2017年全国高中数学联赛模拟试题05

2017年全国高中数学联赛模拟试题05
第一试
（时间：8:00-9:20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是 1.函数
y?
2
x?4x?5

2.函数
y?tan(20 13x)?tan(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]中的零点个数为

*
3.设
P
2k? 2
是
P
1
,P
2
是平面上的两点,
P
2k ?1
是
P
2k
关于
P
1
的对称点,
P2k?1
关于
P
2
的对称点,
k?N
,
若< br>|PP
12
|?1
,则
|P
2013
P
20 14
|?


4.设动点
P(t,0 ),Q(1,t)
,其中参数
t?[0,1]
,则线段
PQ
扫过的平 面区域的面积是

5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是

6.一个球外接于四面体
ABCD
，另一半径为1的球与平面
AB C
相切，且两球内切于点
D
，已知
AD?3
,
cos?B AC?
41
,cos?BAD?cos?CAD?
，则四面体
ABCD
的体积为
5
2

7.设AB是抛物线y
2
=2px的一条焦点弦，且AB与x轴不垂直，P是y轴上异于O的一点
满足O,P ,A,B四点共圆，点A,B,P的纵坐标分别为y
1
,y
2
,y
0
,则

8. 用
?
表示非空整数集S中所有元素的和，设
A ?
?
a
1
,a
2
,
（s）
且
a< br>1
?a
2
?
则满足上述要求的
a
10
的最小 值为 ．


二、解答题：本大题共3小题，共56分.
9. （本小题满分16分）已知
x,y,z
是正实数,求证:



10. （本小题满分20分）设
x
1
,x
2
,
证 明：
x
1
,x
2
,



y
1
+y
2
=____
y
0

a
11
?
是正整数集，
a
11
，若对每个正整数
n?1500
，存在A的子集S，使得
?
(S)?n
，
z?yx?zy?x
???0

x?2yy?2zz?2x
,x
n
,
是不同的正实数.
, x
n
,
22
x
n
?x
1
2
x1
n?1
x
n
是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数
n (?2)
，都有
?

?
22
x
2
k?1< br>x
k
x
k?1
x
2
?x
1
x
2
y
2
??1
交于
A,B
两点，过椭圆
C
的右焦点
F
、倾11. （本小题满分20分）已知直线
y?x
与椭圆C
：
1611
斜角为
?
的直线
l
交弦
AB
于点
P
，交椭圆
C
于点
M,N
．（1）用?
表示四边形
MANB
的面积；
（2）求四边形
MANB
的面积取到最大值时直线
l
的方程．

2017年全国高中数学联赛模拟试题05
加试
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分 ）如图，
?ABC
的外心为
O
，
E
是
AC
的中点，直线
OE
交
AB
于
D
，点
M,N
分别
是
?BCD
的外心与内心，若
AB?2BC
，证明：
? DMN
为直角三角形.
C


F

E
N

P

M


B
D
H
A

O

二、（本小题满分40分）
对给定的自然数
m
与
n
，m
＜
n
，任意一个由
n
个连续整数组成的集合都含有两个不同的 数，它们的乘
积能被
mn
整除．








三、（本小题满分50分）
求证：数列
a
n
=3cos
?
narccos
n
?
?
1
?
(n?N
*
)
的每一项都是整数，但都不是3的倍数
?
3
?












四、（本小题满分50分）
圆周上有
n
个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内< br>区域的个数．

2017年全国高中数学联赛模拟试题05
第一试参考解答
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
x
2
?2x?3
(x?R)
的值域是 1.函数
y?
2
x?4x?5
x
2
?2x?3
?( y?1)x
2
?(4y?2)x?5y?3?0
(1)
y?1
时,该 方程有解(2)
y?1
时,因为
x?R
,所解：由
y?
2< br>x?4x?5
22
以
??(4y?2)?4(y?1)(5y?3)?0?y? 4y?2?0
2?2?y?2?2
所以,
2?2?y?2?2
且
y?1
综合(1)(2)
2?2?y?2?2
,故答案为
[2?2,2?2]

x
2
?2x?3(x?2)
2
?2(x?2)?3
?
法二：
y?
2
,令
x?2?tan
?
,则
x?4x?5(x?2)< br>2
?1
tan
2
?
?2tan
?
?3
22
y??sin
?
?2sin
?
cos
?
?3 cos
?
?2?sin2
?
?cos2
?

