2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析

2020年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016
年
6< br>月
5
日上午
8:30??11:00

一、填空题（每小题
7
分，共
56
分）
若
y?l og
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为R
?
，那么
a
的取值范围是 ．答案：
1
、
?16?a?16
．
解：由值域
y?R，
?x?ax?65?1
，
?x?ax?64?0

?
22
???a
2
?4?64?0
，
?
?16?a?16.
2
、四面体
ABCD
中，
?ABC
是一个正三角形 ，
AD?BD?2
，
AD?BD
，
AD?CD
，则
D
到面
ABC
的距离为 ．答案：
解：如图，据题意得，
AB?
23
．
3
AD
2
?BD
2
?22
，
A
C
于是
BC?CA?AB?22
，
CD?
222
AC
2
?AD
2
?2
，
因
BC?BD?CD
，得
BD?CD
，从而以
D

为顶点的三面角是三直三面角，
四面体体积
V?
D
B
3< br>14
?AB
2
?23
，
AD?S
?BCD
?
，而
S
?ABC
?
4
33
123234
h?S
?ABC
?h
，由
h?
，
3333
若设< br>D
到面
ABC
的距离为
h
，则
V?
得到h?
23
．
3
若对于所有的正数
x,y
，均有
x?y?ax?y
，则实数
a
的最小值是 ．答
3
、
案：
2
．
?
y
y
?
x
x
??
??2
， 解 ：由
?
?
?
?1
，得
??
?
x?y
??
x?y
?
x?yx?y
????
1
22

当
x?y
时取等号．
4
、已知
P
是正方形
ABCD
内切圆上的一点，记
?APC?
?
, ?BPD?
?
，则
tan
2
?
?tan
2
?
?
．答案：
8
．
解：如图建立直角坐标系，设圆方程为
x?y?r
，
则正方形顶点坐标为< br>A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)
，
A
若 点
P
的坐标为
P(rcos
?
,rsin
?
)，于是直线
222
Y
D
P
O
C
X
B
PA,PB,PC,PD
的斜率分别为
k
PA
?
1?si n
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?，
k
PC
?
，
,k
PB
??,k
P D
??
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?< br>1?cos
?
2
?
k
PC
?k
PA
?
22
所以
tan
?
?
??
?4(cos
?
?sin
?
)
，
?
1?k
PA
kPC
?
?
k?k
?
tan
2
?
??
PDPB
?
?4(cos
?
?sin
?
)< br>2
，
?
1?k
PB
k
PD
?
由此 立得
tan
?
?tan
?
?8
．
解2：取特例，
P
在坐标轴上，则
?
?
?
， 这时，
tan
?
?cot
?
?
22
2
2
?2?tan
?
，
?tan
2
?
?tan
2
?
?2
2
?2
2
?8

1
5
、等差数列
2,5,8,L,2015
与
4,9,14,L,2014
的公共项（具有相同数值的项）的个
数是 ．答案：
134
．
解：将两个数列中的各项都加
1
，则问题等价于求等差数列
3,6,9,L, 2016
与等差数列
5,10,15,L,2015
的公共项个数；前者是
M ?
?
1,2,3,L,2016
?
中的全体能被
3
整除的数，后者是
M
中的全体能被
5
整除的数，故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数，
这种数有
?

?
2016
?
?134
个．
?
?
15
?
2

6
、设
x
为锐角，则函数
y?sinxsin2x
的最大值是 ．答案：
解：由
y?2sinxcosx
，
得
y?4sinxcosx?2(1?cosx)(1?cosx)?2cosx

242222
2
43
．
9
?
(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos
2
x
?
?
2
?
16
?2
?
?2?
，
?
??
?
3327
??
??
所以
y?
3
3< br>43
1
2
．当
cosx?
时取得等号．
9
3
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9
分别填写于一 张
3?3
方格表的九个格子中，
使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法 是
解答：（答案有多种）
1

2

8

7
6
4
9
3
5
8
、把从
1
到< br>n
(n?1)
这
n
个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中 每相
邻两项的和为平方数，则正整数
n
的最小值是 ．答案：
15
．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．
记这
n
个连续正整数的集合为
M?
?
1,2,L,n
?
，由于< br>n?1
，
则
M
中必有
2
，而
2?7?9< br>，所以
n?7
，当
n?7
时，从
1
到
7这
7
个数可以搭配成
满足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7 ),(4,5)
，但它们不能连接成一个
7
项的数列，故应增加后续的数，增加
8
可使得第一段扩充成
(8,1,3,6)
，增加
9
可使得第二段 扩充成
(2,7,9)
，但新的三段也
不能连接，还需增加新数，即
n?10
，而之前的数若与
8,9,10
邻接，只有
3

