2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2016
年
6< br>月
5
日上午
8:30??11:00

一、填空题（每小题
7
分，共
56
分）
1
、若< br>y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
，那么
a
的取值范围是 ． 2
、四面体
ABCD
中，
?ABC
是一个正三角形，
A D?BD?2
，
AD?BD
，
AD?CD
，则
D
到面
ABC
的距离为 ．
3
、若对于所有的正数
x,y
，均有
x?y?ax?y
，则实数
a
的最小值是 ．
4
、已知
P
是正方 形
ABCD
内切圆上的一点，记
?APC?
?
,?BPD?
?
，则
tan
2
?
?tan
2
?
?
．
5
、等差数列
2,5,8,,2015
与< br>4,9,14,,2014
的公共项（具有相同数值的项）的个数
是 ．
6
、设
x
为锐角，则函数
y?sinxsin2x
的最 大值是 ．

7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5, 6,7,8,9
分别填写于一张
3?3
方格表的九个格子中，使
得每行三数的 和，每列三数的和皆为质数，你的填法是


8
、把从
1
到
n
(n?1)
这
n
个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数 列中每相邻两
项的和为平方数，则正整数
n
的最小值是 ．


二、解答题（共
64
分）
Y
x
2
y< br>2
9
、（
14
分）如图，
CD
是椭圆
2?
2
?1
的一条直径，
ab
过椭圆长轴的左顶点
A
作
CD
的平行线，交椭圆于
另一点
N
，交椭圆短轴所在直线于
M
，
A
证明：
AM?AN?CO?CD
．















1
N
M
O
D
B
X
C

10
、（
15
分）如图，
D
是
?ABC
的旁心，点
A
关于直线
DC
的对称点为
E
．证明：
(1)
、
B,C,E
三点共线；
(2)
、
A,B,D,E
四点共圆．















A
B
C
E
D
11
、（
15
分）设
x ,y,z
为正数，满足：
xy?yz?zx?1
，证明：
xyz(x?y) (y?z)(x?z)?(1?x
2
)(1?y
2
)(1-z
2)












12
、（
20
分）设集合
A??
1,2,,2016
?
，对于
A
的任一个
1008< br>元子集
X
，若存在
x,y?X
，满足
x?y,xy
， 则称
X
为“好集”，求最大的正整数
a
，（
a?A
），使得 任
一个含
a
的
1008
元子集皆为“好集”．












2

1.答案：
?16?a?16
．
解：由值域
y?R
?
，
?x?ax?65?1
，
?x?ax?64?0

22
???a
2
?4?64?0
，
?
? 16?a?16
.
23
2.答案：．解：如图，据题意得，
AB?AD2
?BD
2
?22
，
3
A
于是
BC ?CA?AB?22
，
CD?AC
2
?AD
2
?2
，
222
因
BC?BD?CD
，得
BD?CD
，从而以< br>D

为顶点的三面角是三直三面角，
C
B
D
14< br>3
2
四面体体积
V?AD?S
?BCD
?
，而
S
?ABC
??AB?23
，
33
4
12323423
若设
D
到面
ABC
的距离为
h
，则
V?h ?S
?ABC
?
由得到
h?
．
h
，
h?
，
33333
3.答案：
2
．
?
y
y
?
x
x
??
??2
， < br>D
解：由
?
?
?
?1
，得
??
?< br>x?y
??
x?y
?
P
x?yx?y
????
当
x?y
时取等号．
O
4.答案：
8
．
A< br>解：如图建立直角坐标系，设圆方程为
x
2
?y
2
?r
2
，
则正方形顶点坐标为
A(?r,?r),B(r,?r),C(r,r),D (?r,r)
，
若点
P
的坐标为
P(rcos
?
,rsin
?
)
，于是直线
PA,PB,PC,PD
的斜率分别为
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?si n
?
k
PA
?,k
PB
??,k
PD
??
，
k
PC
?
，
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
?
k
PC< br>?k
PA
?
22
所以
tan
?
?
? ?
?4(cos
?
?sin
?
)
，
?
1 ?k
PA
k
PC
?
2
22
Y
C
X
B
?
k
PD
?k
PB
?
22
22
tan
?
?
??
?4(cos
?
?sin
?
)
，由此立得
tan
?
?tan
?
?8
．
?
1?k
PB
k
PD
?
解2：取特例，
P
在坐标轴上，则
?
?
?
，
2
2222
这时，
tan
?
?cot
?
??2?tan
?
，
?tan
?
?tan
?
?2?2?8

