360高中数学竞赛题库-广东省高中数学是a版还是b版
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全国高中数学联赛模拟试题(十)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
1、设集合M={-2,0,1},N={1,2,3,
4,5},映射f:M→N使对任意的
x∈M,都有x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射f
的个数是
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11
2、已知sin2q
=a,cos2q=b,0d>e(如12430,13531等),则在所有
的五位数中“凸”数的个
数是
(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134
二、填空题:(每小题9分,共54分)
1、过椭圆 上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH
(H为垂足),
并延长PH到Q,使得HQ=lPH(l≥1).当点P在椭圆上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围是 .
2、已知异面直线a、b所成的角为60°,过空间一点P作与a、b
都成角a(0 3、不等式
的解集为 .
4、设复数z满足条件|z-i|=1,且z≠0,z≠2i,又复数w使得
为
实数,则复数w-2的辐角主值的取值范围是 .
5、设a1,a2,…,a2002均为正实数,且 ,则a1a2…a2002的最小值
是 .
6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,
1
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则称它为“优选”数码(如12883,787480889等),否则称它为“非优
选”数码
(如2348756,958288等),则长度不超过n(n为自然数)的所有
“优选”数码的个数之
和为 .
三、(20分)
已知数列{an}是首项为2,公比为
的等比数列,且前n项和为Sn.
(1) 用Sn表示Sn+1;
(2)
是否存在自然数c和k,使得 >2成立.
四、(20分)
设异面直线a、b成6
0°角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线
段AB的长为4,两端点A、B分别在a、b上移
动.求线段AB中点P的轨
迹方程.
五、(20分)
已知定义在R+上的函数f(x)满足
(i)对于任意a、b∈R+,有f(ab)=f(a)+f(b);
(ii)当x>1时,f(x)0,p、q∈R+},集合B={(p,q)|f( )+
=0,p、
q∈R+}.试问是否存在p、q,使 ,说明理由.
第二试
一、(50分)
如图,AM、AN是⊙O的切线,M、N是切点,L是劣弧MN上异于M、
N的点,过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若 ,求证:
2
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∠POQ=60°.
M
A
P
Q
N
L
O
二、(50分)
已知数列a1=20,a2
=30,an+2=3an+1-an(n≥1).求所有的正整数n,
使得1+5anan+1是完全
平方数.
三、(50分)
设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·200
2)的点,其中p为素数.
求满足下列条件的直角三角形的个数:
(1)
三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点;
(2) 三角形的内心是坐标原点.
参考答案
第一试
一、选择题:
题号123456
3
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答案ACBDDB
二、填空题:
1、
2、
3、 4、
5、40022002; 6、 .
三、(1) (2)不存在.
四、 .
五、不存在.
第二试
一、证略;
二、n=3.
三、
p≠2,7,11,13时,
个.
个;p=2时,
4
个;p=7,11,13时,324162180