2tan
?
?1
?2?2sin(2
?
?)
,故该函数的 值域为
[2?2,2?2]

4
x
2
?2x?3x
2
?4x?5?2(x?1)2(x?1)
??1?
法三：
y?
2< br>(1)
x??1
时,
y?1

x?4x?5x
2?4x?5(x?1)
2
?2(x?1)?2
22
2
|?|x? 1|??22
(2)
x??1
时,
y?1?
,因为
|(x ?1)?
2
x?1|x?1|
(x?1)??2
x?1
222
所以
x?1???22
或
x?1??22
所以
(x?1)??2? 2?22

x?1x?1x?1
2
2222
或
(x?1)?
且
?2?22?2
所以,
???0

22
x?1< br>2?22
(x?1)??2
2?22
(x?1)??2
x?1x?1< br>22
即
?2?1??2?1
且
?0
所以,
2?2?y?2?2
且
y?1

22
(x?1)??2(x?1)??2
x?1x?1
综合(1)(2)
2?2?y?2?2
,故答案为
[2?2,2?2]

2(x
2
?2x?1)
][?1?2,??)
上单调递增,在区间法四：求导
y' ?
2
,该函数在区间
(??,?1?2
及
(x?4x?5)
2
[?1?2,?1?2]
上单调递减,计算即得答案为
[2?2,2?2]

2.函数
y?tan(2013x)?tan(2014x)?tan(2015x)
在
[0,
?
]
中的零点个数为
解:
y?tan(2013x)?tan(2014x)?tan(2015x)
< br>sin2013xsin2015xsin2014xsin4028xsin2014x
??? ??
cos2013xcos2015xcos2014xcos2013xcos2015xcos2 014x
sin2014x(2cos
2
2014x?cos2013xcos201 5x)
?
由于
cos2013xcos2014xcos2015x
2co s
2
2014x?cos2013xcos2015x?cos4028x?1?cos201 3xcos2015x
?1?sin2013xsin2015x?0

所以,
sin2014x?0
在
[0,
?
]
上的零点个数即是因为
y?sin2014x
的最小正周期为
?
?
,故
[0,
?
]
之间函数
1007
y?sin2014x
的图象有1007个周期 ,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为2015
*
3.设
P< br>2k?2
是
P
12
|?1
,则
1
,P
2
是平面上的两点,
P
2k?1
是
P
2k
关于< br>P
1
的对称点,
P
2k?1
关于
P
2
的对称点,
k?N
,若
|PP
|P
2013
P
2 014
|?

解:设
P
n
点 对应的复数为
z
n
由题意:
z
2k?1
?z
2k< br>?2z
1
,z
2k?1
?z
2k?2
?2z
2

所以,
z
2k?2
?z
2k
? 2(z
2
?z
1
)?z
2k
?z
2
?2( k?1)(z
2
?z
1
)

z
2k?1
? 2z
1
?[z
2
?2(k?1)(z
2
?z
1)]??(2k?1)z
2
?2kz
1

所以,
z2k?2
?z
2k?1
?z
2
?2k(z
2
? z
1
)?(2k?1)z
2
?2kz
1
?4k(z
2
?z
1
)

所以,
|P
2k?1
P2k?2
|?|z
2k?2
?z
2k?1
|?|4k(z
2
?z
1
)|?4k
,所以,
|P
2013
P
2014
|?4024

4.设动 点
P(t,0),Q(1,t)
,其中参数
t?[0,1]
,则线段
PQ
扫过的平面区域的面积是
解:直线
PQ
的方程 为
tx?(t?1)y?t?0
,
t?0
时,直线方程为
y?0,
t?1
时,直线方程为
x?1
,故不妨设
2
0?t? 1
,直线方程为
y?
t1?x
(x?t)?(2?x)?[?(1?t)]< br>,对每个
0?x?1
,当
t?(0,x]
变化时
1?t1? t
0?y?2?x?21?x
,所以,线段
PQ
扫过的平面区域是函数
y?2?x?21?x
及直线
x?0,x?1,y?0
1
3
12
41
1
1
围成的封闭图形,由积分的几何意义
?
(2 ?x?21?x)dx?[2x?x?(1?x)
2
]
0
?
,故答案 为
0
236
6
5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的 概率是
解:将这十二个点依次标为
A
1
,A
2
,
4
,A
12
,从十二个点中取4个点的方法数为
C
12
,取出的四个点两两不相邻的
包含以下两类,(1)如果不取
A
12
点,则从
A
1
,A
2
,A
11这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为
C
8
4
(相当于
A
10
这9个点中取三个点,两两不相邻,把4个点插到7个点中(2)如果取
A< br>12
点,由于不能取
A
1
,A
11
,故从
A
2
,A
3
,
3
7
3
C
8
4
?C
7
7
方法数为
C
(相当于把三个点插到6个点中)故 所求概率为
?
4
C
12
33
6.一个球外接于四面体ABCD
，另一半径为1的球与平面
ABC
相切，且两球内切于点
D，已知
AD?3
,
41
cos?BAC?,cos?BAD?cos? CAD?
，则四面体
ABCD
的体积为
5
2
7.设AB是抛物线y=2px的一条焦点弦，且AB与x轴不垂直，P是y轴上异于O的一 点

