2012年全国高中数学联赛(山东)赛区竞赛试卷

山东省2012届高中数学夏令营数学竞赛
一.填空题(本题共5道小题,每小题8分,满分40分)
1.函数
f(x)?1? 2x?3?2x
的最大值是
________________

解:
f(x)?1?2x?3?2x?22
,其等号仅当
1?2x?
立,所以,f(x)
最大
=
2
3?2x
即
x?
1< br>时成
2
2
.

2.如果自然数a的各位数字之和等于5,那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到
大排 成一列a
1
,a
2
,?,a
n
.若a
n
= 2012.则n=
_______________
. (王继忠 供题)
解:设
x
1
x
2
x
m
为吉祥数,则x
1
+x
2
+?+x
m
=5,由x
1
≥1和x
2
,?,x
m
≥0得
4
x
m
为第
C
m? 3
个吉祥数.
1x
2
4
4
x
m
为第
C
m?2
个吉祥数. (x
1
-1)+x
2
+?+xm
=4,所以,
x
1
x
2
由此得:一位吉祥数 共1个,二位吉祥数共
C
5
因以1为首位的四位吉祥数共
C
6
4
?5
个,三位吉祥数共
C
6
4
?15
个,
?15
个,以2为首位的前两个四位吉祥数为:
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.

3.已知f(x)是 2011次多项式,当n=0,1,?,2011时,
f(n)?
n
.
n?1
则f(2012)=
______
; (王 林 供题)
解:当n=0,1,?,2011时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x有2012个根,
设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)?(x-2011). 取x=-1,则1=2012!a.故
a?
1
,
2012!
D
A
x(x?1)(x?2)(x?2011)x
f(x)??
,
2012!(x?1)x?1
f(2012)?
2012!20122013
???1
.
2012!2
B
E
O
I
C
F
4.将圆周上5个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依逆时针方向,第1步转
过1个间隔将到达的那个点染红,第2步转过2个间隔将到达的那个点染红,第k步转过k
个间 隔将到达的那个点染红.一直进行下去,可得到
_________
个红点. (龚红戈 供题)
解:将5个点依次编号0—4,且不妨设开始染红的是0号点,则第1步染红的是1号点,第2步染红的是3号点,第3步染红的又是1号点.故共可得3个红点.
5.如图，设
O
,
I
分别为
?ABC
的外心、内心，且
?B?60
，
AB
＞
BC
，
?A
的外角
平分线交⊙
O
于
D
，已知
AD?18
,则
OI?
_______ ______
. (李耀文 供题)
解: 连接
BI
并延长交⊙
O
于
E
,则
E
为弧
AC
的中点.连
OE
、
AE
、
CE
、
OC
，由
?B?60，易知
?AOE
、
?COE
均为

正三角形.由内心的性质得知：
AE?IE?CE
,所以
A
、
O
、
I
、
C
四点共圆,且圆心为
E.再延长
AI
交⊙
O
于
F
,
由题设知
D
、
O
、
F
共线，于是
?OEI?2?OAI
,
?AOD?2?AFD?2?OAI
,
又
OA?OD?OE?IE
, 从而
?OAD
≌
?EOI
, 故
OI?AD?18
.
二.解答题(本题共5道小题,每小题20分,满分100分)
n
6.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2-1).
(陈永高 供题)
证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知
2
(p ?1)k
?1(modp)
,所以, p|(n2
n
-1)
?(p ?1)k?2
(p?1)k
?1(modp)?(p?1)k?1(modp)?k??1(m odp)
.
取k=pr-1(r∈N),即n=(p-1)(pr-1),就有
n< br>*
(p?1)k?2
(p?1)k
?1(modp)
即
p|( n2-1).
7.如图，已知P是矩形ABCD内任意一点，延长BP交AD于E，延长DP交AB于 F，延长
G
CP交矩形的外接圆于G。求证：GE⊥GF. (叶中豪 供题)
Q
E
证法1: 设CG交AD于Q,由∠GBA＝∠GDA及
A
∠AGB＝∠CGD知△ABG∽△QDG。延长DF、CB
P
交于R，由AD∥BR, AD=BC
F
得
D
AFBC
?
FBBR
①
R
B
C
BCQE
?
又由△CPB∽△QPE及△RPB∽△DPE得 ②
BRE D
由①,②得
AFQE
?
,表明F,E是△ABG,△QDG的相似对应点, 故得
FBED
0
△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠B GD=90,
即GE⊥GF.
证法2:联结GB,GD,令∠GCB=
?
,∠GCD=
?
,
G
A
F
Q
P
E
D
GBsin
?
BPsin?PBC
??
由正弦定理得:
G Dsin
?
DPsin?PDC
BFsin?BFPsin?PBCBF
?? ?
,
DEsin?DEPsin?PDCDE
B
β

