2012年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
1. 当
x?[?3,3]< br>时,函数
f(x)?x
3
?3x
的最大值为_______
解：设
g(x)?x
3
?3x,x?[?3,3]

g
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)
g(?1)?2
，
g(1)??2
，
g(3)?18
，
g(?3)??18
，根据
g(x)
的单调性结合绝对值的性质
知
f (x)?x
3
?3x
的最大值为18
评析：本题主要考查导数与绝对值的有关知识，较基础

2. 在△ABC中 ,已知
AC?BC?12,AC?BA??4
,则AC=_____
解：
A C?BC?AC?BA?16
，
AC?AC?16
?AC?4

评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有一定的灵活性


3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是
_______
解：考虑取出三数从小到大成数列
当
d
=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组
当
d
=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形，
3
从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有
C
6
?20
种情形，故概率为
P?
63
?

2010
评析：本题以集合 与数列为载体，考查排列组合与概率的知识，本题数据较小，可用枚举法
处理，体现文理科学生的公平性

4. 已知
a?R
,方程
x
2
?(4?i)x? 4?ai?0
的一个实数根是
b
,则
a?bi
的值为______
解：
b
2
?(4?i)b?4?ai?0

即
(b
2
?4b?4)?(b?a)i?0

?
b
2
?4b?4?0
?
a?2

??
?
?
b??2
?
?
a?b?0
a?bi=
22

评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识
x
2
y
2
??1
的右焦点为F,一条过原点O且倾斜 5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线
124

1

角为锐 角的直线
l
与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为
83
，则直线< br>l
的斜率为
________
解：由题可设斜率为
k
（
k
>0）,
将
y?kx
代入C：
x
2
?3y
2
?12?0
得
y
(1?3k
2
)x
2
?12
，
x2
?
12
，
k
2
x
2
?12

2
1?3k
O
B
A
F
x
1S??4?y
1
?y
2
?4y
1
?83?y
1
2
?12

2
12k
2
11
22
2
?12
k?1?3k
，
?k?,k?0,?k?
1?3k
2
42
评析：本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等 知识
检测学生数学的基本素养和运算能力

6. 设为
a
正实数,
k?a
lga
，则
k
的取值范围是_________
,

)
解：两边取对数得
lgk?(lga)
2
?0?k?1
，即
k
的取值范围是
[1??
评析：本题考查指对数运算等知识，较为基础，考查学生的灵活性


7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____

解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A点在底面上的射影
A
1153
?53
为三角形的外心所以即为BD中点，故
V???3?4?
322


B



评析：本题是立体几何试题，主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算

D
C
8.已知等差数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足:
a
1
?b
1
? 3
，
a
2
?b
2
?7
，
a
3?b
3
?15
，
a
4
?b
4
?35< br>，则
a
n
?b
n
?
________
?< br>a
1
?b
1
?3
?
a?d?bq?7
1?
1
解：设公差为d，公比为q，则
?

2
a?2d? bq?15
1
?
1
?
a?3d?bq
3
?351
?
1
（4）-（3）得
d?b
1
q
3
?b
1
q
2
=20 ， （3）-（2）得
d?b
1q
2
?b
1
q?8


2

< br>b
1
q
3
?2b
1
q
2
?b
1
q?12
（5）
（1）+（4）得
2a
1
?3d ?b
1
q
3
?b
1
?38
，（2）+（3）得2a
1
?3d?b
1
q
2
?b
1
q? 22

两式相减得，
b
1
q
3
?b
1?b
1
q
2
?b
1
q?16
（6）
(5)q3
??q?3,
a
1
?2,d?2,b
1
?1 得
(6)q?14
a
n
?2n,b
n
?3
n ?1
，
a
n
?b
n
?2n?3
n?1
< br>评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力，本题
运算要 求较高

9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数
则这样的排法有____ 种。
解：将7个数分成3类：
（1）3
k
的数为 27，48，75，有3个
（2）3
k
-1的数为47，71，有2个
（3）3
k
+1的数为37，55，有2个
要使排列的一列数中任意的四个 数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一
类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7 位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有
2
3
3种排法，三类数排到三类位置共有
A
3
种，每一类位置各有
A
2
种排法，故共有
23 3
3（A
2
）A
3
?144
种排法。
评析：本题 是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类
讨论的能力，要求较高， 有较好的区分度