y+y
满足O,P,A,B四点共圆，点A,B,P的纵坐标分别为y
1
,y
2
,y
0
,则
12
=____
y0
2

p
,与抛物线方程联立得：y
2
-2pky-p
2
=0,由于y
1
,y
2
是
2
方程的两根 ，且y
1
?y
2
,则有y
1
y
2
=-p< br>2
,设直线PA,PB的斜率为k
1
,k
2
,
2p< br>?
y
2
-y
0
?
y-y
2p
?y
1
-y
0
?
则k
1
=
1
2
0
=,

k=,因为A,P,O,B四点共圆，
2
y
1
y
1
2
y
2
2
2p
所以，?APB? ?AOB,
tan?APB?tan?AOB
解：设直线l
AB
:ky=x-

2p
?
y
1
-y
0
?
2p
?
y
2
-y
0
?

-
?
2p
?
y
2
-y
1
?
?
yy-yy+y< br>??
k
1
-k
2
y
1
2
y
2
2
?
12012
?
tan?APB?==
2p
?
y
1
-y
0
?
2p
?
y
2
-y
0
?
1+k
1
k
2
p
4
+ 4p
2
?
y
1
-y
0
??
y
2< br>-y
0
?
1+?
y
1
2
y
2
2
令y
0
=0?tan?AOB=
?
2p
?
y< br>2
-y
1
?
y
1
y
2
p+4py< br>1
y
2
?
42
=
2
?
y
2
-y
1
?
3p
?

2p
?
y2
-y
1
?
?
?
y
1
y
2< br>-y
0
?
y
1
+y
2
?
?
?
p
4
+4p
2
?
y
1
-y
0< br>??
y
2
-y
0
?
2
?
y
2
-y
1
?
3p
y
1
y
2
-y< br>0
?
y
1
+y
2
?
p
2
+ 4
?
y
1
-y
0
??
y
2
-y< br>0
?
=
1
3
y
1
+y
2
= 4
y
0

?3y
1
y
2
-3y
0
?
y
1
+y
2
?
=p
2
+4?
y
1
-y
0
??
y
2
-y
0
?
,而-p
2
=y
1
y
2
?y
0
?
y
1
+y
2
?
=4y
0
2< br>?
8. 用
?
表示非空整数集S中所有元素的和，设
A?
?< br>a
1
,a
2
,
（s）
8.解：令
S
k
?a
1
?a
2
?
a
11
?
是正 整数集，且
a
1
?a
2
?a
11
，若对
每 个正整数
n?1500
，存在A的子集S，使得
?
(S)?n
，则满 足上述要求的
a
10
的最小值为 ．
?a< br>k
(1?k?11)
若
a
k
?s
k?1
?1 ,
则不存在
S?A
，使
?
(S)?S
k?1
?1< br>
k
所以
S
k
?S
k?1
?a
k
?2S
k?1
?1
（1）又由题设得
S
1
?a
1
?1
，于是由（1）及归纳法易得
S
k
?2?1(1?k ?11)

若
S
10
?750
，则
a
11
?750
（否则750无法用
?
(S)
表示出），
S
11
?S
10
?a
11
?1500,
所以
S10
?750.

8
又
S
8
?2?1?255 ,
于是
2a
10
?a
9
?a
10
?S10
?S
8
?495
，所以
a
10
?248.

另一方面，令
A?
?
1,2,4,8,16,32,64,128 ,247,248,750
?

当
n?255?2?2?
76
?2?2
0
时，可找到
S?
?
1,2,4,,128
?< br>，使
?
(S)?n.

当
n?255?247?502
时，存在
S?
?
1,2,4,
当
n?502?248?750时，存在
S?
?
1,2,4,
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
9.已知
x,y,z
是正实数,求证:
证明:由于
,128,247
?
，使
?
(S)?n.

