6.边角互换

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高考数学母题
[母题]Ⅰ(13-06):边角互换(301)
755

边角互换

[母题]Ⅰ(13-06):
(2014年课标Ⅰ高考试题)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2, 且(2+
b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为 .
[解析]:
由(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC
?
(a+b)(a-b)=(c-b)c
?
b
2
+c
2
-a
2
=bc
?
cosA=
≤4
?
S
△ABC
≤
3
.
1
3
22
,b+c-bc=4
?
sinA=,bc
2
2
[点评]:
边角互换的基本类型:①边或角的 正弦三角函数的齐次关系式(分式或等式),利用正弦定理可进行相互转换;②
两边平方和与第三边平方 的差与这两边及其夹角的余弦值的积利用余弦定理可进行相互转换;③把正切与余切三角函数
化成正弦与 余弦后,利用正、余定理进行转换.

[子题](1):
(2012年天津高考 试题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC= .
[解析]:
由C=2B
?
sinC=sin2B
?
si nC=2sinBcosB
?
c=2bcosB
?
cosB=
45
?
cosC=cos2B=2cosB-1=
2
7
.
25
注:化角为边是边角互换的常见手法,其中,倍、半角三角函数转化为整角三角函数后利用正、余定理进行转换.

[子题](2):
(2011年浙江高考试题)在△ABC中,角A,B,C, 所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+
cosB=( ) (A)-
2
11
(B) (C)-1 (D)1
22
[解析]:
由acosA=bsinB
?
sinAcosA=sin
2B
?
sinAcosA+cos
2
B=sin
2
B+c os
2
B=1.故选(D).
注:化边为角是边角互换的另一手法,其后的关键是利用三角形内角和及三角公式进行恒等变换.

[子题](3):
(2010年江苏高考试题)在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为 a、b、c,
tanCtanC
ba
?
?
=6cosC,则= .
tanAtanB
ab
[解析]:
由
tanCtanCsinCco sA
ba3
2
11
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
2222
?
?
=6cosC
?
=6=(+
?
a+b=c
?
abcosC =(a+b)=c
?
tanAtanBcosCsinA
ab264
ab2ab
cosBsinCsinBcosA?cosBsinAsinCsin(A?B)
sin
2
Cc
2
)=====4.
sinBcosCsinAsi nBcosCsinAsinB
sinAsinBcosCabcosC
注:对正切与余 切三角函数,首先化成正弦与余弦,然后进行三角恒等变换,化成最简形式后利用正、余定理进行转换.

[子题系列]:
1.(2014年江西高考试题)在△ABC中,内角A,B ,C所对应的边分别为a,b,c,若3a=5b,则
2sin
2
B?sin
2
A
sin
2
A
的值为 .
2.(2011年重庆高考试题)若△ABC 的内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB= .
3.(2 014年天津高考试题)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知b-c=
为 .
4.(2013年安徽高考试题)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b +c=2a,3sinA=5sinB,则角C= .
22
5.(2010年天津高考 试题)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a-b=
3
bc,sinC =2
3
sinB,则A=( )
1
a,2sinB=3sinC,则cosA的值
4
(A)30 (B)60 (C)120 (D)150
6.(2014年江苏高考试题)若△ABC的内角满足sinA+
2
sinB=2sinC,则cosC的最小值是 .
7.(2008年四川高考试 题)△ABC的三个角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=
5
b,A=2B,则c osB= .
2
0000
8.(2013年湖南高考试题)在锐角中△AB C,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=
3
b,则角A等于 .
9.(2011年辽宁高考试,2013年全国高中数学联赛陕西预赛试题)△ABC的三个内角A 、B、C所对的边分别为a,b,c,

