高中数学必修三期中考试卷-高中数学案例教学法百度
2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
（考试时间：2010年9月4日上午10：00—11：20）
二
题号
得分
评卷人
复核人
注意事项：
1.本试卷共二大题，全卷满分120分。
2.用圆珠笔或钢笔作答。
3.解题书写不要超出装订线。
4.不能使用计算器。
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
1.方程
log
?
x?sinx?2
在区间
(0,
2
一
1 2 3
合计
?
2
]
上的实根个数为_________________.
2
.设数列
?
8?(?)
?
?
1
3
n?1
1
?
|S?6|?
的前项和为，则满足不等式的最小整数
n
是
S
n
?
n
n
125
?
_____________
____.
3.已知
n
（
n?N
，
n?2
）是常
数，且
x
1
，
x
2
，
?
，
xn
是区间
?
0,
数
?
?
?
内任意实数
，则函
?
?
2
?
f(x
1
,x
2
,?,x
n
)?sinx
1
cosx
2
?sinx
2
cosx
3
???sinx
n
cosx
1
的最大
值等于
_________________.
4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，
如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在
圆内一共有_________________个交点
.
5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在
n
次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6.设
O
是平面上一个定点，
A
，
B
，
C
是平面上不共
线的三个点，动点
P
满足
????????
????????
ACAB
?
?OA?
?
????
，其中
?
?[0,??)
，则点
P
的轨迹为_________________.
OP?
?
???
|AC||AB|
7.对给定的整数
m
，符
号
?
(m)
表示
?
1,2,3
?
中使
m?
?
(m)
能被3整除的唯一值，那么
?
(2
2010
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?
(2
201
0
?3)?
_________________.
8.分别以直角三角形的两条直
角边
a
，
b
和斜边
c
为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转
体
的体积依次为
V
a
，
V
b
，
V
c
，则
V
a
2
?V
b
2
与
(2V
c
)
2
的大小关系是_________________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分16分）
是否存在实数
a
，使直线
y?ax?1
和双曲线
3x
2
?y
2
?1
相交于两点
A
、
B
，且以
AB
为直径的圆恰好过坐标系的原点？
2.（本小题满分20分）
求证：不存在这样的函数
f:Z?
?
1
,2,3
?
，满足对任意的整数
x
，
y
，若
|x?
y?|
?
2,3,5
f(x)?f(y)
.
?
，则
3.（本小题满分20分）
设非负实数
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?1
，求证：
9abc?ab?b
c?ca?
1
(1?9abc)
4
2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
一、填空题
1.
设
f(x)?log
?
x?sinx?2
，则
f
?
(x)?
2
1
xln
?
2
?cos
∵
0?
x?
x
，
?
2
osx1?
，，∴
0?c
又
0?ln
?
?1
，∴
f
?
(x)?0
，即
在区间
(0,]
上单调递增，故方程
log
?
x?sinx?2在区
22
2
?
间
(0,
?
2
]
上有且只有一个实根.
2. 易知数列
?
8?(?)
?
?
1
3
n?1
1
?
?
是首项是
8
，公比是
?
的等比数列，∴
3
?
1
8[1?(?)
n
]
121
n?1
3
?6?6(?
1
)
n
，于是
|S?6?|???3?250
，∵
S
n
?
n
n?1
1
1253125
3
1?(?)
3
3
5<
br>?243?2503
6
?729?250
，故最小整数
n
是7
. ，
a
2
?b
2
3.∵
ab?
，
2<
br>∴
f(x
1
,x
2
,?,x
n
)?sinx
1
cosx
2
?sinx
2
cosx
3
?
??sinx
n
cosx
1
sin
2
x
n
?cos
2
x
1
sin
2
x
1
?cos
2
x
2
sin
2
x
2
?cos<
br>2
x
3
?????
222
(sin
2x
1
?cos
2
x
1
)?(sin
2
x
2
?cos
2
x
2
)?
?
?(sin<
br>2
x
n
?cos
2
x
n
)
?
2
?
n
，
2
n
.
2
10?9?8?7
?210
个交点.