,128,247，248
?
，使
?
(S)?n.

当
n?750?750
时，存在
S?A
，使
?
(S)?n .
于是，
a
10
的最小值为248。
z?yx?zy?x
???0

x?2yy?2zz?2x
1111 11
??)?[(x?2y)?(y?2z)?(z?2x)](??)?9
x?2yy?2z z?2xx?2yy?2zz?2x
111
??)?3
所以,
(x?y?z )(
x?2yy?2zz?2x
(z?y)?(x?2y)(x?z)?(y?2z)(y?x )?(z?2x)
???3
所以,
x?2yy?2zz?2x
z?yx?zy?x
???0
即
x?2yy?2zz?2x
111
法二:令
x?2y?c,y?2z?a,z?2x? b
?x?(4b?c?2a),y?(4c?a?2b),z?(4a?b?2c)

999
z?yx?zy?x1a?b?2cb?c?2aa?c?2b
???(??)
所以,
x?2yy?2zz?2x3cab
(3x?3y?3z)(
1acabbc1 acabbc
?[(?)?(?)?(?)?6]?[2??2??2??6]?0

3cabacb3cabacb
z?y
?0
,证明过程略 法三、不妨设x?y?z?1
,可将不等式化为
?
1?(z?y)
10. （本小题满 分20分）设
x
1
,x
2
,,x
n
,
是不 同的正实数.

证明：
x
1
,x
2
,,x< br>n
,
22
x
n
?x
1
2
x
1
n?1
x
n
是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数
n(? 2)
，都有
?

?
2
x
2
k?1
x
k
x
k?1
x
2
?x
1
2
10 .必要性：若
x
1
,x
2
,,x
n
,
是一 个等比数列，设
x
k
?ar
k?1
2
x
1
n?1
x
n
r
2(n?1)
，则
?
?
x< br>2
k?1
x
k
x
k?1
r
?
rk?1
n?1
1
2k?1

?1?r?
2
?r
2(n?2)
2
r
2(n?1)
?1
x
n
?x
1
2
?
2
＝
2
.
r?1
x
2
?x
1
2
222
?
x
3
x3
?x
1
2
x
1
?
x
3
充分 性：当
n
＝2时，两边都等于1.当
n
＝3时，有
?
， < br>?
?
?
2
x
2
?
x
1
x< br>2
x
2
x
3
?
x
2
?x
1
2
2
化简得
x
1
x
3
?x
2，所以，
x
1
,x
2
,x
3
成等比数列.假设
x
1
,x
2
,
k?1
,x
n?1
成等比数列（
n?4
），记
x
k
?ar
，
k?1, 2,
2
?
11
u
n
,n?1
，
x
n
?au
n
，则
?
?
3
?
r
?< br>rr
224
?
u(1?r?r?
n
?
?
u< br>n
?r
n?1
??
u
n
?r
n?3
?
?0
，因为
u
n
?0
，所以
u
n
?r
n?1
，即
x
n
?ar
n?1
，从而
x
1
,x
2
,
2
?
u
n
?1< br>，
?
2n?5
?
n?2
?
?
2
r ru
n
?
r?1
2n?1n?32n?4
222n?4
u? (r?r)u?r?0
， ，
?r
2n?6
)?r
n?3
u
n
?
(r?1)?(u?1)r
nn
n
?
11,x
n
成等比数列.
由数学归纳法知，
x
1
,x
2
,,x
n
,
是一个等比数列.
x
2
y
2
??1
交于
A,B
两点，过椭圆
C
的右焦点
F
、倾11. （本小题满分20分）已知直线
y?x
与椭圆
C
：1611
斜角为
?
的直线
l
交弦
AB
于点P
，交椭圆
C
于点
M,N
．（1）用
?
表示四 边形
MANB
的面积；
（2）求四边形
MANB
的面积取到最大值时直线
l
的方程．
解 （1）直线
MN
的倾斜角为
?
，记
?MFO?
?
，则
?
?
?
?
?
，
2ab
2
2ab
2
?
|MN|?
2
?
．而与所成的角为< br>MN
?
?
，则四边形
MANB
面积
AB
2 2222
a?ccos
?
a?ccos
?
4
1
?< br>sin
?
?cos
?
．…………5分
S
MANB< br>?|AB|?|MN|sin(?
?
)?2|OA|?ab
2
?
2
24
a?c
2
cos
2
?
?
4334 33
?
222
?
，且
|OA|?
466
，
a?16,b?11,c?5
而，A点坐标为
?
,
?
9
9
9
?
??
35233sin
?
?cos
?
35233sin
?
?cos
?
???
，
22
9 9
16?5cos
?
16?5cos
?
433433
其中< br>0?
?
?arctan
或
arctan?
?
?
?
．……………10分
433?95433?95
??
sin
?
?cos
?
433
,
?
?
（2）记
f(< br>?
)?
，而
f(
?
)
只可能在
?
?
?
arctan
时才可能取到最大值．对
2
?
16?5co s
?
433?95
??
(cos
?
?sin
?)(16?5cos
2
?
)?(sin
?
?cos
?< br>)(10cos
?
sin
?
)
f(
?
)求导数得到：
f
?
(
?
)?
．
22
(16?5cos
?
)
2
令
f
?
(
?)?0
，则有
(1?tan
?
)(16tan
?
?11 )?(tan
?
?1)(10tan
?
)?0
． ……15分
从而，
S
MANB
?
32
化简得到
16tan
?
?6tan
?
?21tan
?
?11?0
．所以
(2tan
?
?1)(8tan
?
?tan
?
?1 1)?0
．
2
1
．
2
??
1
433< br>,
?
?
经检验
tan
?
??
，符合
?
?
?
arctan
．
?
2
433?95
??
而
8tan
?
?tan
?
?11?0
无实根，则
tan
?
??
2
故所求直线
l
的方程为：
y??
15
x?
． ……………………20分
22

