2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

函数值域与最值
1、 (2010年江西省预赛试题)函数
2、 (2010年安徽省预赛试题)函数
f(x)?1?x
x?2
2
的值域是
4x?x
?
2
f(x)?2x?
的值域是
sinxcosx
3、 (2010年山西省预赛试题)若
x?[0,
?]
，函数
y
4、 (2010年辽宁省预赛试题)函数
1?sinx?cosx
的值域是

f(x)?2|sinx|?3|cosx|
的值域是
f(x)?x?5?24?3x
5、 (2010年全国联赛一试试题)函数的值域是
有实数解，则实数
k
的6、(2010年河北省预赛试题)已知关于
x
的不等式
取值范围是
7、(2010年江西省预赛试题)设多项 式
f(x?1)?f(x?1)?2x
2
x?2?x?k
f(x)
满 足：对
?x?R
，都有
?4x
，则
f(x)
的最小值是
f(x)?
x
4
8、(2010年四川省预赛试题)已知函数
零实数
k
的值是
?(k
x
2
4
?2k?4)x
?2x
2
2
?4
?4
的最小值是
0
，则非
9、(2010年全国联赛一试试题)已知函数
y
取值范围是
10、(2010年全国联赛一试试题)函数
?(acos
2
x?3)sin x
的最小值为
?3
，则实数
a
的
f(x)?a
2x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?[?1,1]
上的
最大值为
8
，则它在这个区间上的最小值是
11、(2010年福建省预赛试题)已知函数
值
g(a)

12、 (2010年辽宁省预赛试题)已知
M(a)
f(x)?x|x?2a|
，试求
f(x)
在区间
[0,1]
上的最大
1
3
?a?1
，若
f(x)?ax
2
?2x?1
在
[1,3]
上的最大 值为
，最小值为
N(a)
，令
g(a)?M(a)?N(a)

?
1
2
（1）求
g(a)
的函数表达式； （2）求证：
g(a)
恒成立。

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

函数性质与导数的应用
1、(2010年河北省预赛试题)函数
y
则
f(1998)?
?f (x?1)
的反函数是
y?f
?1
(x?1)
，且
f(1) ?4007
，

f(x)?ax
2
2、(2010年山西省预赛试题) 函数
?2
，若
25
f(f(2))??2
，则
a?

3、(2010年辽宁省预赛试题)不等式
log
4、(2010年吉林省预赛试题) 已知
都有：①
6
(1?x)?logx
*
的整数解的个数为
*
f(1,1)?1
，
f(m,n)?N(m,n?N)
，且对任意
m,n?N
*
f(m,n?1)?f(m,n)?2
；②
f(m?1 ,1)?2f(m,1)
，则
f(
f(2010,2008)
的值为
5、(2010年山东省预赛试题)若函数
6、(2010年山东省预赛试题)函数
f (x)?ln
ex
e?x
2
2010
，则
?
k?1
ke
2011
)?

f(x)?x?2x< br>f(x)?ax
1
4
3
?3x?4
?
1
2< br>x?
3
4
的图像的对称中心为
(a?0)< br>，若在任何长度为
2
7、(2010年山东省预赛试题)已知函数
区间上总存在 两点
x
1
,x
2
，使
|
2
的闭
f (x
1
)?f(x
2
)|?
成立，则
a
的最小值为
2k
8、(2010年福建省预赛试题)函数
9、(2010年河南省预赛试题)设< br>f
2010
(x)?
f(x)?sin
x?1
x?1
2k
x?cosx(k?N)
的最小值为
*

，则
f(x)?
，记
f
1
(x)?f(x)
，若
f
n?1
(x)?f(f
n
(x))
1
2
]
，不等式
ax
3
10、(2010年湖北省预赛 试题)对于一切
x?[?2,
实数
a
的取值范围为
11、(2010年甘肃省预赛试题)设
a?0
，函数
?x
2
?x?1?0
恒成立，则
f(x)?|x?2a|
和
g(x)?|x?a|
的图像交于
C
点且它们分别与
y
轴交于
A
和
B
点，若三角形
ABC
的面积是
1
，则
a?

12、(2010年甘肃省预赛试题)函数
f:R?R
对于一切
x,y,z? R
满足不等式
f(x?y)?f(y?z)?f(z?x)?3f(x?2y?z)
，则
f(1)?f(0)?

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

13、(2010年黑 龙江省预赛试题)设
则满足
f(x)?f(
x?3
x?4
)
f(x)
是连续的偶函数，且当
x?0
时是严格单调函数，
的所有
x
之和为
f(x)?x
2
14、(2010年贵州省 预赛试题)已知函数
同的实根，则实数
a?

