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全国高中数学联赛模拟试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:23
tags:2013全国高中数学联赛

高中数学必修三 概率 真题-高中数学排列组合桶的信次方

2020年9月19日发(作者:桓彬)


全国高中数学联赛模拟试题
张国庆 四川自贡蜀光中学 643000
一. 填空题(每题8分,共64分)
1.设a是一个实数,若关于x的不等式在
?
?
是 。
?
??
?
,
?
上恒成立,则a的取值范围
36
??
2.已知xy=1,且01
,则
2
f(x,y) ?
x?4y
x
2
?16y
2
的最大值是
x
2
y
2
3?P为椭圆
2
?
2
? 1(a?b?0)上任意一点,F
1
,F
2
为左,右焦点
ab
11
?的取值范围是
22
PF
1
PF
2


4.数列
?
a
n
?
定 义为:a
1
?cos
?
,a
n
?a
n?1
?nsin
?
?cos
?
,n?1
,则
S
2014
=
5.底面半径为1的圆柱形容器里放4个半径为0.5的实心铁球,4个球两 两相切,其中底层
两球与容器底面相切,现往容器里注水,使水面浸没所有铁球,则需注水
6.某家电影院的票价为5元一张,现有10人,其中5人持有5元钞票,另外5人持有10元
钞票,假设开始售票时售票处没有钱,这10个人随机排队购票,则售票处不会出现找不开
钱的概率为 。
7.已知函数
f(x)?log
a
1
(a?1)
,若函 数
y?g(x)
的图像上任意一点P关于原点的对
1?x
称点Q的轨迹方程恰 好为f(x),若
x?
?
0,1
?
,总有
f(x)?g(x )?m
成立,则m的取值范围

8设
f(x)是定义在R上的函数

f(0)?2014,且对任意x?R< br>,
f(x?2)?f(x)?3?2

x
f(x?6)?f(x)?63?2
x
,则f(2014)
=
二.解答题(共56分)

9.
(16分)AB?x
B
? x
A
表示数轴上两点的距离,它可看作是满足一定
条件的一种
运算,这样将满 足下列3个条件的一个x与y之间的运算P(x,y)叫做x与y之间的距离
(1)非负性:P(x,y)
?0
,当且仅当x=y时取等号;
(2)交换律:P(x,y)=P(y,x);
(3)三角不等式:P(x,z)
?
P(x,y)+P(y,z)
试确定运算S(x,y)=
例。
x-y
1?x?y
是否为一个距离?若是, 请给予证明;若不是,请举出反


10(20分)已知二次函数
f(x)?ax? x?1(a?0)
的图像与x轴的交点的横坐标分别为
2
x
1、
x
2

(1?x
1
)(1?x
2
)?1
⑴证明:
⑵证明:
x
1
??1,x
2
??1
⑶若
x
1
,x
2
满足不等式lg
x
1

?1,试求a的取值范围。
x
2
x
2
y
2
5x?7y?70?0上的点P作椭圆??1的切线PM、PN
,切11.(20分)过直线
l :
259
点分别为M、N,连接MN
⑴当P点在直线l上运动时,证明直线MN恒过定点Q.
⑵当MNl时,证明点Q平分线段MN.
加 试
·
O于点D,A、 B、C、D是○
·
O上顺时针依次排列的一、(40分)直线l切○
四点,A、B、C 、在直线l上的投影依次为x、y、z,求证:AB·
CZ
+BC
AX
=AC
BY
.
二、(40分)任给一个正整数a,定义一整数列x
1
,x
2
,...x
n
,x
1
=a,x
n
=2x
n-1
+1
(n≥1).令y
n
=2
xn
-1,试 确定最大可能的整数k,使得存在某正整数a通过以上
关系得到的y
1
,...yk
都是质数。
三、(50分)给定正整数m、n,证明:存在正整数c,使得数cm与c n在
十进制表示下每个非零数字出现次数相同。
四、(50分)在一个999×999的方格 表中,一些方格是白色的,其他方格
均是红色的。设T是由三个方格C
1
、C
2
、C
3
组成的方格组(C
1
,C
2
,C
3
)的个数,
使得C
1
、C
2
在同一行,C
2、C
3
在同一列,且C
1
、C
3
是白色的,C
2
是红色的。求T
的最大值。


参考答案
一填空题
1.
?
0,1
?


令t=sinx,
t?
?
?
?
?
31
?
,
?
,下 面分情况分离系数
22
?
?
2
??
1?2t
2< br>112
?

