济南高中数学会考2018-高中数学算来算去爆炸了
全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
一、选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)
(1)若函数
f(x)?1
1?8cosx?2sinx
的最大值为
a
,最小值为
b
,则
(A)
18
(B)
6
(C)
5
(D)
0
(2)若
0?a?b
,且
a?b?1
,则下列各式中最大的是(
)
(A)
?1
(B)
log
2
a?log
2
b?1
(C)
log
2
b
(D)
log
2
(a?ab?ab?b)
3223
2
a?1
等于( )
b
(3)
已知数列
2004
,
2005
,
1
,
?2004<
br>,
?2005
,…,这个数列的特点是从第二项起,
每一项都等于它的前后两项
之和,则这个数列的前
2004
项之和
S
2004
等于( )
(A)
2005
(B)
2004
(C)
1
(D)
0
?1
e
x
?e
?x
(4)已知函数
f(x)?
x
的反函数是
f
?x
e?e
(A)
k?(0,)
(B)
k?(,1)
|f
?1
(?0.8)|
(x)
,且
?k
,则(
)
?1
|f(0.6)|
(C)
k?(1,)
1
2
1
2
3
2
(D)
k?(,2)
3<
br>2
(5)正四棱锥
S?ABCD
中,侧棱与底面所成的角为
?
,侧面与底面所成的角为
?
,侧面
等腰
三角形的底角为
?
,相邻两侧面所成的二面角为
?
,则
?
、
?
、
?<
br>、
?
的大小关系是( )
(A)
?
?
?
?
?
?
?
(C)
?
?
?
?
?
?
?
(B)
?
?
?
?
?
?
?
(D)
?
?
?
?
?
?
?
(6)若对任意的长方体
A
,都存在一个与
A
等高的长方体
B,使得
B
与
A
的侧面积之比
和体积之比都等于
k
,则
k
的取值范围是( )
(A)
k?0
(B)
0?k?1
二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(C)
k?1
(D)
k?1
xlg
2
a?1
?x
只有一个实数
解,则
a
的值等于 .
(7)若关于
x
的方程
x?lga
(8)在
?ABC
中,若
tanA?
11
,
tanB?
,且最长的
边的长为
1
,则最短的边的的长等
23
于 .
(9)若正奇数
n
不能表示为三个不相等的合数之和,则满足条件的
n
的最大值为 .
(10)设
a
、
b
、
c
是直角三角形的三条边长,且
(a?b?c)?2(a
其中
n?N
,
n?2
,则
n
的值等于 .
(11)连接正文体各个顶点的所有直线中,异面直线共有 对.
(12)如图,以
O(0,0)
、
A(1,0)
为顶点作正
?OAP
1
,再以
P
1
和
P
1
A
的中点<
br>B
为顶点作正
*
nnn22n
?b
2n
?c
2n
)
,
?P
1
BP
2
,再以
P
2
和
P
2
B
的中点
C
为顶点作正
?P2
CP
3
,…,如此继续下去.有如下结论:
①所作的正三角形的边长构成公比为
数列;
②每一个正三角形都有一个顶点在直线<
br>AP
2
(
x?1
)上;
③第六个正三角形的不在第五个正三
角形边上
P
1
C
P
2
P
3
P
6<
br>P
5
P
4
1
的等比
2
B
6321<
br>,3)
;
6464
④第
2004
个正三角形的不在第
2003
个正三角
1
形边上的顶点
P
2004
的横坐标是
x
2004
?1?
2004
.
2
的顶点
P
6
的坐标是
(
O
A
其中正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上).
三、解答题(本题共3小题,每小题满分60分)
(13)已知函数
f(x)?a?
3a
(
a?0
,
a?1
)的反函数是
y?f
x?1
(x)
,而且函数
y?g(x)
的图象与函数
y?f
?1<
br>(x)
的图象关于点
(a,0)
对称.
(Ⅰ)求函数
y?g(x)
的解析式;
?1
(Ⅱ)若函数
F(x)?f
(x)?g(?x)
在x?[a?2,a?3]
上有意义,求
a
的取值范围.
(14)设边长
为
1
的正
?ABC
的边
BC
上有
n
等分点
,沿点
B
到点
C
的方向,依次为
P
1
,
1
1n
2
?2
P
2
,…,
P
n?1
,若S
n
?AB?AP
.
1
?AP
1
?AP2
?
?
?AP
n?1
?AC
,求证:
S
n
?
6n
a
1
和
d
均为实数,(
15)已知
{a
n
}
是等差数列,它的前
n
项和记作
S
n
,
d
为公差且不等于
0
,
设集合
A
?{(a
n
,
S
n
1
)|n?N
*
},
B?{(x,y)|x
2
?y
2
?1,x,y?R}
,试问下列结论是
n
4
否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明.
