年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

2013年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
一、填空题（每题
8
分）
1
、若
2013
的每个 质因子都是某个正整数等差数列
?
a
n
?
中的项，则
a2013
的最大值
是 ．
答案：
4027
．
解：
2013?3?11?61
，若< br>3,11,61
皆是某正整数等差数列中的项，则公差
d
应是
11? 3?8
与
61?3?58
的公因数，为使
a
2013
取得最 大，则其首项
a
1
和公差
d
都应取尽可能
大的数，于是a
1
?3,d?2
，所以
a
2013
的最大值是
3?2012d?4027
．
2
、若
a,b,c?0
，
答案：
36
．
123
???1
，则
a?2b?3c
的最小值为 ．
abc
2
?
123
?
??
?
?
?
1?2?3
?
?36
．
?
abc
?
解：据柯西不等式，
a?2b?3c?
?
a?2b?3c
?
?
?
123
3
、若
S
n
?n!?
?
???
?
2!3!4!
答案：
?
?
?
n
?1?
，则
S
2013
?
．
(n?1)!
?
1
．
2014
解：因
k(k?1)?111
???
，则
(k? 1)!(k?1)!k!(k?1)!
?
n1?12?13?1
????
(n ?1)!1!2!3!
?
(n?1)?11
?1?

(n?1)!( n?1)!
123
???
2!3!4!
所以，
S
n
?n!
?
?
1?
?
?
?
?
1
1< br>?
?
1
S??
，故．
?1??
2013
?
?
2014
(n?1)!
?
?
n?1
4
、 如果一个正方体
X
与一个正四面体
Y
的表面面积（各面面积之和）相等，则其 体
积之比
V
x
?
．
V
y
答案：
4
3
．
解：记表面面积为
1 2
（平方单位），则正方体每个面的面积为
2
，其边长为
2
，所以
1
3
2
a?3
，得
a?2?3
4
； V
x
?2
；正四面体每个面的面积为
3
，设其边长为
a
，则由
4
3
2

< br>1
V
x
于是
V
y
?2?3
，因此
? 3
4
?
4
3
．
V
y
3
2
?
1
4
5
、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整 数，则这四个距离
之和的最小值是 ．
答案：
61
．
x
2
y
2
解：设椭圆方程为
2
?
2
?1
，
a?b?0
，椭圆中心
O
到长、短轴端点距离为
a,b< br>，
ab
a
2
到焦点距离
c
满足：
c?a? b
，到准线距离
d
满足：
d?
，由于
a,b,c
组 成勾股数，
c
222
满足
a?20
的勾股数组有
?
a,b,c
?
?
?
3,4,5
?
,
?
6 ,8,10
?
,
?
9,12,15
?
,
?
12,16,20
?
,
?
5,12,13
?
,
< br>15
2
20
2
?25
，而
(a,b,c,d)?(1 5,12,9,25)
使得
?25
与以及
?
8,15,17
?
，其中只有
16
9
a?b?c?d
的值为最小，这时有
a?b?c?d?61
．
6
、函数
f(x)?3x?6?3?x
的值域是 ．
答案：
[1,2]
．
解：
f(x)?3(x?2)?3?x
的定义域为
[2,3]
，故可设
x?2?sin
?
(0?
?
?
则
f(x)?3sin
?
?1?sin
?
?3 sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?
而
22
2
?
2
)
，
?
6
)
， < br>?
2
?
1
?
，这时
?sin(
?
? )?1
，因此
1?f?2
．
66326
7
、设合数
k
满足：
1?k?100
，而
k
的数字和为质数，就称合数
k
为“山寨质数”，
?
?
?
?
?
则这种“山寨质数”的个数是 ．
答案：
23
个．
解：用
S(k)
表示
k
的数字和；而
M(p)
表示山寨为质数
p
的合数的集合．当
k?99
时，
S(k)?18
，不大于
18
的质数共有
7
个 ，它们是：
2,3,5,7,11,13,17
，山寨为
2
的合数有
M(2)?
?
20
?
，而
M(3)?
?
12,2 1,30
?
,M(5)?
?
14,32,50
?
,M(7) ?
?
16,25,34,52,70
?
；
M(11)?
?
38,56,65,74,92
?
，
M(13)?
?
49, 58,76,85,94
?
，
M(17)?
?
98
?
；
共得
23
个山寨质数．
8
、将集合
?
1, 2,3,4,5,6,7,8
?
中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对
于其余的每个数
n
，在
n
的左边某个位置上总有一个数与
n
之差的绝对值为
1
，那么，满足
条件的排列个数为 ．