2017年全国高中数学联赛模拟试题05
加试参考答案
一、（本小题满分40分）
如图，
?ABC
的外心 为
O
，
E
是
AC
的中点，直线
OE
交AB
于
D
，点
M,N
分别是
?BCD
的外心与 内心，
若
AB?2BC
，证明：
?DMN
为直角三角形.
证：由于点
O,M
皆在
BC
的中垂线上，设直线
OM
交BC
于
P
，交
的中点; 因
N
是
?BCD的内心，故
D,N,F
共线，且
FP?BC
.
又
OE
是
AC
的中垂线，则
DC?DA
，而
DF, OE
为
?BDC
的内、外角平分线，
故有
OD?DF
，则
OF
为
则
P
是
BC
的中点，
F
是
BC
M
于
F
，
C
F
M
的直径，所 以，
OM?MF
，又因
N
11
P
?BNF??BDC??DBC
??NBF
，
22
M
则
NF?BF
. 作
NH?BD
于
H
，则有，
B
D
H
A< br>1
DH?
?
BD?DC?BC
?

O
21111
?
?
BD?DA?BC
?
?
?
AB? BC
?
?BC?BP
，且
?NDH??BDC??FBP
，
2222
所以，
Rt?NDH?Rt?FBP
，故得
DN?BF?NF
，因此，
MN
是
?FOD
的中位线，从而
MN
∥
OD
，
而
OD?DN
，则
MN?D N
.故
?DMN
为直角三角形．
证二：记
BC?a,CD?b,B D?c
，因
DE
是
AC
的中垂线，则
AD?CD?b
，由条件
b?c?2a

○
1
延长
DN
交M
于
F
，并记
FN?e,DN?x
，则
FB?FC?F N?e
，对圆内接四边形
BDCF
用托勒密
E
定理得
FC? BD?FB?CD?BC?DF
，即
ec?eb?a
?
x?e
?2，由
○
1、
○
2得
2ae?a
?
x?e?
，所以
○
x?e
，即
N
是弦
DF
的 中点，而
M
为外心，所以
MN?DF
，故
?DMN
为直角三 角形．


二、（本小题满分40分）
对给定的自然数
m
与
n
，
m
＜
n
，任意一个由
n
个连续整 数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能
被
mn
整除．
证明：设< br>n
个连续整数为
a
1
?a
2
?
（1）若i?j
，则
mna
i
a
j
；






















?a
n
，则
n?a
n
?
?
a
1< br>?1
?
，由
m?n
有
m?a
n
?
?
a
1
?1
?
，于是，在
这
n
个数中，必有
n
的倍数
a
i
和
m
的倍数
a
j< br>；

三、（本小题满分50分）
求证：数列
an
=3cos
?
narccos
n
?
?
1?
(n?N
*
)
的每一项都是整数，但都不是3的倍数
?
3
?




























四、（本小题满分50分）
圆周上有
n
个点，用弦两两连结起来 ，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内
区域的个数