而?2t在
?
?

若t?
?
-,0
?
则a???2t恒成立,0
?
??
上单调递减 ,
2ttt2
????
于是a?0

?
32
?< br>2t
2
?111
?
,则a?若t?
?
?,??2t? 恒成立,而2t?
2
?
ttt
?
2
?

?
32
?
?
上单调递增,于是在
?
?,?a?0;
?
2
??
2
若t?0,则a?1;
11
?
1
??
1
?
若t?
?
0,
?
,则a?-2t恒成立, 而?2t在
?
0,
?
上单调递减,于是a?1;

tt?
2
??
2
?
综上所述,a的取值范围是
?
0 ,1
?
2.
2
8
1
?xy?1,且0?y?,则x?4y? 0,于是可将f(x,y)的最大值问题等价转化为求g(x,y)的最小值问题
2
x
2
?16y
2
8
于是g(x,y)??(x?4y)??42,当且仅当x? 4y?22时,取“?”
x?4yx?4y
即f(x,y)的最大值为
2
8< br>?
24a
2
?2b
2
?
3.
?
2< br>,
?
b
4
?
a
?
2
记PF
1
?u,PF
2
?v,则u?v?2a,由均值不等式得uv?a
2
由三角形边长不等式u?v?2c
即(u-v)?(u?v)-4uv?4c,4uv?4a?4c,? uv?b
111
?b
2
?uv?a
2
,
2
??
2
auvb
1111
2
24a
2
21
2
1
2
1
?
2
?
2
?(?)????4a (?)?
uvuvuv(uv)
2
uvuv4a
2
4a
2< br>222222


112114a
2
?2b
2< br>2
?当uv?a时,(
2
?
2
)
min
?< br>2
;当uv?b时,(
2
?
2
)
max
?< br>uvauvb
4

?
24a
2
?2b
2?
因此PF
1
?PF
2
的取值范围是
?
2
?
b
4
?
a
?
2
4.1007co s
?
?1013042sin
?
?a
n
?a
n?1
?nsin
?
?cos
?
,a
n?1
?a
n
?(n?1)sin
?
?cos
?
,
?两式相减得an?1
?a
n?1
?sin
?
,
因此
?
a
n
?
的奇数项与偶数项都是等差数列,公差为sin
?
,且a< br>1
?cos
?
,a
2
?sin
?

故由等差数列的求和公式知:
S
2014
?(a
1
?a
3< br>???a
2013
)?(a
2
?a
4
???a
2014
)

1007?10061007?1006
?1007cos< br>?
?sin
?
?1007sin
?
?sin
?
22
?1007cos
?
?1013042sin
?
12
5(.?)
?
32
由于4个铁球两两相切,所以这4个小球的球心构成一个棱长为1的 正四面体的四个顶点
易知水面高度就是一组对棱之间的距离与小球的直径之和,而一组对棱之间的距离< br>即为所在正方体对面之间的距离
22
,所以水面高度为1?
22
241
3
12
故注入水的体积为(1?)
?
-4??()
?
?(?)
?
23232

6.
1
6
10!
5
这10个人按钞票的排列数为?C
10
?252
5!?5!
记p (m,n)表示m个手持5元,n个手持10元的人满足条件的排列方式数,

则p(m,0) ?1,当m?n时,p(m,n)?0且p(m,n)?p(m,n?1)?p(m?1,n)
如图,p (5,5)等于从A到B不能穿越对角线的路径数,即p(5,5)?42
421
故所求概率为 ?
2526
1 5 14 28 42 42 B
4 9 14 14






1


1



1



1


A
3 5 5



2 2



1






7.m?0
设y?g(x)图像上任意一点P(x,y),则P关于原点的对 称点Q(?x,?y)在y?f(x)
1
的图像上,则?y?log
a
,即g (x)?log
a
(1?x),由f(x)?g(x)?m得

1?x
1?x1?x
log
a
?m,令F(x)?log
a
,x?
?
0,1
?
,由题意知F(x)
min
?m即可,由于a?11?x1?x
2
所以F(x)?log
a
(?1?)在
?
0,1
?
上是增函数,F(x)
min
?F(0)?0?m?0
1 ?x
8.2
2014
?2014
f(x?2)?f(x)??
?f(x?4)?f(x?2)
?
?
?
f(x?6)?f(x?4)
?
?
?
f(x?6)?f(x)
?
??3?2
x?2?3?2
x?4
?63?2
x
?3?2
x
,从而f(x ?2)?f(x)?3?2
x
所以f(2014)?f(2014)?f(2012)?f(2 012)?f(2010)???f(2)?f(0)?f(0)
?3(2
2012
? 2
2010
???2
2
?1)?f(0)?2
2014
?2 014