答案：
128
．（即
2
个）．
解：设对于适合条件的某一 排列，排在左边的第一个元素为
k
，
(1?k?8)
，则在其余
7< br>7
个数中，大于
k
的
8?k
个数
k?1,k?2,< br>个数
1,2,
,8
，必定按递增的顺序排列；而小于
k
的k?1
,k?1
，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）
事实上，对于任一 个大于
k
的数
k?n
，设
k?n?8
，如果
k?n ?1
排在
k?n
的左边，
则与
k?n?1
相差
1
的另一数
k?n?2
就必须排在
k?n?1
的左边；同样，与
k?n?2
相差
1
的另一数
k?n?3
又必须排在
k?n ?2
的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与
k
相差
1
，矛盾 ！因此
k?n?1
必定排在
k?n
的右边．
用类似的说法可得，小 于
k
的
k?1
个数
1,2,,k?1
，必定按递降的顺序排 列；
由于当排在左边的第一个元素
k
确定后，右边还有
7
个空位， 从中任选
8?k
个位置填
8?k
写大于
k
的数，（其余k?1
个位置则填写小于
k
的数），选法种数为
C
7
； 而当位置选定后，
87
则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为
二、解答题 < br>?
C
k?1
8?k
7
?
?
C
7j
?2
7
．
k?0
9
、（20分）设直线
x ?y?1
与抛物线
y
2
?2px(p?0)
交于点
A,B< br>，若
OA?OB
，
求抛物线方程以及
?OAB
的面积． 解：设交点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
y
D
A
y
2
?2px
与
x?y?1
，得
y
2
?2py?2p?0
， < br>O
C
x
故有
x
1
?1?p?
以及
x
2
?1?p?
p
2
?2p,y
1
??p?p
2
?2p
，
B
p
2
?2p,y
2
?? p?p
2
?2p
．
因
OA?OB
，即
OA?OB ?0
，所以
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，即
2222
???
(1?p)?(p?2p)?p?(p? 2p)
?
????
?0
，化简得
1?2p?0
，因此抛物线 方程为
?
3?5?1?5
??
3?5?1?5
?
y?x< br>，从而交点
A,B
坐标为：
A
???
?
2
,
?
,B
?
?
2
,
?
，
22????
2
22
OA
2
?x
1
2
?y
1
2
?5?25,OB
2
?x
2
?y
2< br>?5?25
，
因此
S
?OAB
?
11
OA?OB?5
．
22
10
、（20分）如图，四边形
ABCD
中，
E,F
分别是
AD,BC
的中点，
P
是对角线
BD

上的一点；直线
EP,PF
分别交
AB ,DC
的延长线于
M,N
．
证明：线段
MN
被直线
EF
所平分．
证：设
EF
交
MN
于
G
，直线
EF
截
?PMN
，则
NGMEPF
???1
；为证
G
是线段
GMEPFN
MN
的中点，只要证，
直线
AB
截
?PDE
，
得
PFPE
?
… ①，
NFME
A
E
D
PMEADBMPBP
???1
，即
?
… ②，
MEADBP2MEBD
P
BC
PNFCBD
F
???1
， 直线
CD
截
?PBF
，则有
NFCBDP
N
NPP D
G
?
即 … ③，
M
2NFBD
MPNPNPMPP FPE
??2
，即
?1?1??
②③相加得，也即，因此结论得证．
MENFNFMENFME
11
、（20分）在非钝角三角形
ABC
中，证 明：
sinA?sinB?sinC?2
．
证一：
sinA?sinB?sinC?2?sinA?sinB?sin(A?B)

?(sin
2
A?cos
2
A)?(sin
2
B?cos
2
B)

?sinA(1?sinA)?sinB(1?sinB)?sin (A?B)?(cos
2
A?cos
2
B)

?sinA( 1?sinA)?sinB(1?sinB)?cosB(sinA?cosB)?cosA(sinB?cos A)?0
．
这里用到，在非钝角三角形
ABC
中，任两个内角之和不小于< br>90
，所以由
A?B?90
，
得
A?90?B,B?90?A
，因此
sinB?sin(90?A)?cosA
，同理
sinA?cosB ,

而
1?sinA
，
1?sinB
不能同时为
0
．从而结论得证．
证二：
sinA?sinB?sinC?2?sinA?sinB ?sin(A?B)?2sin(
000
00
A?BC
?)

22
?2sin
A?BA?BA?BA?BA?BCA?BC
cos?2sinco s?2sincos?2cossin
22222222
A?BA?BCA?BA?BC
(cos?cos)?2cos(sin?sin)

222222
A?BA?C? BB?C?AA?BCC
?4sinsinsin?2cos(cos?sin)?0
； 222222
?2sin
（这是由于，锐角三角形
?ABC
中，任两个内 角之和大于
90
，而任一个半角小于
45
；）
所以
sinA?sinB?sinC?2
．
证三：令
x?tan
00< br>ABC
,y?tan,z?tan
，则
xy?yz?zx?1
，且
222

sinA?
2x2y2z
；
,sinB?,sinC?
2221?x1?y1?z
2x2y2z
???2
… ①，因为
1?x
2
?(x?y)(x?z)
，
222
1?x1?y1?z
即要证
1?y
2
?(y?x) (y?z),1?z
2
?(z?x)(z?y)
，
故①式即
4
?2
，也即
(x?y)(y?z)(x?z)?2
，
(x?y)(y?z)(x?z)
… ② 即
x?y?z?xyz?2

