2012全国高中数学联赛山东省预赛试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题< br>目要求的．
1．复数z＝ （i为虚数单位）的共轭复数所对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
2．已知集合M＝{x｜ －3x≤0}，N＝{x｜y＝
ln（x－2）}，则Venn图中阴影部分表示的集合是
A．[2，3] B．（2，3]
C．[0，2] D．（2，＋∞）
3．设x∈R，向量a＝（2，x），b＝（3，－2），且a⊥b，
则｜a－b｜＝
A．5 B． C．2 D．6
D．第四象限
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A． B．16
C． D．
5．将函数f（x）＝sin（2x＋ ）的图象向右平移 个单位
后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为
A．[2kπ－ ，2kπ＋ ] （k∈Z） B．[2kπ＋ ，2kπ＋ ] （k∈Z）
C．[kπ－ ，kπ＋ ] （k∈Z） D．[kπ＋ ，kπ＋ ] （k∈Z）
6．曲线y＝lnx＋x在点M（1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是
A． B． C． D．
7．如果执行下面的程序框图，输出的S＝240，则判断框中为

A．k≥15? B．k≤16? C．k≤15? D．k≥16?
8．已知双曲线 的离心率为3，有一个焦点与抛物线y＝ 的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程
为
A．2 x±y＝0 B．x±2 y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
9．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm
的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸 板内，则硬币与小圆无公共点的
概率为
A． B．

C． D．
10．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，AB⊥平面ACD，则四面体
ABCD外接球的表面积为
A．36π B．88π C．92π D．128π
11．设函数f（x）＝2 －2k （a＞0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）
＝ 的图象是

12．若直线y＝－nx＋4n （n∈N﹡）与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数
为 （其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则 （a1＋a3＋a5＋…＋a2013）＝
A．1012 B．2012 C．3021 D．4001
第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个 试题考生都必须作
答．第22题－第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．如果实数x，y满足条件 ，那么目标函数z＝2x－y的最小值为____ ________.
14．已知递增的等比数列{ }（n∈N﹡）满足b3＋b5＝40，b3?b5＝256，则数列{ }的前10项和
＝_______________．
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 － 8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共 点，则k 的最大值为_________．
16．对于 （m，n∈N，且m，n＞2）可以按如下的方式进行“分解”，例如 的“分解”中最小的数是
1，最大的数是13．若 的“分解”中最小的数是651，则m＝___________．

三、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线4xcosB－ycos C＝
ccosB上．
（Ⅰ）求 cosB的值；
（Ⅱ）若 ? ＝3，b＝3 ，求a和c．
18．（本小题满分12分）

某园艺师用两 种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、
乙两种方式培育的树苗各20 株，测量其高度，得到的茎叶图如图（单位：cm）：

（Ⅰ）依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大?
（Ⅱ）现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取两株，求高度为86 cm[来源:学
*科*网]
的树苗至少有一株被抽中的概率；
（Ⅲ）如果规定高度不低于85cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表， 并判断“能
否在犯错误的概率不超过0．025的前提下认为树苗高度与培育方式有关?”

优秀
不优秀
合计
下面临界值表仅供参考：
19．（本小题满分12分）
如图，平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝6，O为AC，BD的交点．将
四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，M为BC的中点，且BD＝3 ．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆 （a＞b＞0）的中心在原点，右顶点为A（2，0），其离心率与双曲
线 的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且
｜BD｜，｜BE｜，｜DE｜成等比数列，求 的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数g（x）＝ lnx－bx－3（b∈R）的极值点为x＝1，f（x）＝ －ax－3．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）记函数y＝F（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的
不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得x0＝ 且曲线C在点
甲方式 乙方式 合计

M处的切线平行于直线AB ，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．


请考生在第22、23 、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写
清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE
的延长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．
（Ⅰ）求证：BE＝2AD；
（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,xOy中，曲线C1： ＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为
极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l：3cosθ－2sinθ
＝ ．
（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后 得到曲线C2，
试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）求C2上一点P到l的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x－m｜＋｜x＋6｜（m∈R）．
试问：函数F（x）＝g（x）－f（x）是否存在“中值相依切线”?请说明理由．
（Ⅰ）当m＝5时，求不等式f（x）≤12的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
数学(文科)?答案

（17）解：（Ⅰ）由题意得 ，……………………………（1分）
由正弦定理得 ， ， ，
所以 ，………………………………………（3分）
即 ，
所以 ，…………………………………………………（5分）
又 ，

所以 .………………………………………………………………………………（6分）
(Ⅱ）由 得 ，又 ，所以 .………………（9分）
由 ， 可得 ，
所以 ，即 ,………………………………………………………………（11分）
所以 .…………………………………………………………………………（12分）
（ 18）解：（Ⅰ）用甲种方式培育的树苗的高度集中于60～90 cm之间，而用乙种方式培育的树
苗的高度集中于80～100 cm之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大.……（3分）
（Ⅱ）记高度为86 cm的树苗为 ，其他不低于80 cm的树苗为 “从用甲种方式培育的高度不低于
80 cm的树苗中随机抽取两株”，基本事件有：
共15个.…………………………………（5分）
“高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有： 共9个，…………（7分）
故所求概率 ……………………………………………………………………（8分）
甲方式 乙方式 合计
优秀 3 10 13
不优秀 17 10 27
合计 20 20 40
（Ⅲ）
…………………………（9分）
（20）解：(Ⅰ) 双曲线 的离心率 ，所以椭圆的离心率为 ，
由已知得椭圆的长半轴 ,又 ，所以 ，……………………………（3分）
所以 ，………………………………………………………………………（4分）
所以椭圆的方程为 .……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点 的直线为 ，
由 ，得 ，
所以 ， ，……………………………………………………（7分）
依题意知 ，且 .
因为 成等比数列，所以 ，又 在 轴上的投影分别为 它们满足 ，即 ，
……（9分）
显然 ，
，解得 或 （舍去），………………………（10分）

所以 ，解得 ，
所以当 成等比数列时， .…………………………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）易知函数 的定义域是 ，且 ，……………（1分）
因为函数 的极值点为 ，所以 ，且 ,
所以 或 （舍去）,………………………………………………………………（3 分）
所以 ， ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 是函数 的极大值点，并且是最大值点，…………………………………（5分）
所以 的递增区间为 递减区间为 , .………………………（6分）
（Ⅱ）不存在.…………………………………………………………………………………（7分）
理由如下：
假设函数 存在“中值相依切线”．
设 是曲线 上的不同两点，且 ，
则
…………………………………………………（8分）
曲线在点 处的切线斜率
……………………………（9分）
依题意得
化简可得： ，即 ．
设 ，上式可化为 ,即 ．
令 ,则 ．
因为 ,显然 ，所以 在 上单调递增,显然有 恒成立．
所以在 内不存在 ,使得 成立．…………………………………（11分）
综上所述，假设不成立．所以函数 不存在“中值相依切线”．…（12分）
（22）解：(Ⅰ) 因为四边形 为圆的内接四边形,所以 ………（1分）
又 所以 ∽ ，则 .……………………………（3分）
而 ，所以 .…………………………………………………………（4分）
又 ，从而 ……………………………………………………………（5分）
（24）解：（Ⅰ）当 时， 即 ，

当 时，得 ，即 ，所以 ；
当 时，得 成立，所以 ；
当 时，得 ，即 ，所以 .
故不等式 的解集为 .………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为 ，
由题意得 ，则 或 ，
解得 或 ,
故 的取值范围是 .…………………………………………………（10分）