10、三角形的周长为31，三边为
a,b,c
均为整数且
a?b?c，则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个数为________
a?b?c?31,a,b,c?Z?,c?1
解：
又a?b?,c?c?15
c
的取值为11，12，13，14，15
当
c
=11时，
(a,b)
的取值为（9，11）（10，10） 有2组
（8，11）（9，10）有3组
c
=12时，
(a,b)
的取值为（7，12）
（6，12）（7，11）（8，10）（9，9）有5组
c
=13时，
(a,b)
的取值为（5，13）
（4，13）（5，12）（6，11 ）（7，10）（8，9）有6组
c
=14时，
(a,b)
的取值为 (3，14）
（2，14）（3，13）-----（8，8）有8组
c
=15时，
(a,b)
的取值为（1，15）
故满足要求的三元
(a,b,c)
的个数为24
评析：本题是以三角形为背景的整数问题，考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能 力，
对学生背景公平但又有较高的区分度，是一个相等精彩的好题
11、 .在
?
ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：

3

(1)
bcosC?ccosB?a
； ⑵
证法一：（余弦定理法）
cosA?cosB
?
a?b
2sin
2
c
C
2

a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
2a
2
?c??a
（1）
bcosC?ccosB?b
2ab2ac2a
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2< br>?a
2
?
cosA?cosB
2ac2bc
?
（2）
a?ba?b
ab
2
?ac
2
?a
3
?a
2
b?bc
2
?b
3
2ab?a
2
?b< br>2
?c
2
??
2abc(a?b)2abc

a2
?c
2
?b
2
C
1?
2sin
2a b?a
2
?b
2
?c
2
2ac
2
?
1?cosC
?
，所以等式成立
?
ccc2abc

证法二：（正弦定理法）
（1）在
?
ABC中由正弦定理得
b?2RsinB,c?2RsinC
，所以
2
bcosC?ccosB? 2RsinBcosC?2RsinCcosB
?2Rsin(B?C)?2RsinA?a

A?

b
（2）由（1）知
bcosC?ccosB?a
， 同理有
acosC?ccos

所以
bcosC?ccosB?acosC?ccosA?a?b

即 c(cosB?cosA)?(a?b)(1?cosC)?(a?b)?2sin
2
C< br>
2
C
2si
2
n
cosA?coBs
2

?
所以
a?bc
评析：本题是三角中解三角形题，主要考查正弦、余弦定 理的应用和有关三角变换等知识，
较为基础以检测学生的基本运算能力

12、已知
a,b
为实数,
a?2
，函数
f(x)?a
lnx?
x
?b(x?
，
0)
若
f(1)? e?1

e
f(2)??ln2?1

2
(1)求实数
a,b
； (2)求函数
f(x)
的单调区间；
( 3)若实数
c,d,
满足
c?d,cd?1
,求证：
f(c)?f( d)

?
f(1)?a?b?e?1
?
解：（1）
?

ae
?
f(2)?ln2??b??ln2?1
22
?

4

a?1
?ln2?
aa
ae
??ln2
?
?b??1
?a?e,b?1

22
22
a
?1

x
（2）
f(x)?l nx?
设
g(x)?lnx?
a
(x?0)

x
g
?
(x)?
1e
?
2
?0
，
g(x)在
(0,??)
上递增
xx
g(e)?0
，
?0?x ?e
时，
g(x)?0

e
f(x)?lnx??1
，f(x)
在
(0,e)
上递减
x
e
当
x?e
，
g(x)?0
，
f(x)?lnx??1
在
(e,??)
上递增，
x
即
f(x)
的减区间为
(0,e)
， 增区间为
(e,??)


（3）
d?,c?1
，
f(c)?lnc?
1
c
e
?1

c
1 1cc
f(d)?f()?ln?ce?
1
?lnc?ce?1?lnc??1?ln c??1

ccee
?lnc?
c
?1?f(c)
，所以命题成立
e

评析：本题是一个函数与不等式综合题，主要考查函数的有关性质，绝对值、导数 、不等式
等知识，属中档题，作为预赛题有较好的选拔功效




13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，
A
在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB交圆O
于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围

O
证明： 如图，设
?AOB?
?
,OA?AB??OBA?
?

D< br>M
B
?BAO?
?
?2
?
,OA?OC??OCA?
?
?2
?
，
于是
?BOC?
?
?3?
，∵D为OB的中点，
?OD?OAcos
?
?cos
?
?CD
2
?OC
2
?OD
2
?2OCODc os?COD?1?cos
2
?
?2cos
?
cos(
?< br>?3
?
)?1?cos
2
?
?2cos
?
c os3
?


