2019年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案

数学试卷
一、填空题（每小题8分，满分64分）
22
1、已知< br>sin
?
?cos
?
,cos
?
?sin2
?
，则
sin
?
?cos
?
?
_______.
解：0或
.

2
已知两式平方相加，得
sin
?< br>?0
或
cos
2
?
?
3
2
1
.

4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
2
?
?
0或
.

2

632
2、不等式
x?(x?2)?(x?2)?x
的 解集为_________.
解：
(??,?1)?(2,??).

623
原不等式等价于
x?x?(x?2)?(x?2).

3
设
f(x)?x?x
，则
f(x)
在R上单调增. 22
所以，原不等式等价于
f(x)?f(x?2)?x?x?2?x??1或x?2.< br>

3、已知(表示不超过x的最大整数)，设方程
2
1
?2 012x?{x}
的两
2013
个不同实数解为
x
1
,x< br>2
，则
2013?(x
1
?x
2
)?
___ _______.
解：
?2011
.
111
?(0,1)
，所以
2012x?(?1,1)???x?.

2
11
当
??x?0
时，原方程即
?2012x?1?x? 2013
2
x
1
??2012
；
20122013
11
当
0?x?
时，原方程即
?2012x?x?2013
2x
2
?1
.
20122013
由于
{x}?[0,1),

*
4、在平 面直角坐标系中，设点
A(x,y)(x,y?N)
，一只虫子从原点O出发，沿
x< br>轴
正方向或
y
轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A 的不同路线
数目记为
f(x,y)
. 则
f(n,2)?
_______.
解：
1
(n?1)(n?2).

2
111
f(1 ,2)?3??2?3,f(2,2)?6??3?4,f(3,2)?10??4?5.

222
1
(n?1)(n?2)
，可归纳证明.
2
猜测
f(n,2)?

5、将一只小球放入一个长方体容器内，且 与共点的三个面相接触．若小球上一点P到
这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为__ _________.
解：3或11.
分别以三个面两两的交线为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间直角坐标系.
设点P坐标为
(4,5,5)
，小球圆心O坐标为
(r,r,r).

数学试卷
所以，
(r?4)
2
?(r?5)
2
?(r?5)
2
?r?r?3或11.


6、将2013n?1
表示成两个
(n?N
*
)
型分数的乘积的不同方 法数是________.（其中
2012n
ab
与
ba
是同一种表 示方法）
解：24.
设
p,q
是正整数，满足
2013p?1q?12012?2013
???p?2012?.

201 2pqq?2012
2012?2013?2
2
?3?11?61?503
的 正因数的个数为
(1?2)?(1?1)
4
?48
.
注意到
(p,q)(p?q)
与
(q,p)
是相同的表示方法，故所求的方法数为
24
.

7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点 P、Q，则∠PEQ
为锐角的概率为__________.
解：
3?ln4
.

4
设正方形边长为1，
AP?x,BQ?y
.
则
EP?E Q?(EA?AP)?(EB?BQ)?EA?EB?AP?BQ?xy?
从而，
xy?
1
?0.

4
1
. 又
0?x?1,0?y?1
.
4
1
所围成图形的面积与边长为1的 正方形
4
故所求概率为两直线
x?1,y?1
及曲线
xy?
的面积之比，即
?
?1?

?
3
?
4
1< br>?
2
3ln4
:1??.

?
1
4
4x
?
44
?
1
8、已知实系数一元二次方程
ax?bx? c?0
有实根，则使得
2
(a?b)
2
?(b?c)
2< br>?(c?a)
2
?ra
2

成立的正实数
r
的最大值为____________.
解：
r
max
?
9
.

8
2不妨设
a?1
，方程
x?bx?c?0
的两实根为
x
1
,x
2
.
由韦达定理，
b??x
1
?x
2
,c?x
1
x
2
.

