全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

2013年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
一、填空题（每题
8
分）
1
、若
2013
的每个 质因子都是某个正整数等差数列
?
a
n
?
中的项，则
a2013
的最大值
是 ．
答案：
4027
．
解：
2013?3?11?61
，若< br>3,11,61
皆是某正整数等差数列中的项，则公差
d
应是
11? 3?8
与
61?3?58
的公因数，为使
a
2013
取得最 大，则其首项
a
1
和公差
d
都应取尽可能
大的数，于是a
1
?3,d?2
，所以
a
2013
的最大值是
3?2012d?4027
．
123
2
、若
a,b,c?0，
???1
，则
a?2b?3c
的最小值为 ．
abc
答案：
36
．
解：据柯西不等式，
a?2b?3c ?
?
a?2b?3c
?
?
2
?
123
?< br>??
?
?
?
1?2?3
?
?36
．
?
abc
?
?
123
?
n
3
、若
S
n
?n!?
?
???
L
??1
?
，则
S
2013
?
．
(n?1)!
??
2!3!4!
答案：
?
解：因
1
．
2014
k(k?1)?111
???
，则
(k?1)!(k?1 )!k!(k?1)!
123n1?12?13?1(n?1)?11
???
L
?????
L
??1?

2!3!4!(n?1)!1!2!3!(n?1 )!(n?1)!
?
?
1
?
?
1
1
?1? ?
所以，
S
n
?n!
?
?
1?
，故． < br>S??
2013
?
?
2014
(n?1)!n?1
?
??
?
4
、如果一个正方体
X
与一个正四面体
Y< br>的表面面积（各面面积之和）相等，则其体
积之比
V
x
?
．
V
y
答案：
4
3
．
解：记表面面积为
12
（平方单位），则正方体每个面的面积为
2
，其边长为
2
，所 以
1
3
2
V
x
?2
；正四面体每个面的面积为< br>3
，设其边长为
a
，则由
a?3
，得
a?2?34
；
4
3
2

于是
V
y
?2?3
3
2
?
1
4
，因此
1
V
x
?3
4
?
4
3
．
V
y
5< br>、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离
之和的最小值 是 ．
答案：
61
．
x
2
y
2< br>解：设椭圆方程为
2
?
2
?1
，
a?b?0
，椭圆中心
O
到长、短轴端点距离为
a,b
，
ab
a2
到焦点距离
c
满足：
c?a?b
，到准线距离
d满足：
d?
，由于
a,b,c
组成勾股数，
c
222
满足
a?20
的勾股数组有
?
a,b,c
?
??
3,4,5
?
,
?
6,8,10
?
,
?
9,12,15
?
,
?
12,16,20
?
,
?
5,12,13
?
,

15
2
202
?25
与
?25
，而
(a,b,c,d)?(15,12,9 ,25)
使得 以及
?
8,15,17
?
，其中只有
916
a?b?c?d
的值为最小，这时有
a?b?c?d?61
．
6
、函数
f(x)?3x?6?3?x
的值域是 ．
答案：
[1,2]
．
解：
f(x)?3(x?2)?3?x
的定义域为
[2,3]
，故可设
x?2?sin
则
f(x)?3s in
而
2
2
?

?
(0?
?
?)
，
2
?
?
?1?sin
2
?
?3sin< br>?
?cos
?
?2sin(
?
?)
，
6< br>?
2
?
1
?
，这时
?sin(
?
? )?1
，因此
1?f?2
．
66326
，
7
、 设合数
k
满足：
1?k?100
，而
k
的数字和为质数，就 称合数
k
为“山寨质数”
?
?
?
?
?
则这 种“山寨质数”的个数是 ．
答案：
23
个．
解：用
S(k)
表示
k
的数字和；而
M(p)
表示山寨为质数
p
的合数的集合．当
k?99
时，
S(k)?18
，不大于
1 8
的质数共有
7
个，它们是：
2,3,5,7,11,13,17
， 山寨为
2
的合数有
M(2)?
?
20
?
，而M(3)?
?
12,21,30
?
,M(5)?
?
14 ,32,50
?
,M(7)?
?
16,25,34,52,70
?< br>；
M(11)?
?
38,56,65,74,92
?
，M(13)?
?
49,58,76,85,94
?
，
M(17) ?
?
98
?
；
共得
23
个山寨质数．
8
、将集合
?
1,2,3,4,5,6,7,8
?
中的元素作全排列 ，使得除了最左端的一个数之外，对
于其余的每个数
n
，在
n
的左边 某个位置上总有一个数与
n
之差的绝对值为
1
，那么，满足
条件的排 列个数为 ．