1
5.答案：
134
．
解：将两个数列中的各项都加
1< br>，则问题等价于求等差数列
3,6,9,,2016
与等差数列
5,10,15 ,,2015
的公共项个数；前者是
M?
?
1,2,3,,2016
?
中的全体能被
3
整除的数，
后者是
M
中的全体能被
5
整除的数，故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数，这种数有
2
?
2016
?
?134
个．
??
15
??
3

43
．
9< br>解：由
y?2sin
2
xcosx
，得
y
2
?4sin
4
xcos
2
x?2(1?cos
2
x)(1? cos
2
x)?2cos
2
x

6.答案：
?(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos
2
x
?
1
?
2
?
16
?2
?
?2 ?
，
?
??
?
3
?
3
?
27< br>??
2
所以
y?
3
3
7
6
4
9
3
5
1
43
2
．当
cosx?
时取得 等号．
3
9
8
7.如右图
8.答案：
15
．
例如，排出的一个数列为
(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．
解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作．
记这
n
个连续正整数的集合为
M?
?
1,2,,n
?
，由于n?1
，
则
M
中必有
2
，而
2?7?9，所以
n?7
，当
n?7
时，从
1
到
7
这
7
个数可以搭配成满
足条件的三个数段：
(1,3,6),(2,7) ,(4,5)
，但它们不能连接成一个
7
项的数列，故应增加后续的数，增加
8
可
使得第一段扩充成
(8,1,3,6)
，增加
9
可使得 第二段扩充成
(2,7,9)
，但新的三段也不能连
接，还需增加新数，即
n ?10
，而之前的数若与
8,9,10
邻接，只有
8?1?9,9?7?16 ,
10?6?16
，这三段扩充为
(8,1,3,6,10)
，
( 2,7,9)
，
(4,5)
，仍旧不能连接，应当借助新的平方数
25
，从
1
到
10
这
10
个数能搭配成和为
25的最小数是
15
，则
n?15
，而当
M?
?
1 ,2,
的情形：
,15
?
时，可排出上面
(8,1,15,10, 6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．
9.证1：椭圆方程为
x?acos
?
,y?bsin
?
，
点
A,N
的坐标为
A(?a,0),N(acos
?
,bs in
?
)
，则直线
AN
方程为
?
x??a?tco s
?
， ……
3'

?
?
y?tsin
?
222222
代入椭圆方程得到
(bcos
?
?asin
?
)t?2abtcos
?
?0
，
a
?
2ab< br>2
cos
?
AM?(
?
?)
，……
6'
AN?t?
2
，
222
cos
?
2bcos
?
?asin
?
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
2
，……
9'

222
bcos
?
?asin
?
又据
AN
∥
CD
，则点< br>C,D
坐标为：
C(?ODcos
?
,?ODsin
?
)
，
D(ODcos
?
,ODsin
?
)
，……
12'

a
2
b
2
因为
C,D
在 椭圆上，则
CO?
2
，而，
bcos
2
?
?a2
sin
2
?
2
4

2a
2
b
2
CO?CD?2CO?
2
，因此
AM?AN?CO?C D
．……
14'

222
bcos
?
?asin
?
2
证2：
易知
CD
的斜率
k
存在，不妨令
CD:y?kx
，与椭圆 方程联系，
?
abkab
C,
解得
?
?
b
2
?a
2
k
2
b
2
?a
2
k< br>2
?
???
abkab
、D,
??
2
? ……
3'

22222
b?ak
???
b?ak?CO?
?
1?k
?
ab
2
222
22
b?akb?ak
AN
方程为：
y?k
?
x?a
?,?M
?
0,ka
?
.
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2
b
2
222
,
?CO?CD?
2
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
…
6'

2222322222
将
AN
方程与椭圆方程联立，得
b?akx?2akx?ka?ab?0
??
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?x
A
?x
N
??
2
, ?x
N
?
2
……
9'

2 222
b?akb?ak
2kab
2
y
N
?
2,?AM?a1?k
2
……
12'
22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2< br>?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a
?
??
2，
2
2222
222
b?ak
?
b?ak
?
?
b?ak
?
2
b?ak
10.证：1、延长
DC
到
M
，延长
AC
到
N
,连
CE
，
D
为旁心，
?CD
平分
?BCN
…
2'

又
A、E
关于
DC
对称，
?CM
平分
?A CE??DCN??ACM
,
??BCD??MCE

??BCN??ACE
,
?B
、
C
、
E
三点共线。……
5'
2、过
C
作
CIAE
交
AD
于
I< br>，则
IC?DC
……
7'

