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天津全国高中数学联合竞赛

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:28
tags:2013全国高中数学联赛

济南高中数学会考2018-高中数学算来算去爆炸了

2020年9月19日发(作者:常韵)




全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
一、选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)
(1)若函数
f(x)?1 1?8cosx?2sinx
的最大值为
a
,最小值为
b
,则
(A)
18
(B)
6
(C)
5
(D)
0

(2)若
0?a?b
,且
a?b?1
,则下列各式中最大的是( )
(A)
?1
(B)
log
2
a?log
2
b?1

(C)
log
2
b
(D)
log
2
(a?ab?ab?b)

3223
2
a?1
等于( )
b

(3) 已知数列
2004

2005

1

?2004< br>,
?2005
,…,这个数列的特点是从第二项起,
每一项都等于它的前后两项 之和,则这个数列的前
2004
项之和
S
2004
等于( )
(A)
2005
(B)
2004
(C)
1
(D)
0

?1
e
x
?e
?x
(4)已知函数
f(x)?
x
的反函数是
f
?x
e?e
(A)
k?(0,)
(B)
k?(,1)

|f
?1
(?0.8)|
(x)
,且
?k
,则( )
?1
|f(0.6)|
(C)
k?(1,)

1
2
1
2
3
2
(D)
k?(,2)

3< br>2
(5)正四棱锥
S?ABCD
中,侧棱与底面所成的角为
?
,侧面与底面所成的角为
?
,侧面
等腰
三角形的底角为
?
,相邻两侧面所成的二面角为
?
,则
?

?

?< br>、
?
的大小关系是( )
(A)
?
?
?
?
?
?
?

(C)
?
?
?
?
?
?
?

(B)
?
?
?
?
?
?
?

(D)
?
?
?
?
?
?
?

(6)若对任意的长方体
A
,都存在一个与
A
等高的长方体
B,使得
B

A
的侧面积之比
和体积之比都等于
k
,则
k
的取值范围是( )
(A)
k?0
(B)
0?k?1


二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(C)
k?1
(D)
k?1

xlg
2
a?1
?x
只有一个实数 解,则
a
的值等于 . (7)若关于
x
的方程
x?lga



(8)在
?ABC
中,若
tanA?
11

tanB?
,且最长的 边的长为
1
,则最短的边的的长等
23
于 .
(9)若正奇数
n
不能表示为三个不相等的合数之和,则满足条件的
n
的最大值为 .
(10)设
a

b

c
是直角三角形的三条边长,且
(a?b?c)?2(a
其中
n?N

n?2
,则
n
的值等于 .
(11)连接正文体各个顶点的所有直线中,异面直线共有 对.
(12)如图,以
O(0,0)

A(1,0)
为顶点作正
?OAP
1
,再以
P
1

P
1
A
的中点< br>B
为顶点作正
*
nnn22n
?b
2n
?c
2n
)

?P
1
BP
2
,再以
P
2

P
2
B
的中点
C
为顶点作正
?P2
CP
3
,…,如此继续下去.有如下结论:
①所作的正三角形的边长构成公比为
数列;
②每一个正三角形都有一个顶点在直线< br>AP
2

x?1
)上;
③第六个正三角形的不在第五个正三 角形边上
P
1
C
P
2
P
3
P
6< br>P
5
P
4
1
的等比
2
B
6321< br>,3)

6464
④第
2004
个正三角形的不在第
2003
个正三角
1
形边上的顶点
P
2004
的横坐标是
x
2004
?1?
2004

2
的顶点
P
6
的坐标是
(
O
A

其中正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上).









三、解答题(本题共3小题,每小题满分60分)
(13)已知函数
f(x)?a? 3a

a?0

a?1
)的反函数是
y?f
x?1
(x)
,而且函数
y?g(x)
的图象与函数
y?f
?1< br>(x)
的图象关于点
(a,0)
对称.
(Ⅰ)求函数
y?g(x)
的解析式;



?1
(Ⅱ)若函数
F(x)?f































(x)?g(?x)
x?[a?2,a?3]
上有意义,求
a
的取值范围.
(14)设边长 为
1
的正
?ABC
的边
BC
上有
n
等分点 ,沿点
B
到点
C
的方向,依次为
P
1

1 1n
2
?2
P
2
,…,
P
n?1
,若S
n
?AB?AP

1
?AP
1
?AP2
?
?
?AP
n?1
?AC
,求证:
S
n
?
6n





































a
1

d
均为实数,( 15)已知
{a
n
}
是等差数列,它的前
n
项和记作
S
n

d
为公差且不等于
0

设集合
A ?{(a
n
,
S
n
1
)|n?N
*
}
B?{(x,y)|x
2
?y
2
?1,x,y?R}
,试问下列结论是
n
4
否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.
(Ⅰ)若以集合
A
中的元素作为点的坐标,则这些点都在一条直线上;
(Ⅱ)
A?B
至多有一个元素;
(Ⅲ)当
a
1
?0
时,一定有
A?B??

































