高中数学条件-九旬高中数学名师的解题笔记
二O一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
(2012 年6 月24
日上午9:00-11:30)
考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分120
分.
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3、解题书写不要超出装订线.
4、不能使用计算器.
一、填空题( 本题满分56 分,每小题7 分)
1.
空间四点
A
,
B
,
C
,
D
两两间的距离均为
1
,点
P
与点
Q
分别在线段
AB
与
CD
上运动,则
点
P
与点
Q
间的最小距离为____________;
????????????????
?
?
0?OP?OA?1
2.向量
OA??
1,0
?
,OB?
?
1,1
?
,O
为坐标原点,动点
P
?
x,y
?
满足
?
,
则点
????????
?
?
0?OP?OB?2
Q
?
x?y,y
?
构成的图形的面积 为
3. 设有非空
集合
A?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
且当
a?A时,必有
8?a?A
,这样的集合
A
的个数是
________
_____;
?
?
x?
?
x
?
,x?0
4.设
f
?
x
?
?
?
,
其中
?<
br>x
?
表示不超过
x
的最大整数,若
f
?
x<
br>?
?kx?k
?
k?0
?
有三
?
?
f
?
x?1
?
,x?0
个不同的实数根,则实数
k
的取值范围是
5.
11
位数的手机号码,前七位数字是
1390931
,若余下的
4
个数字只能是
1
、
3
、
5
且都至少出
现
1
次, 这样的手机号码有___________个; <
br>6.若
tanx
1
?tanx
2
???tanx
20
12
?1,
则
sinx
1
?sinx
2
???si
nx
2012
的最大值是 ;
7.设函数
f:R?R
,满足
f
?
0
?
?1
且对任意
x,y?R
都有
f
?
xy?1
?
?f
?
x
?
f
?
y
?
?f
?
y
?
?x?2
,则
f
?
x
?
?
;
8.实数
x,y,z
满足
x?y?z?1
,则
xy?yz<
br>的最大值为 ;
222
二、解答题( 本题满分 64
分, 第 9、10 题每题14 分,第11、12 题每题18 分)
9.已知数列
?<
br>a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?1<
br>?n
?
n?N
*
?
,且
a
2
?6<
br>。
a
n?1
?a
n
?1
(1)求数列
?<
br>a
n
?
的通项公式;
(2)设
b
n
?c
n
?
a
n
n?N
*
?
,c
为非零常数,若数列
?
b
n
?
是等差数列,记
?
n
?c
b
n
,S
n
?c
1
?c
2
?
??c
n
,求
S
n.
2
n
10.M是抛
物线
y
2
?2px
?
p?0
?
的准线上任意点,过
M作抛物线的切线
l
1
,l
2
,切点分别为
A、B(A在x轴上方)。
(1)证明:直线AB过定点;
(2)设AB的中点为P,求|MP|的最小值。
11.设
a,b,c
为正实数,且
a?b?c?1
,求证:
bc
?
1
222
?
a
a?b?c??
??
??
?.
?
b?ca?ca?b
?
2
12.
某校数学兴趣小组由
m
位同学组成,学校专门安排
n
位老师作为指导教师. 在该小组的一次
活动
中,每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题,
并且每位指
导教师也向全组提出一个问题,以上所有问题互不相同,这样共提出了
51
个问题.试
求
m
,
n
的值.
()