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[母题]Ⅰ(13-06):边角互换(301)
2
asinAsinB+bcosA=
2
a,则
b
=( ) (A)2
3
(B)2
2
(C)
3
(D)
2

a< br>10.(2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,角A,B,C的对边长a,b,c满 足a+c=2b,且C=2A则sinA= .
11.(2010年“华约”自主招生试题)在 △ABC中,三边长a,b,c满足a+c=3b,则tan
22
AC
tan的值为 .
22
2
12.(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC中,记BC=a, CA=b,AB=c,若9a+9b?19c=0,则
222
cotC
=______ _.
cotA?cotB
13.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中 ,如果a+b=6c,则(cotA+cotB)tanC的值等于 .
14.(200 4年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a、b、c.若a+b=t c,且cotC=
2004(cotA+cotB),则常数t=_____.
15.(2 008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCt anB,则
16.(2009年湖南高考试题)在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则

[子题详解]:
1.解:由
2sin
2
B?sin
2A
sinA
2
222
a
2
?b
2
c< br>2
= .
AC
的值等于 ,AC的取值范围为 .
cosA
=-
711
. 2.解:由6sinA=4sinB= 3sinC
?
6a=4b=3c
?
cosB=. 3.解:由2sinB=3sinC
2516
?
2b=3c,又由b-c=
1311
b
2
?c
2
?a
2
a
?
b=a,c=a
?
cosA==-. 4.解:由3sinA=5sinB
?
3a=5b,设a=5k(k>0),则b=
4424
2bc
2
?
1
3
222
. 5 .解:由sinC=2
3
sinB
?
c=2
3
b
?
a-b=6b
?
a=
7
b
?
cosA=.故
?
C=
3
2
2
3k,由b+c=2a
?
c=7k ;由cosC=-
选(A). 6.解:由sinA+
2
sinB=2sinC?
a+
2
b=c
?
cosC=
a
2
? b
2
?c
2
3a
2
?2b
2
?22ab2 6ab?22ab
=≥=
2ab8ab8ab
6?2
.
4
7.解:由A=2B
?
sinA=sin2B
?
sinA=2sinBcos B
?
a=2bcosB
?
cosB=
?
sinA=
5
. 8.解:由2asinB=
3
b
?
2sinAsinB=< br>3
sinB
4
?
3
222
?
A=. 9 .解:由asinAsinB+bcosA=
2
a
?
sinAsinB+si nBcosA=
2
sinA
?
sinB=
2
sinA
?
b=
2
a.
3
2
2
故选(D). 10.解: 由a+c=2b
?
sinA+sinC=2sinB
?
sinA+sin2A =2sin3A
?
1+2cosA=2(3-4sinA)
?
cosA=11.解:由a+c=3b
?
sinA+sinC=3sinB
?
2si n
?
cos
3
7
.
?
sinA=
44
A?CA?CA?C
BBB
A?CA?C
cos=6sincos?
cos=3sin
?
cos=3cos
222
222
22
ACACACcotCcosCsinAsinB
1
sinAsinB
?
cos=2sinsin==cosC=
?
tantan=.12.解:由
222222cotA?cotBsinCsinAcosB?cosAsinB
2
sin< br>2
C
sin(A?B)sinC
2
aba
2
?b2
?c
2
5
c
2
2ab
sin
2C1
?
?
??
=. 13.解:由(cotA+cotB)tanC====.
sinAsinBcosC
sin AsinBcosC
ab
a
2
?b
2
?c
2
59
2ab
c
2
14.解:由cotC=2004(cotA+cotB)
?
cosCsin(A?B)
sin
2
Ca
2
?b
2
?c
2
c
2
=2004=2004
?
c osC=2004
??
t=4009.
sinCsinAsinB
sinA sinB2ab
ab
sinAsinB
sinC
sin(A?B)
a
2
?b
2
sin
2
C
a
2
?b< br>2
?c
2
c
2
15.解:由tanAtanB=tanAta nC+tanCtanB
?
===3.
?
cosC=
??
cosAcosB
cosC
cosAcosB
sinAsinB
ab
2ab
c
2
16.解:由B=2A
?
sinB=2sinAcosA
?
b=2acosA
?
?
)
?
AC=b=2cos A∈(
2
,
3
).
4
ACb
?
??==2a=2;由B=2A∈(0,),C=π-3A∈(0,)
?
A∈(,
cosAcosA226