1?2?3?4
故所求函数的最大值等于
4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边
形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的
个数与每两条弦的交点数相等，故有
C
10
?
4
2
n
?2(?1)
n
5.
n<
br>3?2
????????????????
????????????????
ACABABAC
?
?OA?
?
????
，∴
OP?OA?
?
?
(
????
?
????
)
，
6.
∵
OP?
?
???
|AC||AB||AB||AC|
????????????????
????
ABACAB
AC
?
?
????
)
，又
????
，
????
为单位向量
，由向量加法的平行四边形法则，
即
AP?
?
(
???
|A
B||AC||AB|
|AC|
知点
P
的轨迹为
?BAC
的
平分线.
7.由二项式定理知，
2
2010
?4
1005
?(3?1)
1005
?3p?1
，即
2
∴
?
(2
2010
?1)?3
，
?
(2
2010
?2)?1
?
(2
2010
?3)?2
，
故
?
(2
2010
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?(2
2010
?3)?6
.
8. ∵
V
a
?
V
b
?(
22
2010
被3除余1，
?
ba)?
(ab)?ab(a?b)?a
2
b
2
c
2
，
3
399
2
22
?
22
?
2
2222
?2
4
?
2
ab
42
4
?
2
a
4
b
4
(2V
c
)?(2?h(a
?
?b
?
))?()c??
2
，
39c9c
2
?
2
V
a
2
?V
b
2
c
4
(a<
br>2
?b
2
)
2
(2ab)
2
222
∴作商，有，故.
????1
V?V?(2V)
abc
2222222(2V
c
)4ab4ab4ab
二、解答题
1.解：设交点
A
、
B
的坐标为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，由
?
?
y
?ax?1
?
3x?y?1
22
消去
y
，得
(3?a
2
)x
2
?2ax?2?0
，
由韦达定理，得
x
1
?x
2
?
2a
， ①
3?a
2
x
1
x
2
?
?2
， ②
2
3?a
????????
∵以
AB
为直径的圆恰好过坐标
系的原点，∴
OA?OB
，
∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，
即
x
1
x<
br>2
?(ax
1
?1)(ax
2
?1)?0
，整理，得
(a
2
?1)x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?1?0
③
1?a
2
?0
，∴
a??1
， 将①②代入③，并化简得<
br>2
3?a
经检验，
a??1
确实满足题目条件，故存在实数
a
满足题目条件.
2.证明：假设存在这样的函数
f
，则对任意的整数
n
，设
f(n)?a
，
f(n?5)?b
，其中
a,b?
?
1,2,3
?
，由条件知
a?b
.
(?2)?|
，
3|n?(n?2)|?2
，∴
f(n?2)?a
且
f(n?2)?b
，即由于
|(n?5)?n
f(n?2)
是<
br>?
1,2,3
?
除去
a
，
b
后剩下的那个数
，不妨设
f(n?2)?c
又由于
|(n?5)?(n?3)|?2
，
|n?(n?3)|?3
，∴
f(n?3)?f(n?2)
.
n?4)?f(n?3)?(fn2?)
以
n?1
代替
n
，得
f(
因此假设不成立，即不存在这样的函数
f
.
3.证明：先证左边的不等式.
∵
a?b?c?1
，
，但这与
|(n?4)?(n?2)|?2
矛盾！
∴
ab?bc?
ca?(ab?bc?ca)(a?b?c)?a
2
b?ab
2
?b
2
c?bc
2
?a
2
c?ac
2
?3abc
?6abc?3abc?9abc
再证右边的不等式.
不妨设
a?b?c
，注意到条件
a?b?c?1
，得
1?
4(ab?bc?ca)?9abc?(a?b?c)
3
?4(a?b?c)(ab?bc?c
a)?9abc
?a(a?b)(a?c)?b(b?a)(b?c)?c(c?a)(c?b)
?(a?b)[a(a?c)?b(b?c)]?c(c?a)(c?b)?0
，
1
(1?9abc)
，
4
1
综上，
9abc?ab?bc?ca?(1?9abc)
.
4
所以
ab?bc?ca?