5

5
2
7

)?
1632
又
?BOC?
?
?3
?
?? AOB?
?
,
?OCA?
?
?2
?
??OBA?< br>?
得
?
?3
?
?
?
，
?
? 2
?
?
?

?1?cos
2
?
?2co s
?
(4cos
3
?
?3cos
?
)?8cos< br>4
?
?5cos
2
?
?1?8(cos
2
?
?
?
?
4
?
?
?
?
3

?cos
2
?
?(,)
，于是
CD
2
? [
11
42
142
71
,)

,)
< br>?CD?[
82
322
评析：本题是一个以平几为背景的题目，它可用三角函数 知识转化为二次函数问题来加以处
理，考查学生灵活运用数学知识的能力

14. 设
a,b,c,d
是正整数，
a,b
是方程
x
2
? (d?c)x?cd?0
的两根，证明：存在边长是正整
数且面积为
ab
的直 角三角形。
?
a?b?d?c
证明： （命题组提供） 由题设可知，
?
，由于
a,b,c,d
是正整数，
ab?cd?
则
a?b,a?c,b?c
中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， (c?a)
2
?(b?c)
2
?a
2
?b
2< br>?2c
2
?2c(a?b)
?a
2
?b
2
? 2c
2
?2c(d?c)
?a?b?2cd?a?b?2ab
?(a?b)< br>2
又
S?(a?c)(b?c)?(ab?c(a?b?c))?(ab?cd)?ab

故存在边长为
a?c,b?c，a?b
（均为正整数）的直角三角形（a?b
为斜边）符合题设要求.

评析：本题为全套试题的压轴题，是一个开放 性问题，能很好地考查学生的思维能力和创新
能力，难度较高，试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如 何构造一个满足题设要求
的三边长为正整数，面积为
ab
的三角形

上述命题组给出的证明方法，结论是正确的但很不自然，让人感到迷茫，正如美籍匈牙
利数学家波利亚 所言：“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外，根本不
具有什么启发性。聪明的学生 和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确的，
他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。 如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理
解的话，那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。” 我们研究一个问题不仅希望得到一
个解答，也希望这个解答是优美的、富有启发性的，更渴望知道这个解 答是如何想到的，因
此揭示出问题解决的心理过程和分析探索过程，对培养学生的解题能力进而提高他们 的思维
能力和创新能力显得尤为重要。下面给出笔者的探索尝试过程，供参考
设以正整数x,y
为直角边的三角形满足要求，则
xy?2ab
，
x
2?y
2
为完全平方数
2222

1
2
12
1
2
?
a?b?d?c
由题设根据韦达定理可知，正整数a,b,c,d
满足
?
， 又
ab?cd
?
< br>x
2
?y
2
?(x?y)
2
?2xy?(x?y)< br>2
?4ab?(x?y)
2
?4cd
，
222
（c?d）（c?d）?4cd?（c?d）
可尝试猜想
(x?y)
2
?4cd?
，则
(x?y)
2
?
得

6

x? y?c?d
，又
xy?2ab?2cd
，利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对 称性
c?d?c
2
?d
2
?6cdc?d?c
2
?d
2
?6cd
不妨设
x?
，
y?

22
d?c?c
2
?d
2
?6cd
因为
a,b是方程
x?(d?c)x?cd?0
的两根，同样不妨设
a?

2
2
d?c?c
2
?d
2
?6cd
，所以
c
2
?d
2
?6cd?d?2a?c
或
c
2
?d
2
?6cd?2b?c?d

b?
2
c?d?(d? 2a?c)
?
x??c?a
?
?
2
所以得
?

c?d?(d?2a?c)
?
y??d?a?b?c
?
2
?
c?d?(2b?c?d)
?
x??d?b?a?c
?
?
2
或
?
，此时
c?d?(2b?c?d)?
y??b?c
?
2
?
x
2
?y
2< br>?(c?a)
2
?(b?c)
2
?a
2
?b
2
?2c
2
?2c(a?b)
?a
2
?b
2
?2c
2
?2c(d?c)
?a?b?2cd?a?b?2ab
?(a?b )
2

这样可得到满足要求的三角形两条直角边为
a?c,b?c
， 斜边为
a?b
。



2222

2012-4-21

7