二0全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)
(1)B (2)C (3)D (4)D (5)A (6)D
二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(7)100 (8)
5
(9)17 (10)4 (11)174 (12)①②③④
5
三、解答题(本题共3小题,每小题满分60分)
x
(13)【解】(Ⅰ )由
f(x)?a?3a

a?0

a?1
),得
f
?1
(x)?log
a
(x?3a)
…………
5分 又函数
y?g(x)
的图象与函数
y?f
?1
(x)
的 图象关于点
(a,0)
对称,则
于是,
g(a?x)??f
g(x) ??f
?1
?1
(a?x)
a

(2a?x)??l(?x ?a)

og

x??a
)…………………………………10分



?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,有
F(x)?f
要使
F(x)
有意义,必须
?
(x)?g(?x)?log
a
( x?3a)?log
a
(x?a)

?
x?3a?0,

?
x?a?0.

a?0
,故
x?3a
. ……………………………………………………………………… 15

由题设
F(x )

x?[a?2,a?3]
上有意义,所以
a?2?3a
,即a?1

于是,
0?a?1
. ………………………………………………………………………
14.【证明】如图,设
AB? c

AC?b

BC?a


1
BC? p
,则
AP
k
?AB?BP
k
?c?kp

k?0

1

2
,…,
n

n
其中,
AP
0
?AB

AP
n
?AC


AP
k?1
?AP
k
?[c?(k?1)p]?(c?k p)

?c?(2k?1)c?p?k(k?1)p

k?0
1

2
,…,
n
) ……………5

又∵
S
n
?AB?AP
1
?AP
1
?AP
2< br>?
?
?AP
n?1
?AC


S
n
?nc?[
2
2
2
22
?
(2k?1)]c?p ?[
?
k(k?1)]p
k?1k?1
nn
2


?nc?nc?p?
10分
n(n?1)(n?1)
(np)
2
……………………………………… ……
3
2
n
2
?1n
2
?1
2
2
?nc?nc?(np)?(np)?nc?nc?a?a
. ……………………
3n3n
2
…15分
又∵
|a|?|b|?|c |?1

c

a
的夹角为
60

?1n
2
?111n
2
?2
?

S
n< br>?n?n?
. ……………………………………………………
23n6n
15.【解】(Ⅰ)正确.
因为,在等差数列
{a
n
}
中,
S
n
?
n (a
1
?a
n
)Sa?a
n
,所以,
n
?
1

2n2
这表明点
(a
n
,
S
n
1
)
的坐标适合方程
y?(x?a
1
)

n
2



所以,点
(a
n
,
S
n
)
n
均在直线
y?
1
(x?a
1)
2
上. ……………………………………………5分
(Ⅱ)正确.
11
?
y?x?a
1
,
?
2
的解. 设< br>(x,y)?A?B
,则
(x,y)
坐标中的
x

y
应是方程组
?
2
2
?
x
?y
2
? 1
?
4
解这个方程组,消去
y
,得
2a
1
x?a
1
??4
.(﹡)

a
1
?0
时 ,方程(﹡)无解,此时,
A?B??
. …………………………………
10分
2
?4?a
1

a
1
?0
时,方程(﹡) 只有一个解
x?

2a
1
2
?
?4?a
1
,
?
x?
?2a
1
此时方程组也只有一个解,即
?

2
a?4
?
y?
1
.
?
4 a
1
?
故上述方程组至多有一解,所以
A?B
至多有一个元素. ………………………………
2
15分
(Ⅲ)不正确.
*

a
1
?1

d?1
,对一切
n?N
,有
a
n
?a
1
?(n?1)d?n?0

S
n
?0

n
这时集合
A
中的元素的点的横、纵坐标均为正. 另外,由于
a
1
?1?0
,如果
A?B??
,那么根据 (Ⅱ)的结论,
?4?a
1
a?4
53
,而
x
0
?

A?B
至多有一个元素(
x
0
,y
0

???0

y
0
?
1
???0

2a
1
24a
1
4
这样的
(x
0
,y
0
)?A
,产生矛盾.所以,
a
1
?1
,< br>d?1
时,
A?B??


a
1
?0
时,一定有
A?B??
是不正确的. ……………………………………
22

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