8?1?9,9?7?16,
10?6?16
，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)
，
(2,7,9)
，
(4,5)
，仍旧 不能连接，应当借助新的平方数
25
，从
1
到
10
这
10
个数能搭配成和为
25
的最小数是
15
，则
n?15
，而当
M?
?
1,2,L,15
?
时，可
排出上面 的情形：
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．
二、解答题（共
64
分）
x
2
y
2
9< br>、（
14
分）如图，
CD
是椭圆
2
?
2?1
的一条直径，
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线，交椭圆于
另一点
N
，交椭圆短轴所在直线于
M
，
证明：
AM?AN?CO?CD
．
A
证1：椭圆方程为
x ?acos
?
,y?bsin
?
，
Y
N
M
O
D
B
X
C
点
A,N
的坐标为
A(?a ,0),N(acos
?
,bsin
?
)
，则直线
AN方程为
?
x??a?tcos
?
， ……
3'
?
?
y?tsin
?
代入椭圆方程得到
(bcos
?< br>?asin
?
)t?2abtcos
?
?0
，
22 2222
2ab
2
cos
?
a
?
AN?t?
2
，
AM?(
?
?)
，……
6'

222
bcos
?
?asin
?
cos
?
2
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
2
，……
9'

bcos
2
?
?a
2
sin
2?
又据
AN
∥
CD
，则点
C,D
坐标为：C(?ODcos
?
,?ODsin
?
)
，
D(ODc os
?
,ODsin
?
)
，……
12'

a
2
b
2
因为
C,D
在椭圆上，则
CO?
2
，而，
bcos
2
?
?a
2
sin
2< br>?
2
4

2a
2
b
2
CO ?CD?2CO?
2
，
bcos
2
?
?a
2sin
2
?
2
因此
AM?AN?CO?CD
．……14'

证2：
易知
CD
的斜率
k
存在，不 妨令
CD:y?kx
，与椭圆方程联系，
解得
?
abkabC
?
?,
b
2
?a
2
k
2
b
2
?a
2
k
2
?
??
abkab
、D,
??
222
b
2
?a
2
k
2
??
b?ak
?
?
……
3'

?
,
?CO?
?
1?k
?
ab
222
2
b?a k
2
22
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
?CO?CD?
2?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak22
……
6'

AN
方程为：
y?k
?x?a
?
,?M
?
0,ka
?
.
将
AN
方程与椭圆方程联立，得
b
2
?a
2
k
2x
2
?2a
3
k
2
x?k
2
a
2
?a
2
b
2
?0

??
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?x< br>A
?x
N
??
2
,?x
N
?
2 ……
9'

b?a
2
k
2b?a
2
k
2
2kab
2
2
y
N?
2
,?AM?a1?k
……
12'

22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2
?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a?
??
2
，
2
2222
222
b?ak?
b?ak
?
?
b?ak
?
2
?AM?AN?
2a
2
b
2
?
1?k
2
?
b?a k
222
?CO?CD
…
14'

（
15
分）如图，
D
是
?ABC
的旁心，点
A
关于直线
DC
的对称点为
E
．证明：
10
、
(1)
、
B,C,E
三点共线；
(2)
、
四点共圆 ．
5
A,B,D,E

A



B
C
E



D
证：1、延长
DC
到
M
，延长
AC
到
N
,连
C E
，
QD
为旁心，
?CD
平分
?BCN
，……
2'

又
A、E
关于
DC
对称，
?CM
平分
? ACE??DCN??ACM
,
??BCD??MCE

??BCN??AC E
,
?B
、
C
、
E
三点共线。……
5'< br>
2、过
C
作
CIAE
交
AD
于
I
，则
IC?DC
……
7'

?I
为
V ABC
内心。连
BI
,则
BI
平分
?ABC
,……
10'

?
?IBD?90
?
,
?B
、< br>D
、
C
、
I
四点共圆，……
12'

??CBD??CID??EAD
,
?A
、
B
、
D
、
E
四点共圆。……
15'

11
、（
15
分）设
x,y,z
为正数，满足：
xy?yz?zx?1
，证明 ：
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x
2
)(1?y
2)(1-z
2
)

证：据条件，即要证
xyz(x+y+ z-xyz)?(1?x
2
)(1?y
2
)(1-z
2
)< br>
也即
xyz(x+y+z)?1-(x
2
?y
2
?z
2
)?(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)

3'

将此 式各项齐次化，因为
1?(xy?yz?xz)
2
?x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
?2x yz(x?y?z)
……
6'
x
2
?y
2
?z< br>2
?(x
2
?y
2
?z
2
)(xy?yz? xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②，
只要证
xyz(x?y?z)?