而因
ABC
?
,,?(0,]
，故
x,y,z?(0,1 ]
，所以
(1?x)(1?y)(1?z)?0
，
2224
即
1?(x?y?z)?(xy?yz?xz)?xyz?0
．
此式即为
x?y?z?xyz?2
… ③
由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．
12
、（26分）试确定，是 否存在这样的正整数数列
?
a
n
?
，满足：
a
20 13
?2013
，且对
每个
k?
?
2,3,
成1,2,
,2013
?
，皆有
a
k
?a
k?1
?20
或
13
；而其各项
a
1
,a
2,,a
2013
的值恰好构
,2013
的一个排列？证明你的结论． < br>解：存在．由于
20?13?33
，而
332013
，（即有
2013?33?61
）；
我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果
a
k
?a
k?1
?20
或
13
，那么，
对 任何整数
c
，也有
(a
k
?c)?(a
k?1
?c )?20
或
13
；
为此，先将集合
?
1,2,,33?
中的数排成一个
28
15
2
22
9
2916
3
23
10
8
21
1
14
27< br>圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为
20
或
13
，如
图所示．
将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列
7
a
1
,a
2< br>,,a
33
，都满足
a
k
?a
k?1
?20
或
13
，
为将数列锁定，在前面添加一项
a
0
? 0
，使数
列
a
0
,a
1
,a
2
,
我们可选择与数
33
,a
33
也满足条件，
30
1 7
4
24
11
31
18
20
33
1326
6
19
32
12
25
5
相邻的一个间隙剪 开；例如从
33
右侧间隙剪开，并

按顺时针排列，就成为：
0
；
13,26,6,19,32,12,25, 5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15
，
28,8,21,1,14,27,7,20,33
；
若从
33
左 侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：
0
；
20,7,27,14,
这两种 排列都满足
a
k
?a
k?1
?20
或
13
；
记分段数列
M
0
?(13,26,6,19,32,12,25,5,1 8,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29
，
,6,26,13,33
；
9,22,2,15,28,8,21,1,14,27 ,7,20,33)
?(a
1
,a
2
,,a
33
)
，而分段数列
,a
33
?33k)
，
k?1,2,,60
，
M
k
?(a
1?33k
,a
2?33k
,a
33?3 3k
)?(a
1
?33k,a
2
?33k,
将这些段作如下 连接：
0,M
0
,M
1
,,M
60
，所得到的数列
a
0
,a
1
,a
2
,

,a2013
满足条件．
因为，
a
2013
?a
33?33 ?60
?a
33
?33?60?33?33?60?2013
；对其中任意两 个邻项
a
k
,a
k?1
，
若
a
k
,a
k?1
属于同一个分段，显然有
a
k
?a
k?1
?20
或
13
；若相邻项
a
k
,a
k?1
属于两个相邻段
M
n
与
M
n?1
，则
a
k
是
M
n?1
的首项：即
a
k
?a
1< br>?33(n?1)?13?33(n?1)
，而
a
k?1
是
M
n
的
末项，即
a
k?1
?a
33
?33n ?33?33n
，这时有
a
k
?a
k?1
?
?< br>13?33(n?1)
?
?
?
33?33n
?
?13
，并且
a
1
?a
0
?13
，
因此，数列
a
1
,a
2
,,a
2013
满足条件．

遇到失意伤心事，多想有一个懂你的人来指点迷津，因他懂你，会 以我心，换你心，站在你的位置上思虑，为你排优解难。
一个人，来这世间，必须懂得一些人情事 理，才能不断成长。就像躬耕于陇亩的农人，必须懂得土地与种子的情怀，才能有所收获。
一个女子，一生所求，莫过于找到一个懂她的人，执手白头，相伴终老。
即使芦花暖鞋，菊花枕头 ，也觉温暖；即使粗食布衣，陋室简静，也觉舒适，一句“懂你”,叫人无怨无悔，愿以自己的一生来交付。
懂得是彼此的欣赏，是灵魂的轻唤，是惺惺相惜，是爱，是暖，是彼此的融化；是走一段很远的路， 蓦然回首却发现，我依然在你的视线里；是回眸相视一笑的无言；是一条偏僻幽静的
小路，不显山，不露 水，路边长满你喜爱的花草，静默无语却馨香盈怀，而路的尽头，便是通达你心灵的小屋……
瑟瑟 严冬，窗外雪飘，絮絮自语说了这多，你可懂我了吗？若你知晓，无需说话，只报一声心灵的轻叹，那，便是我的 花开春暖。
你相不相信，人生有一种念想，不求奢华不求结果，不求你在我身边，只愿有一种陪伴暖在心灵，那，便是懂得。
有人懂得是一种幸福，懂得别人是一种襟怀，互为懂得是一种境界。
懂得，真好！