全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题
（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上
1. 已知
2012
2
?2010?2011?2013?2014?k
2
?
k?0
?
，则
k?
.
答案：
2012
2
?2
（或
4048142
）
解: < br>n
2
?(n?2)(n?1)(n?1)(n?2)?n
2
?(n2
?4)(n
2
?1)

?n
2
?(n
4
?5n
2
?4)?(n
2
?2)
2
.


2. 函数
f(x)?sin(x?)?sin(x?)?cosx?3
的最小值等于 .
66
答案：1
解：因为
f(x)?sinxcos
??
?
6
?cosxsin
?
6
?sinxcos
?
6
?cosxsin
?
6
?cosx?3
?3sinx?cosx?3
?2sin(x?)?3,
6

?
所以
f(x)
的最小值为1.

bx?11
，其中
a,b
为常数，且
ab?2
. 若
f(x)?f()?k
为常
2x?ax
数，则
k
的值为 .
1
答案：
.

4
解：由于
3. 已知 < br>f(x)?
1bx?1b?xbx
2
?(b
2
?1)x?b< br>k?f(x)?f()???

x2x?a2?ax2ax
2
?(a< br>2
?4)x?2a
是常数，故
2a?k?b
，且
(a
2
?4)k?b
2
?1
. 将
b?2ak
代入
(a
2
?4)k?b
2
?1
整理得
(4k
2
? k)a
2
?(1?4k)?0
，分解因式得
(4k?1)(ka
2< br>?1)?0
. 若
4k?1?0
，则
ka
2
?1?0
，因此
ab?2ka
2
?2
，与条件相矛盾. 故
4k?1?0
，即
k?
1
.
4

4. 已知方程
3
2x
?3
x?1
?p
有两个相异的正实数解，则实数
p
的取值范围
是 .
9
答案：
(?,?2).

4
解法一：令
t?3
x
，则原方程化为
t
2
?3t?p?0
.
根据题意，方程
t
2
?3t?p?0
有两个大于1的相异实根. < br>?
?
??(?3)
2
?4p?0,
?
9
令< br>f(t)?t
2
?3t?p
，则
?
f(1)?1
2< br>?3?1?p?0,???p??2.

4
?
3
?
? 1.
?2
解法二：令
y?3
x
，则原方程化为
y
2
?3y?p?0
. 注意到这个关于
y
的方程
最多有两个解，而由< br>y?3
x
严格单调递增知每个
y
最多对应一个
x
，因 此所求的
p
应当使
y
2
?3y?p?0
有两个相异的实数解
y
1
,y
2
，且满足
3
x
1
?y
1
,3
x
2
?y
2
的两个实
数
x
1
,x
2
都是正的. 由于
x
1
,x
2< br>都是正的，故
y
1
,y
2
都应大于1. 由于
y1
?y
2
?3
，故
y
2
?3?y
1< br>，因此
y
1
必须满足
y
1
?1
，
3 ?y
1
?1
及
y
1
?3?y
1
. 因此
y
1
的取值范围为
339
(1,)U(,2)
. 因此
p??y
1
y
2
??y
1
(3?y
1)
的取值范围为
(?,?2)
.
224

5. 将25个数排成五行五列：
a
11
a
31
a
51
a
12
a
32
a
52
a
13
a
2 3
a
33
a
43
a
53
a
14
a
24
a
34
a
44
a
54
a
15
a
25
a
35

a
45
a
55< br>a
21
a
22
a
41
a
42
已知第 一行
a
11
,
a
12
,
a
13
,
a
14
,
a
15
成等差数列，而每一列
a
1j
，
a
2j
，
a
3j
，
a
4j
，
都成等比数列，且五个公比全相等. 若
a
24
?4
,< br>a
41
??2
,
a
43
?10
,
a
5
（
j
1?j?5
）
则
a
11
? a
55
的值为______.
答案：
?11

解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.

10?(?2)
?4
且公差为6，故
a
44
?16
,
a
45
?22
. 由
a41
??2
,
a
43
?10
知
a
42
?
2
由
a
24
?4
,
a
44?16
知公比
q??2
.
?21
若
q?2
， 则
a
11
?
3
??
,
a
55
?2 2?2?4?11
，故
a
11
?a
55
??11
；
s4
?21
若
q??2
，则
a
11
?3
?
,
a
55
?22?(?2)?4?(?11)
，故
a
11
?a
55
??11
.
s4
1
6.设点
P
在曲线
y?e
x
上，点
Q
在曲线
y?ln(2x)
上，则
PQ
的最小值为
2
___ ___.
解：
2(1?ln2)
.
1
函数
y?e
x
与函数
y?ln(2x)
互为反函数，图象关于
y?x
对称.
2
1
x
e?x
11
2
函数
y?e
x
上的点
P(x,e
x
)
到直线
y?x
的距离为< br>d?
.
22
2
111?ln2
设函数
g(x)?e
x
?x?g
?
(x)?e
x
?1?g(x)
min
?1?ln2?d
min
?
.
22
2
由图象关于
y?x
对称得：
PQ
最小值为
2d
min
?2(1 ?ln2)
.

