成立，则由定义
a
r?2t +1
=a
r?2t
?(r?2t)?r?t?r?2t?2r?t?r?2t?1,< br>a
r?2t+2
?a
r?2t?1
?(r?2t?1)?2r?t?( r?2t?1)?r?t?1?r?2t?2,
即结论对t+1也成立，由数学归纳法可知，(1)对所 有t=1,2

,r-1
成立，
特别当t=r-1时，有
a
3r?2
?1,
从而
a
3r?1
=a
3r?2
+ 3r?2?3r?1.

若将所有满足
a
r
?r
的正整数r 从小到大记为
r
1
,r
2
,,
则由上面的结论可知
r
1
=1,r
2
=2，r
k?1
?3r
k
?1,k?2,3,
11
（r
k
?)(k?1,
由此可知，
r
k?1
?=3
22
由于
r
2018
.

,m?1),
从而
r
m
?3
m?1
113
m?1
?1
(r
1
?)??.

222
3
2017
?1
2017
3
2018
?1
??3??r
2019
,
在
1,2，，3
2017
满足
a
r< br>?r
的数有2018个，为
r
1
,r
2
,
2 2
,r
2018
.

由（1）可知，对每个
k?1,2,, 2017,r
k
?1,r
k
?2,,3r
k
?2
恰 有一半满足
a
r
?r.

3
2017
?1
+1
均为奇数，而在
r
2018
+1
由于
r
201 8
+1=
其中偶
，，3
2017
中，奇数均满足
a
r
?r,
偶数均满足
a
r
?r，
2
数必奇数少1个 ，因此满足
a
r
?r?3
2017
1
2017
3< br>2017
?2019
?2018?1)?.
的正整数r的个数为
(3
22