15、(2010年安徽省预赛试题)函数
x?y?1
对称
?2ax?3a
2
，且方程
|f(x)|?8
有三个不
y?
的图像与
y?e
x
的图像关于直线
16、(2010年浙江省预赛试题)设< br>有
f(x)?0
f(x)?k(x
2
?x?1)?x(1?x)
44
，如果对任何
x?[0,1]
，都
，则
k
的最小值为
f(x)?4sinx?sin
2
17、(2010年湖南省预赛试题)设函数
成立的充分条件是
?
6
?x?
2
?
3
(
?
4
?
x
2
)?cos2x
，若
|f(x)?m| ?2
，则实数
m
的取值范围是
f(x)?
x
2
2
18、(2010年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数
1?x
，若
1111
m?f(1)?f(2)?...?f(101),n?f()?f()?.. ?.f()?f()
，则
m?n?
23100101

19、(2010年河北省预赛试题)已知函数
（1）若曲线
C:y?f(x)
f(x)
f(x)?
1
2
mx
2
?2x?1?ln(x? 1)(m?1)

在点
P(0,1)
处的切线
l
与
C
有且只有一个公共点，求
m
的值；
（2）求证：函数存在单调递减区间< br>[a,b]
，并求出单调递减区间的长度
t?b?a
的取
值范围。 < br>20、(2010年福建省预赛试题)当实数
a
为何值时，关于
x
的方 程
ax?lnx
无解、一解、两
解？
21、(2010年河南省预赛试题) 已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx(k?0)
有且仅有
三个公共点，公共点的横坐标的最大值为
?
，求证：

cos
?
sin
?
?sin3
?
?
1?
?
4< br>?
2

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

22、(2010年四川省预赛试题)已知函数
（1）求函数
为
f(x)f(x)
f(x)?x?mx
32
?x?1
，其中
m
f (x)?|x|?
'
为实数
成立，其中
f(x)
'
的单调 区间；（2）若对一切的实数
x
，有
7
4
的导函数，求实数
m
的取值范围。
f(x)?
lnx
x
?1

f( x)
23、(2010年黑龙江省预赛试题)已知函数
（1）试判断函数
f(x)的单调性；（2）设
m?0
，求
N
*
在
[m,2m]< br>上的最大值；

x??
1
2
x
2
（3）试 证明：对
?n?
，不等式
ln(
1?n
n
)
e?
1?n
n
成立。
?(a?1)x
24、(2010年湖南省 预赛试题)已知，当
x?[1,e]
时，不等式
aln
试求实数
a< br>的取值范围。
25、(2010年全国联赛一试试题)已知函数
|f(x)|?1，试求
a
'
恒成立，
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
，当
0?x?1
时，
的最大值。

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

数列
1、< br>(2010年山西省预赛试题)数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1
，
a
n
?a
n?1
??n
2，则
a
15
?

2、(2010年辽宁省预赛试题)数列
是
11212312 m
,,,,,,...,,,...,,...
233444m?1m?1m?1
的前
40
项的和
3、(2010年福建省预赛试题)在数列
{a
n
}
中，已知
a
1
a
n
?10
?2,a
n ?1
?2a
n
?2
n?1
(n?N*)
，则使
成立 的最小正整数
n
的值为
?1,k?1,2,...
4、(2010年江西省预赛试题) 数列
{a
n
}
，
{b
n
}
满足：
a
k
bk
前
n
项和为
A
n
?
n
n?1
，已知数列
{a
n
}
的
，则数列
{b
n
}
的前
n
项和
B
n
?
{a
n
}
5、(2010年河南江西省预赛试题)设数列
S
n< br>?a
n
?
n?1
n(n?1)
,(n?1,2,..
，则通项
.)
a
n
?
的前
n
项和
S
n
满足：

?1
，
a
2
? 3
，
a
n?2
?|a
n?1
|?a
n
(n ?N*)
6、(2010年湖北省预赛试题) 数列
{a
n
}
满足：
a
1
记
{a
n
}
前
n
项和为S
n
，则
S
100
?
，

?1
，当
n?2
时，
a
n
,S
n
,S
n
?
1
2
7、(2010年四川省预赛试题) 在数列
{a
n
}
中，
a
1
列，则
lim
nan
?
2
成等比数

1?a
n1?a
n
n??
a
1
8、(2010年江苏省预赛试题) 数列
{a
n
}
满足：
?2,a
n?1
?,n?N*，记
T
n
?a
1
a
2
...a
n，
则
T
2010
?

9、(20 10年全国联赛一试试题)已知
{a
n
}
是公差不为零的等差数列，
{b
n
}
是等比数列，其
中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3，且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n
?logb
n
?
?
?
，则
?
?
?
?

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

10、
(20 10年安徽省预赛试题)设
数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,a
n
?
2
1?a
n?1
，
n?2< br>，求
数列
{a
n
}
的通
项公式.







11、
(2010年贵州省预赛试题) 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1,a
2< br>?6
，
4a
n?1
?a
n?1
?4a
n(n?2)

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；（2 ）求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
。








12、 (2010年湖北省预赛试题)已知数列
{a
n
}
中，
a
1
a
n?1
?
(n?1)a
n
n?a
n
(n ?1,2,3...)