7.将2个
a
和2个
b
共4个字 母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小
方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列 ，则不同的填法种数共
有 .
答案：3960
解：使得2个
a
既不同行也不同列的填法有
C
4
2
A
4
2
?72
种，使得2个
b
既不同
行也不同列的填法有
C
4< br>2
A
4
2
?72
种，故由乘法原理，这样的填法共有
72
2
种.
其中不合要求的有两种情况：2个
a
所在的方格内都填 有
b
的情况有72种；
1
A
9
2
?16?72种. 2个
a
所在的方格内恰有1个方格填有
b
的情况有
C16
所以，符合条件的填法共有
72
2
?72?16?72?3960< br>种.
8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体

的体积为
112
?
，该梯形 绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为
80
?
，该梯形
绕它的直角腰旋转一 周所得旋转体的体积为
156
?
，则该梯形的周长为 .
答案：
16?213
.
解：设梯形的上底长为
a
，下底长 为
b
，高为
h
，则梯形绕上底旋转所得旋
111
转体的体积 为
?
h
2
b?
?
h
2
(a?b)?
?
h
2
(a?2b)
，因此
?
h
2
(a ?2b)?112
?
，即
333
a?2b3367
h
2(a?2b)?336
. 同理有
h
2
(2a?b)?240
， 两式相除得
??
，去分母
2a?b2405
化简得
b?3a
，代入
h
2
(a?2b)?336
得
ah
2
?48
.
注意到直角腰长等于高
h
，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台 ，
1
其体积为
h(a
2
?ab?b
2
)?156< br>. 将
b?3a
代入化简得
a
2
h?36
. 结合< br>ah
2
?48
可
3
解得
a?3,h?4
，因 此
b?9
，由勾股定理知另一条腰的长度为
4
2
?(9?3)
2
?213
，因此梯形的周长为
3?9?4?213?16?213
.

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤． x
2
y
2
1．（本小题满分16分）设椭圆
2
+
2
=1
(a>b>0)
的左、右顶点分别为
A,B
，
ab
点
P
在椭圆上且异于
A,B
两点，
O
为坐标原点. 若
|AP|=|OA|
，证明：直线
OP
的
斜率
k
满足
|k|?3
.
解法一：设
P(acos
?
,bsin
?
)(0?
?
?2
?
)
,A(?a,0)
.
由
|AP|?|OA|
，有
(acos
?
?a)
2
?(bsin
?
)
2
?a
，
即
a< br>2
cos
2
?
?2a
2
cos
?
? b
2
sin
2
?
?0
. ……4分
?
?1?cos
?
?0,
从而
?
2

222222
?
?acos
?
?2 acos
?
?bsin
?
?asin
?
.
b
2
sin
2
?
2
1
??1??3
. 所以，??cos
?
?0
，且
22
acos
?
cos
?
2
所以，
|k|?


bsin
?
2
??1??3.
……16分
acos
?
cos
?

解法二：设
P(acos
?
,bsin
?
)(0?
?< br>?2
?
)
.
ab
则线段
OP
的中点
Q(cos
?
,sin
?
)
.
22
|AP|= |OA|
?AQ?OP?k
AQ
?k??1
.
k
AQ?
bsin
?
?bsin
?
?ak
AQ
cos
?
?2ak
AQ
. ……8分
2a?acos
?
222

?2ak
AQ
?(b< br>2
?b
2
k
AQ
)?(sin
2
?
?cos
2
?
)?b
2
?a
2
k
AQ?a
2
?a
2
k
AQ
?|k
AQ
|?
1
?|k|?3
. ……16分
3

2．（本小题满分20分） 设非负实数
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?3
. 求
S?(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)

的最大值.
解 ：不妨设
a?b?c
.显然有
b?bc?c?b
，
c?ca?a?a
.
……………5分
根据AM-GM不等式可得
222
222< br>222222
S?ab(a?ab?b)?
2222
43ab3ab
2 2
???(a?ab?b)
922
3
2

66
?< br>44(a?b)4(a?b?c)
??(a?ab?b)
?
??
?2
??12.
2
55
9
?
33
?
??
3
?
3ab3ab
2
……………15分
所以S 的最大值 为12，这时
?
a,b,c
?
?
?
2,1,0
?< br>.
……………20分

3．（本小题满分20分）求出所有的函数
f:N?N
使得对于所有
x
，
y

?N
，
(f(x))
2
?y
都能被
f(y)?x
2
整除.
*
**
解：根据题目的条件，令
x?y?1
，则
(f(1))?1
能被
f(1)?1
整除.
因此
(f(1))?f(1)
能 被
f(1)?1
整除，也就是
f(1)(f(1)?1)
能被
f(1 )?1
整除.
因为
f(1)
与
f(1)?1
互素，所以< br>f(1)?1
能被
f(1)?1
整除，且
f(1)?1?f(1)?1
，所以
f(1)?1?0
，
f(1)?1
.
2
2
……………10分
222
令
y?1
，则(f(x))?1
能被
1?x
整除，因此
(f(x))?x
.从 而
f(x)?x
，对
2

所有x
?N
.
令
x?1
，则
1?y
能被
f(y)?1
整除.从而
y?f(y)
，对所有y
?N
.
综上所述，
f(x)?x
，对所有x
?N
.
……………20分
*
*
*