α

C
由∠GBF＝∠GDE得△FBG∽△EDG.
0
所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=90, 即GE⊥GF.
8. 对于恰有120个元素的集合A.问是否存在子集A
1
,A
2
,?,A
10
满足:
(1)|A
i
|=36,i=1,2,?,10;
(2)A
1
∪A
2
∪?∪A
10
=A;
(3)|A
i
∩A
j
|=8,i≠j.请说明理由. (刘裕文 供题)

解:答案:存在.
考虑长度为10的0,1数列.其中仅3项为1的恰有
C
10
一个元素. < br>对每个j=1,2,?,10,第j项为1的0,1数列恰有
C
9
2
3
?120
个,每个作为集合A的
?36
个,它们是集合A的36个
j
元素.对每对i,j∈{1,2,?,10}(iC
8
1
?8
个,
它们是A
i
∩A
j< br>的元素.
综上知,存在满足条件的10个子集.
9.求最小的正整数m,n(n≥2 ),使得n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分
别为1,2,?,n的正方形. (邹 明 供题)
解:依题意n个边长为m的正方形,恰好可以割并成n个边长分别为1,2,?,n 的正方
22222
形
?
1+2+?+n=nm,即6m=(n+1)(2n+ 1),
2
则(n+1)(2n+1)=2n+3n+1≡0(mod6),
2
由n≡0,1,3,4(mod6)知n≡±1(mod6).
2
若6|n+1,设n=6k-1(k∈N),得m=k(12k-1),
因(k,12k-1)=1,所以k与12k-1都是完全平方数,但12k-1≡3 (mod4)矛盾!
2
若6|n-1,设n=6k+1(k∈N),得m=(3k+1)(4 k+1),因(3k+1,4k+1)=1,所以,
2222
3k+1=v,4k+1=u, 消去k得4v-3u=1,v=u=1时,k=0,n=1,但n≥2,故u>1,v>1.
22
由4v-3u≡1(mod8)知u,v为奇数,
直接计算得u
min
=15,v
min
=13,k=56,所以,
m
最小
=15×13=195,n
最小
=337.
10. 设实系数三次多项式
求证:
6a
3
p(x)?x
3
?ax< br>2
?bx?c
有三个非零实数根.
3
2
?10(a
2
?2b)?12ab?27c
. (李胜宏 供题)
证明:设
?
,
?
,
?
为p(x )=0的三个根,由根与系数关系
?
?
?
?
?
?
??a
?
?
??
?
??
?
??
?b
得:
?
???
??c
?
a
2
?2b?
?
2
?
?
2
?
?
2
.原式
?6a (a
2
?2b)?10(a
2
?2b)?27c

3
2
?6(
?
?
?
?
?
)(
?
2
?
?
2
?
?
2
)?10(
?
2< br>?
?
2
?
?
)?27
???
若
?< br>若
?
2
3
2
2
①.
?
?
2
?
?
2
?0
,则①成立.
?
?
2
?
?
2
?0
,不妨设
|
?
|?|
?
|?|
?
|
,由①的齐次性,不妨设
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?9
,则
?
2
?3
,
2
??
?
?
2
?
?
2
?9?
?
2
?6
.

①
?2(
?
?
?
?
?
)?
?? ?
?10
.因
[2(
?
?
?
?
?
)?
???
]
2
?[2(
?
?
?
)?( 2?
??
)
?
]
2
?[4?(2?
??
)
2
][(
?
?
?
)
2
?
?
2
]

?[8?4
??
?(
??
)
2
](9?2
??
)?2(
??
)
3
?(
??
)
2
?20(
??
)?72

?(
??
?2)
2
(2
??
?7)?100?100
,所以,< br>2(
?
?
?
?
?
)?
???
?10
.故原
式成立.