?1,a
2
?
1
4
，且
n
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；（2）求证：对一切
n?N*
，都有
?
a
k
2
?
k?1
7
6
。

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

13、
(2010年四川省预赛试题)已知
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和，对任意的正整数
n
，都有 (1?b)S
n
??ba
n
?4
成立，其中
b?0
n
（1） 求数列
{a
n
}
的通项公式；
a
n
4
n
（2） 设
c
n
?





























(n?N*)
，若
|c
n
|?2
，求实数
b
的取值范围。

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

14、
(20 10年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?
12
11
,a
n?1
?
4a
n2a
n
?1
，
(n?1,2,...)

x?0,a?
3
?
3
（1）
求数列
{a}
的通项公式，并证明对 任意的
(
3
?x),
(n?1,2,...)

（2）求证：



























n
n
2?x
(2?x)
2
4
n
2
a
1
?a
2
?...?a
3n
n
?
2n?1

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

解析几何
1 、(2010年河北省预赛试题)已知椭圆
C
过点
M
两个焦点分别为
(?
(2,1)
，
6,0),(6,0)
，
O
为坐标原点， 平行于
OM
的直线
l
交椭圆
C
于不同的两点
A,B
.
（1）求
?OAB
面积的最大值；（2）证明：直线
MA,MB
与
x
轴围成一个等腰三角形









2、(2010年辽宁省预赛试题)设
F
1
,F
2
分别为椭圆
P
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点，点
为椭圆上一点，
?F
1
PF
2
中
?F
1
P F
2
的外角平分线为
l
，点
F
2
关于
l< br>的对称点为
Q
，
F
2
Q
交
.
（1）当点
P
在椭圆上运动时，求点
R
的轨迹方程；
（2 ）设点
R
的轨迹为曲线
C
，直线
l
'
:y?k(x ?2a)
l
于点
R
与曲线
C
相交于
A,B
两点，
?AOB
的
面积为
S
，求
S
取得最大值时< br>k
的值

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

3、(2010年山东省预赛试题)已知
F
1
,F
2
分别为 椭圆
弦
AB
经过点
F
2
且
|AF
2
|?2|F
2
B|
，
tan?AF
1
B?
34
x
a
2
2
?
y
b
2
2?1(a?b?0)
的左、右焦点，
.
（1）求椭圆的离心率
e
；
（2）若
?F
1
F< br>2
B
的面积为
2
，求椭圆的方程.










4、(2010年福建省 预赛试题)已知双曲线
C
：
P(0,m)(m?0)
斜率为
1
的直线
l
x
a
2
2
?
y
b
2< br>2
?1(a?0,b?0)
的离心率为
2
，过点
交双曲线C
于
A,B
两点，且
AP
????
?3PB,OA?O B?3
.
（1）求双曲线方程；（2）设
Q
为双曲线
C
右 支上动点，
F
为双曲线
C
的右焦点，在
x
轴
负半轴 上是否存在定点
M
使得
?QFM
请说明理由.












?2?QMF
？若存在，求出点
M
的坐标；若不存在，

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

5、(2010年四川省预赛试题)已知F
为抛物线
y
2
F
?4x
的焦点，
M
点的坐标为
(4,0)
，过点
,BM
作斜率为
k
1
的直线与抛物线交于
A,B
两点，延长
AM
交抛物线于
C,D
两点，设直
线
CD
的斜率为
k
2
.
（1）








6、(2010年黑龙江省预赛试题)已知定点
A(1,0)
和定直线
x??1上的两个动点
E,F
，满足
??
k
1
k
2的值；（2）求直线
AB
与直线
CD
夹角
?
的取值范围 .
AE?AF
，动点
P
满足
EPOA,FOOP
（其中< br>O
为坐标原点）
????
（1）求动点
P
的轨迹
C
的方程；(2)过点
B(0,2)
的直线
l
与（1）中的轨迹
C
相交于两个不
同的点
M














, N
，若
AM
??
?AN?0
，求直线
l
的斜率的取 值范围.

2010年全国高中数学联赛预赛试题汇编

7、(20 10年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知定点
M
的动点，且使
MP?PQ
(? 3,0)
，
P
和
Q
分别是
x
轴及
y
轴上
，点
N
在直线
PQ
上，
PN
?
??
3
2
?
NQ
.
（1）求动点
N
的轨迹< br>C
的方程；（2）过点
T(?1,0)
作直线
l
与轨迹
C
交于两点
A,B
，问在
轴上是否存在一点
D
，使
?ABD
为等边三角形；若存在，试求出点
D
的坐标，若不存
在，请说明理 由；











x
8、(2010年全国高中数学联赛试题)已知抛物线
y2
?6x
上的两个动点
A(x
1
,y
1
)和
B(x
2
,y
2
)
，
其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
， 线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
，求
?AB C
面积的最大
值.