9.要说明S(x,y)是否为距离,只要验证它是否满足三个条件即可。
S (x,y)?

x?y
1?x?y
?0,当且仅当x?y时取等号,满足条件 (1);
S(x,y)?
x?y
1?x?y
?
y?x
1?y ?x

?S(y,x)满足条件(2)


?f(x)?
x1< br>?1?在
?
0,??
?
上是增函数,且
1?x1?x
x?z?(x?y)?(y?z)?x?y?y?z
x?z
1?x?z
?
?f (x?z)?f(x?y?y?z)
x?y
1?x?y?y?z
?
y?z1?x?y?y?z

所以S(x,y)?
?
?
x?y?y?z
1?x?y?y?z
x?y
1?x?y
?
y?z
1?y?z
?S(x,y)?S(y,z)满足条件(3)
x?y
1?x?y
为一个距离 。综上,运算S(x,y)?
10(.1)由题意知x
1
、x
2
是关 于x的一元二次方程ax
2
?x?1?0的两个实根
11
?x
1?x
2
??,x
1
x
2
??x
1
?x
2
?x
1
x
2
,从而(1?x
1
)(1? x
2
)?1
aa
(2)由于ax
2
?x?1?0有实根x< br>1
、x
2
,所以
1
?
x?x????4
?< br>a?0
1
?
?
12
a

即0?a??
??
??1?4a?01
4
?
?
x
1
x
2
??4
?
a
?
?
(x
1
?1)?(x< br>2
?1)??2?0
?
?
?x
1
?1?0,x
2
?1?0即x
1
??1,x
2
??1
(x?1)(x? 1)?1?0
2
?
1

(3)lg
x
1
x 1x
1
?1??1?lg
1
?1???10
x
2
x
2
10x
2
x
2
x111
?
1
? ?????10
1?x
2
x
2
1?x
2
101?x
2
2
由(1?x
1
)(1?x
2
)?1得x
1
??
?
1111011?x1
?
1
解得???,?a? ??
2
2
??
?
(?)?
?
?
11x2
11x
1
x
2
x
2
?
x
2
2
?
4
111
当??时,a取最大值;
x
2
24
当?
111010
?或时,a取最小值
x
2
1111 121

?
101
?
所以a的取值范围是
?
?
1214
??


11.设P(x
0
,y
0
),M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则椭圆过M、N的切线方程为
x
1
xy
1
yxxyy
??1,
2
?
2
?1
259259
因为两切线都过 点P,则有
x
1
x
0
y
1
y
0
x xyy
??1,
20
?
20
?1
259259
这表 明M、N均在直线

x
0
xy
0
y
??1
① 上,由两点决定一条直线知方程① 就是直线
259
(x
0
,y0
)满足直线l的方程。
MN的方程,其中
当点P在直线l上运动时,可 理解为
x
0
遍取一切实数,相应的
y
0
>0,
y< br>0
?
入①式消去
y
0

5
x
0?10

7
x
0
x5x
0
?70
?y ?1?0
?对一切
x
0
?R
恒成立可得:
2563
?
x5y
??0
?
x5y10y
?
2563
x< br>0
(?)?(?1)?0?
?
25639
?
10y
? 1?0

?
?
9
259
由此解得直线M N恒过定点Q(,?)
1410
(2)当MNl时,
由?式知
x
0< br>5x
0
?70
?14375
代入?式得此时MN的方
??,解 得x
0
?
2563
?7533
?
57
533533
2
533128068
程为
5x?7y??0
③将此方程与椭圆方程 联立消去y得
x?x??0

35
2571225
由此可得,此时M N截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为
533
?

