平面几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第10讲：平面几何
⌒
、 AC
⌒
的中点．过1、（2009二试1）如图，
M
，
N
分 别为锐角三角形
?ABC
（
?A??B
）的外接圆
?
上弧B C
点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点，
I
为
?ABC
的内心，连接
PI
并延长交圆
?
于
T
．
⑴求证：
MP?MT?NP?NT
；
⌒
（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠A
，，）⑵在弧 AB
T
B
，记
?AQC
，
△QCB
的内心分别为< br>I
1
，
I
2
，
求证：
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．







A
Q
N
I
T
A
P
C
M
N
P
C
M
I
T
P
N
C
M
I
I
2
B
B
I
1
A
B
T
Q
【解析】⑴连
NI
，
MI
．由于
PC∥MN
，
P
，
C
，M
，
N
共圆，
故
PCMN
是等腰梯形．因此
NP?MC
，
PM?NC
．
连
AM
，
CI
，则
AM
与
CI
交于
I
，因为
?MIC??M AC??ACI??MCB??BCI??MCI
，所以
MC?MI
．
同理
NC?NI
．
于是
NP?MI
，
PM?NI
．
故四边形
MPN I
为平行四边形．因此
S
△PMT
?S
△PNT
（同底，等 高）．
又
P
，
N
，
T
，
M
四点 共圆，故
?TNP??PMT?180?
，由三角形面积公式
111
S△PMT
?PM?MTsin?PMT?S
△PNT
?PN?NTsin?PNT ?PN?NTsin?PMT

222
于是
PM?MT?PN?NT
．

又因
? I
1
NT??QNT??QMT??I
2
MT
，有
?I1
NT∽?I
2
MT
．
故
?NTI
1
??MTI
2
，从而
?I
1
QI
2
??NQM? ?NTM??I
1
TI
2
．
因此
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．学&科网
< br>2、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点）， D是线段
AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN ，则A，B，D，
C四点共圆．

22222
同理
QK?QO?r?KO?r
，
A
O
B
E
K
D
C
P
Q
N
M
???< br>2
?
所以
PO?PK?QO?QK
，
故
OK
⊥
PQ
．由题设，OK⊥MN，所以PQ∥MN，于是
222
AQAP
?
．①
QNPM
由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
NBDEAQ
???1
，②
BDEAQN
MCDEAP
???1
．③
CDEAPM
N BMCNDMD
??
由①，②，③可得，所以，故△DMN∽△DCB，于是
?DMN ??DCB
，所以BC∥MN，
BDCDBDDC
故OK⊥BC，即K为BC的中点， 矛盾！从而
A,B,D,C
四点共圆.
注1：“
PK?
P的幂（关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）”的证明 ：延长PK至点F，使得
2
PK?KF?AK?KE
，④

则P，E，F，A四点共圆，故
?PFE??PAE??BCE
，
从而E，C，F，K四点共圆，于是
PK?PF?PE?PC
，⑤
⑤-④，得
PK
2
?PE?PC?AK?KE
?
P的幂（ 关于⊙O）
?
K的幂（关于⊙O）．

注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似．









3、（2011二试1）如图，P,Q
分别是圆内接四边形
ABCD
的对角线
AC,BD
的中点 ．若
?BPA??DPA
，证
明：
?AQB??CQB
．
N
M
P
B
E
K
D
O
F
C
A
Q

【解析】延长线段
DP
与圆交于另一点
E
， 则
?CPE??DPA??BPA
，又
P
是线段
AC
的中点 ，故
AB?CE
，
从而
?CDP??BDA
．
又
?ABD??PCD
，所以△
ABD
∽△
PCD
，于是
从而 有
AB?CD?
即
AB
BQ
．
?
ACCD
ABPC
，即
AB?CD?PC?BD
. < br>?
BDCD
??
11
AC?BD?AC?(BD)?AC?BQ
，
22
又
?ABQ??ACD
，所以△ABQ∽△ACD，所以
?QAB??DAC
．
延长线段
AQ
与圆交于另一点
F
， 则
?CAB??DAF
，故
BC?DF
．
又因为
Q
为
BD
的中点，所以
?CQB??DQF
．
??

又
?AQB??DQF
，所以
?AQB??CQB
．
< br>4、（2012二试1）如图，在锐角
?ABC
中，
AB?AC,M,N
是
BC
边上不同的两点，使得
?BAM??CAN.
设
?ABC< br>和
?AMN
的外心分别为
O
1
,O
2
，求证 ：
O
1
,O
2
,A
三点共线.





是
B
M
N
C
A
O
1
的切线.因此
?B??PAC
, 因为
?BAM??CAN,

所以
?AMP??B??BAM??PAC??CAN??PAN

因而
AP
是
AMN
的外接圆
O
2
的切线, 故
AP?AO
2
.
所以
O
1
,O
2
,A
三点共线.

5、（2013二试1）（本题满分40分）如图，
A B
是圆
?
的一条弦，
P
为弧
AB
内一点，E
、
F为线段
AB
上两
点，满足
AE?EF?FB
.连接< br>PE、PF
并延长，与圆
?
分别相交于点
C、D
.求证：
EF?CD?AC?BD

【证明】连接AD
，
BC
，CF
，
DE.由于AE=EF=FB，从而







P
P
?
A
E
F
D
A
B
?
E
B
F
D
C
C
B C?sin?BCE点B到直线CP的距离BE
?=?2
.
AC?sin?ACE点A到直线CP的距离AE
(1 )
同样

AD?sin?ADF点A到直线PD的距离AF
?=?2
.
BD?sin?BDF点B到直线PD的距离BF
(2 )
另一方面，由于
?BCE??BCP??BDP??BDF
，
?ACE??ACP??ADP??ADF
，


6、（2014 二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC
?
60°，过点B,C分 别作三角形
ABC的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE与AB，AC的延长 线分别交于点F,G，设CF与
BD交于点M,CE与BG交于点N，证明：AM=AN.






△DFB相似.
MCBCBDACLC
????,
因此LM||BF.

MFFDFDABLB
同理，LN ||CG,由此推出
∠ALM=∠ALB+∠BLM=∠ALB?∠ABL?180
0
-∠BAL

=180
0
-∠CAL?∠ALC?∠ACL?∠ALC?∠C LN
?∠ALN.

再结合BC||FG以及内角平分线定理得到