6
①
② ……

2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y ?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2
z
2< br>?x
2
z
2
)?0
……
12'

也即
xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0
。
此为显然，故命题得证．…
15'

证2：由题设得：
222y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
??1?yz,z
?
x?y
?
?1?xy
，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
?
1?zx
??
1?yz??
1?xy
?
?
?
1?x
2
??
1 ?y
2
??
1?z
2
?
……
3'

上式两边展开并化简得：
x
2
?y
2
?z
2?
?
xy?yz?zx
?
?
x
2
y
2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z?xyz
2
?
……
6'

配方得：
?
x?y
?
?
?< br>y?z
?
?
?
z?x
?
22
222
?
?
xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?< br>?
yz?zx
?

2
222
?x
2
?
y?z
?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'

即< br>1?z
?
2
?
?
x?y
?
?
?1?x
?
?
y?z
?
?
?
1?y
?< br>?
z?x
?
2
2
2
2
2
?0
?
?
?
……
12'

Q0?x,y,z?1,?1?x< br>2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0,

?
?
?
?
显然成立. ……
15'

（
20
分）设集合
A?
?
1 ,2,L,2016
?
，对于
A
的任一个
1008
元子集< br>X
，若存在
12
、
，求最大的正整数
a
，（
a?A
），使得
x,y?X
，满足
x?y,xy
，则称
X< br>为“好集”
任一个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”． < br>解：因任何正整数
n
可以表为
n?2t
形式，其中
?
?N
，
t
为正奇数，于是集合
A
可
划分为以下
10 08
个子集：
?
A
j
?mm?2
?
(2j?1) ,
?
?N,1?m?2016
，
j?1,2,L,1008
……4'

7
??

对于集合
A
的任一个
1008
元子集
X
，只要集
X
中含有某一个
Aj
中的至少两个元素

x,y,(x?y)
，因
x?2
k
1
(2j?1),y?2
k
2
(2j?1)
，
k
1
?k
2
，则
xy
；此时
X
为好集；以下证明正整数
a
的最大值为
671
： ……
8'

若
a?671
时，对于
A
的任一个1008
元子集
X
，如果
X
中含有某个
A
j< br>中的至少两个
元素，则
X
便是好集；如果
A
j
中的< br>1008
个集合，每个集合中恰有一个元素在
X
中，
那么
A< br>1007
也有一个元素在
X
中，
但
A
?
为 单元素集，于是
2013?X
，而
a2013
，
(2013?671 ?3?3a)
，
1007
?
?
2013
这说明
X< br>仍是好集，
因此
a?671
合于要求． ……
12'

下面说明当
a?672
时，存在含
a
的集
X
不是好 集；分两种情况：
??
(1)
、若
a?1009
，取
10 08
元集
X
0
?
?
1009,1010,L,2016?
，则
a?X
0
，
因
X
0
中任两个 不同元素
x?y
，均有
x
?
y
，故
X
0< br>不为好集，这种
a
不合要求．……
15'

(2)
、 若
672?a?1008
，记
X
1
?
?
672?j j?0,1,L,336
?
，
令
X?X
1
UX
2
，则
X?1008
，且
a?X
1
，
X
2
?X
0

?
2(672?j)j?0,1,L,336
?，
若
X
中存在
x?y,xy
，因
x?672
，
y?2016
，则
y?3x
；
若
x?672
，如 果
xy,x?y
，只有
y?2x
或者
y?3x
，此时
y
的取值只能是：
y?2?672?1344
，或者
y?3?672?20 16
；由于
1344?2(672?0),2016?2(672?336)
，这说明 ，这两个数已被挖去，不在集合
X
中； ……
18'

若
x?672
，假若
xy
，只有y?2x
，这种数
y
也已悉数被挖去，即
y?X
，因
此
X
不是好集，这种
a
也不合要求．
综上所述，
a
的最大值为
671
． ……
20'

8