?I
为
AB C
内心。连
BI
,则
BI
平分
?ABC
,……10'

?
?IBD?90
?
,
?B
、
D
、
C
、
I
四点共圆，……
12'

??CBD??CID??EAD
,
?A
、
B
、
D
、
E
四点共圆。……
15'

11.证：据条件，即要证
xyz(x+y+z-xyz)?(1?x
2
)(1?y
2
)(1- z
2
)
①
222222222
也即
xyz(x+ y+z)?1-(x?y?z)?(xy?yz?xz)
② ……
3'
< br>2222222
将此式各项齐次化，因为
1?(xy?yz?xz)?xy?yz?xz ?2xyz(x?y?z)

6'

x
2
?y
2< br>?z
2
?(x
2
?y
2
?z
2
)( xy?yz?xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②，
只要证
xyz(x?y?z)?

2(x
2
y
2< br>?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?x3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x ?y?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?0
……
12'

222
也即
xy(x?y)?yz(y?z)?xz(x?z)?0
。
5
?AM?AN?
2a
2
b
2
?
1? k
2
?
222
?CO?CD
…
14'

此为显然，故命题得证．…
15'

证2：由题设得：
y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
?
?1?yz,z
?
x?y
?
?1?xy
，
三式相乘，故原不等式等价于证明：
?
1?zx
??
1?yz
??
1?xy
?
?
?
1?x
2
? ?
1?y
2
??
1?z
2
?
……
3'
上式两边展开并化简得：
x
2
?y
2
?z
2
?
?
xy?yz?zx
?
?
x
2
y2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z?xyz
2
? ……
6'

配方得：
?
x?y
?
?< br>?
y?z
?
?
?
z?x
?
?
?xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?
?
yz?zx
?

222222
?x
2
?
y?z?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'

即
1?z
222
?
2
?
?
x?y
?
?
?
1 ?x
?
?
y?z
?
?
?
1?y
?
?
z?x
?
2
2
2
2
2
?0
?< br>?
?
……
12'

0?x,y,z?1,?1?x
2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0,
?
?
?
?
显然成立. ……
15'

12.解：因任何正整数n
可以表为
n?2t
形式，其中
?
?N
，
t< br>为正奇数，于是集合
A
可
划分为以下
1008
个子集： ?
A
j
?mm?2
?
(2j?1),
?
?N, 1?m?2016
，
j?1,2,
??
,1008
……
4'

对于集合
A
的任一个
1008
元子集
X
，只要集
X
中含有某一个
A
j
中的至少两个元素
x,y,( x?y)
，因
x?2
k
1
(2j?1),y?2
k
2
(2j?1)
，
k
1
?k
2
，则
xy< br>；此时
X
为好集；
以下证明正整数
a
的最大值为
671
： ……
8'

若
a?671
时，对于
A
的任一个1008
元子集
X
，如果
X
中含有某个
A
j< br>中的至少两个元
素，则
X
便是好集；如果
A
j
中的< br>1008
个集合，每个集合中恰有一个元素在
X
中，那
么
A< br>1007
也有一个元素在
X
中，但
A
于是
2013? X
，而
a2013
，
?
为单元素集，
1007
?< br>?
2013
??
(2013?671?3?3a)
，这说明
X
仍是好集，因此
a?671
合于要求． ……
12'

下面 说明当
a?672
时，存在含
a
的集
X
不是好集；分两种情 况：
(1)
、若
a?1009
，取
1008
元集
X
0
?
?
1009,1010,,2016
?
，则
a?X
0
，
因
X
0
中任两个不同元素
x?y，均有
x
?
y
，故
X
0
不为好集，这种
a
不合要求．……
15'

(2)
、若
672?a?10 08
，记
X
1
?
?
672?jj?0,1,
X2
?X
0

?
2(672?j)j?0,1,,336
?
，令
X?X
1
,336
?
，
X
2
，则
X?1008
，且
a?X
1
，
若
X
中存在
x?y,xy
，因
x?672
，
y?2016
，则
y?3x
；
若
x?672
，如果xy,x?y
，只有
y?2x
或者
y?3x
，此时
y< br>的取值只能是：
y?2?672?1344
，
1344?2(672?0),2 016?2(672?336)
，或者
y?3?672?2016
；
这说明， 这两个数已被挖去，不在集合
X
中； ……
18'

若
x?672
，假若
xy
，只有y?2x
，这种数
y
也已悉数被挖去，即
y?X
，因此
X
不是好集，这种
a
也不合要求．
综上所述，
a
的最大值为
671
． ……
20'

6