(Ⅰ)若以集合
A
中的元素作为点的坐标,则这些点都在一条直线上;
(Ⅱ)
A?B
至多有一个元素;
(Ⅲ)当
a
1
?0
时,一定有
A?B??
.
二0全国高中数学联合竞赛(天津初赛)
试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共6个小题,每小题5分满分30分)
(1)B (2)C (3)D (4)D (5)A (6)D
二、填空题(本题共6个小题,每小题5分,满分30分)
(7)100
(8)
5
(9)17 (10)4 (11)174 (12)①②③④
5
三、解答题(本题共3小题,每小题满分60分)
x
(13)【解】(Ⅰ
)由
f(x)?a?3a
(
a?0
,
a?1
),得
f
?1
(x)?log
a
(x?3a)
…………
5分 又函数
y?g(x)
的图象与函数
y?f
?1
(x)
的
图象关于点
(a,0)
对称,则
于是,
g(a?x)??f
g(x)
??f
?1
?1
(a?x)
a
,
(2a?x)??l(?x
?a)
.
og
(
x??a
)…………………………………10分
?1
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,有
F(x)?f
要使
F(x)
有意义,必须
?
(x)?g(?x)?log
a
(
x?3a)?log
a
(x?a)
.
?
x?3a?0,
?
x?a?0.
又
a?0
,故
x?3a
.
……………………………………………………………………… 15
分
由题设
F(x
)
在
x?[a?2,a?3]
上有意义,所以
a?2?3a
,即a?1
.
于是,
0?a?1
.
………………………………………………………………………
14.【证明】如图,设
AB?
c
,
AC?b
,
BC?a
,
令
1
BC?
p
,则
AP
k
?AB?BP
k
?c?kp
(
k?0
,
1
,
2
,…,
n
)
n
其中,
AP
0
?AB
,
AP
n
?AC
.
∴
AP
k?1
?AP
k
?[c?(k?1)p]?(c?k
p)
?c?(2k?1)c?p?k(k?1)p
(
k?0
,1
,
2
,…,
n
) ……………5
分
又∵
S
n
?AB?AP
1
?AP
1
?AP
2<
br>?
?
?AP
n?1
?AC
,
∴
S
n
?nc?[
2
2
2
22
?
(2k?1)]c?p
?[
?
k(k?1)]p
k?1k?1
nn
2
?nc?nc?p?
10分
n(n?1)(n?1)
(np)
2
………………………………………
……
3
2
n
2
?1n
2
?1
2
2
?nc?nc?(np)?(np)?nc?nc?a?a
.
……………………
3n3n
2
…15分
又∵
|a|?|b|?|c
|?1
,
c
与
a
的夹角为
60
,
?1n
2
?111n
2
?2
?
∴
S
n<
br>?n?n?
.
……………………………………………………
23n6n
15.【解】(Ⅰ)正确.
因为,在等差数列
{a
n
}
中,
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)Sa?a
n
,所以,
n
?
1
.
2n2
这表明点
(a
n
,
S
n
1
)
的坐标适合方程
y?(x?a
1
)
.
n
2
所以,点
(a
n
,
S
n
)
n
均在直线
y?
1
(x?a
1)
2
上. ……………………………………………5分
(Ⅱ)正确.
11
?
y?x?a
1
,
?
2
的解. 设<
br>(x,y)?A?B
,则
(x,y)
坐标中的
x
、
y
应是方程组
?
2
2
?
x
?y
2
?
1
?
4
解这个方程组,消去
y
,得
2a
1
x?a
1
??4
.(﹡)
当
a
1
?0
时
,方程(﹡)无解,此时,
A?B??
. …………………………………
10分
2
?4?a
1
当
a
1
?0
时,方程(﹡)
只有一个解
x?
,
2a
1
2
?
?4?a
1
,
?
x?
?2a
1
此时方程组也只有一个解,即
?
2
a?4
?
y?
1
.
?
4
a
1
?
故上述方程组至多有一解,所以
A?B
至多有一个元素.
………………………………
2
15分
(Ⅲ)不正确.
*
取
a
1
?1
,
d?1
,对一切
n?N
,有
a
n
?a
1
?(n?1)d?n?0
,
S
n
?0
.
n
这时集合
A
中的元素的点的横、纵坐标均为正. 另外,由于
a
1
?1?0
,如果
A?B??
,那么根据
(Ⅱ)的结论,
?4?a
1
a?4
53
,而
x
0
?
A?B
至多有一个元素(
x
0
,y
0
)
???0
,
y
0
?
1
???0
.
2a
1
24a
1
4
这样的
(x
0
,y
0
)?A
,产生矛盾.所以,
a
1
?1
,<
br>d?1
时,
A?B??
,
故
a
1
?0
时,一定有
A?B??
是不正确的.
……………………………………
22