?(a?b)
2< br>?(b?c)
2
?(c?a)
2
?(1?b)
2
?( b?c)
2
?(c?1)
2

?(1?x
1
?x< br>2
)
2
?(x
1
?x
2
?x
1x
2
)
2
?(x
1
x
2
?1)
2

2
?2(x
1
2
?x
1
?1)(x
2
?x
2
?1)

13139
?2[(x
1
?)
2
?]?[(x
2
?)
2
?]?.

24248
1
9
从而，
r?
，当
x
1?x
2
??
时等号成立.
2
8

二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）

数学试卷
9、已知数列
{a
n
}
的各项均为正数，
a
1?1,a
2
?3
，且对任意
n?N*
，都有
2
a
n?1
?a
n
a
n?2
?2
．问：是否存在常数
?
，使得
a
n
?a
n?2
?
?
a
n?1
对任意
n?N*
都成立？
2
解：在
an?1
?a
n
a
n?2
?2
中，令
n?1，得
a
3
?7.

若存在常数
?
使得
a
n
?a
n?2
?
?
a
n?1
，则
a
1
?a
3
?
?
a
2
?
??.

2*
2
∵
a
n?1
?a
na
n?2
?2
，∴
a
n
?a
n?1
a
n?1
?2(n?2,n?N)
.
2222
∴
a
n?1
?a
n
?a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?1
?a
n?1
?a
n?1
a
n?1
?a
n
?a
n
a
n?2
.
8
3
由于
a
n
?0
，上式两边同除以
a
n
a< br>n?1
，得
所以，
a
n?1
?a
n?1
a< br>n
?a
n?2
?(n?2).

a
n
an?1
a
n
?a
n?2
a
n?1
?a
n?1
a?a
3
8
???
1
?.

an?1
a
n
a
2
3
8
即存在常数
?< br>?
，使得
a
n
?a
n?2
?
?
a< br>n?1
对任意
n?N*
都成立.
3

x
2
66
10
、已知两点
C(?,0),D(,0)
，设
A，
B
，
M
是椭圆
?y
2
?1
上三点， 满足
4
22
34
OM?OA?OB
，点
N
为线段< br>AB
的中点，求
|NC|?|ND|
的值
.
55
2 2
xx
22
12
解：设
A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)
，则
?y
1
?1,?y
2
?1.

①

44
由
OM?
343434
OA?OB
，得
M(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
555555
34
2
(x?x)
x
2
34
2

② ∵
M
在椭圆
?y
2
?1
上，
5
1
5
2
??(y?y)?1.
12
4
455
综合①②得，x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
，

22
又线段
AB
的中点为
N(
x
1
?x
2
2
)
2
y
1
?y2
2
1
x
1
2
1
x
2
1xx

∴
22
2
?()?(?y
1
)?(?y
2
)?(
12
?y
1
y
2
)
42 444424
(
111

???.
442
x
266
上式表明，点
N
在椭圆
?2y
2
?1
上， 且该椭圆两焦点恰为
C(?,0),D(,0)
两
2
22
点
.
所以，由椭圆定义有
|NC|?|ND|?22.

数学试卷

*
11、已知
m?n(m,n?N)< br>，两个有限正整数集合
A,B
满足：
|A|?|B|?n,|A?B|?m?
（这里用
|X|
表示集合
X
的元素个数）.平面向量集
{u
k
,k?AB}
满足
?
u
i
?
i? A
?
u
j
?1
. 证明：
j?B
k?A?B
?
|u
k
|
2
?
2
.

m?n
证明：不妨设
A?{1,2,
令
a
1
?a
2
?
,n},B?{n?m?1,n?m?2,
?a
2n?m
?1,

,2n?m}.

?a
n?m
?a
n?1
?an?2
?
?a
n
?4.

a
n?m?1
?a
n?m?2
?
由柯西不等式，





2n?m

i
注意到
从而，

?
a
i?1
?2(n?m)?4m?2(n?m).

2< br>2n?m
i?1k?A?B
?
|u
k
|?
?
|u
i
2
|?
2
.

m?n