25925
7
Q(,?)的横坐标,即x???
533
141410
2?
25
代 入③式得弦中点纵坐标为
?
所以Q点平分线段MN.
9
恰为Q点的纵坐标
10
加试参考答案
一、作直径DE,连AD 、AE,则
?
ADX=
?
AED,
?
AXD=
?< br>EAD=90

,所以△ADX
∽△DEA,于是
ADAX
?
,即AD
2
=DE·AX,同理BD
2
=DE·BY,CD
2
=DE·CZ.
DEAD
由托勒密定理,有AB·CD+BC·AD=AC·BD.
CZ
+BC·
DE·AX
=AC·
DE·BY
所以,AB ·
DE·


即AB·
CZ
+BC·
AX
=AC ·
BY
.
二、满足题目最大整数k=2,事实上,如果,y
i
是质 数,则x
i
也为质数,因
为,x
i
=1,则y
i
= 1不为质数,若x
i
=mn(整数m、n>1),则2
m
-1|2
x i
-1,即x
i
为分数,
则y
i
也为分数。
下面 证明,对任意的奇质数a
1
、y
1
、y
2
、y
3< br>中至少有一个合数(假设不然,
则x
1
、x
2
、x
3
均为质数,由于x
1
≥3是奇数,则x
2
>3,且x
2≡3(mod4),因此x
3
x?1
3
≡7(mod8),则2是x3
二次剩余,即存在x∈N
*
,使得x
2
≡2(mod x
3
)),从而,2
x2
=2
x
3
-1
≡x ≡1(mod x
3
),则x
3
|y
3
,显然y
2
是合数,因为x
2
>3,则2 -1>2x
2
+1=x
3
,所
2

x
3

以y
2
是合数。
最后,如果a=2,得y
1
=3,y
2
=31,而y
3
=2
11
- 1能被23整除,所以k=2.
三、证明:若n与10不互质,设n=n
1
·2·5 ,(n
1
,10)=1,取b使bn=n
1
·2
s
n+k
α+βα+β
10
10
r
k+m
m、n,因此可以不妨设 (n,10)=1.此时,我·5,将bm与n看作原来的
1
αβ
们可以取到正整数c 、k、r、s满足
c=10
t
+
m
=10
t
+
n
.
为此,我们首先取正 整数r满足10
r
m-n>n
2
且10
r
>m,由于(n, 10)=1,故
10与10
r
m-n互质,因此我们可以取到10的某个幂次,被10
r
m-n除余1,将这个
幂次记为10
s+2r
,由n≡10
r
m(mod10
r
m-n)知,
10
s
n
2
≡10
s+2r
m
2
≡m
2
(mod10
r
m-n),
s22

所以k=
10n-m
为正整数,再取正整数
r

10m-n
t>max{10
s
n+k,10
r
k+m},
r
s
n+k
t
10k+m
10
令 c=10+ =10+ .
t
m
n
此时,cm=10
t
·m+10
s
n+k,cn=10
t
·n+10
r
k+m,由于10
r
m-n>n
2
,所以 < br>10
s
(10
r
m-n)>10
s
n
2>10
s
n
2
-m
2
,
s22
< br>s
即k=
10
r
n-m
<10,所以cm由m的数字接若干0 再接n的数字接若干0再接k
10m-n

的数字构成,cn 由n的数字接若干0再接k的数字接若干0再接m的数字构成,
显然在十进制表示下每个非零数字出现次 数相同,证毕。
四、先证明:对于n×n的方格表有T≦
4n
4

27
.


设第i行有a
i
个白格,第j列有b
j
个白格,R是红格的集合,对于每个红格
(i,j),有a
i
b
j
个满足条件的方格组(C
1
,C
2
,C
3
),其 中,C
2
=(i,j),于是,
T=
(i,j)?R
?
a
i
b
j
. 1
由均值不等式得T≤
2
(i,j)?R
?
1
(ai
+b
j
)=
2
22
?
j?1
n1
(n-a
j
)a
j
+
2
2
?
j?1
n
(n-b
j
)b
2
j
,这是
因 为第i行有n-a
i
个红格,第j列有n-b
j
个红格。
对于0≤ x≤n,由均值不等式知(n-x)x
2
=
当且仅当x=
2n
时,上 式等号成立。
3
3

4n
4

n
4n
3

n
4n
故T≤·
+
·=.
2
27
2
2727
2n
若n=999,则x==666.
3
11
2n
3
4n
3

(2n-2x)x·x≤()=,
22
3
27
对于每行、每列均有666个白格的染法,上述关于T的不等式的等号均成立。
下面的例子就能使得每行、每列均有666个白格,若
i-j≡1,2,...,666(m od999),则将方格(i,j)染为白色,其他方格染
为红色,于是,T的最大值为


4×999
4

27
=148×999
3

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本文更新与2020-09-19 00:23,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/403703.html

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