2012-2014高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案(word版本)

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当x?[?3,3]
时，函数
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值 为____________.
?12,AC?BA??4,
则
AC?
____________. 2、在
?ABC
中，已知
AC?BC
3、从集合
?
3,4,5,6 ,7,8
?
中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
2
____________.
4、已知
a
是实数，方程
x
，则?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b
（
i
是虚部单位 ）
|a?bi|
的值为____________.
x
2
y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
C:
??1
的 右焦点为
F
，一条过原点
O
且
124
倾斜角为锐角的直线< br>l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?FAB
的面积为
8
率为____________.
6、已知
a
是正实数 ，
k
3
，则直线的斜
?a
lga
的取值范围是______ ______.
7、在四面体
ABCD
中，
AB?
体积为____ ________.
8、已知等差数
AC?AD?DB?5
,
BC?3,
CD?4
该四面体的
列
?
a
n
?
和 等比数
则
列
?
b
n
?
满足：
a
1
?b
1
?3,a
2
?b
2
?7,
a
3
?b
3
?15,a
4
?b
4
?35,
（
n?N
）
*
a
n
?b
n
?
_ ___________.
71，75
这
7
个数排成一列，使任意连续
4
个数的和为
3
的倍数，9、将
27,37,47,48,55，
则这样的排列有____________种.
10、三角形的周长为
31
，三边< br>a,b,c
均为整数，且
a?b?c
，则满足条件的三元数组
(a,b ,c)
的个数为____________.
二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在
?ABC
中，角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
，证明：
（1）
bcosC?ccosB?a

C
cos A?cosB
2sin
2
（2）
?
a?bc
2

1 2、已知
a,b
为实数，
a?2
,函数
f(x)?|lxn?
a
x
f(1)?e?1,f(2)?
e
2
?ln2?1
.
（1）求实数
a,b
； （2）求函数
f(x)
的单调区间；
（3）若实数
c,d
满足c?d,cd?1
，求证：
f(c)?f(d)


















?|bx?(
.若
0)

13、如图，半径为1
的圆
O
上有一定点
M
,
A
为圆
O< br>上的动
点.在射线
OM
上有一动点
B
,
AB?1,O B?1
.线段
AB
交圆
O
于另一点
C
，
D
为线段的
OB
中点.求线段
CD
长的
取值范围.

14、设 是
a,b,c,d
正整数，
a,b
是方程
x
长是整数且面积 为
ab
的直角三角形.








































2
?(d?c)x?cd?0
的两个根.证明：存在边

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题（70分）
1、当
x?[?3,3]
时，函数
f(x)?|x
3
?3x|
的最 大值为__18___.
?12,AC?BA??4,
则
AC?
___4____. 2、在
?ABC
中，已知
AC?BC
3、从集合
?
3,4,5,6,7,8
?
中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
_______.
10
2
4、已知
a
是实数，方程x
，则
?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b
（
i
是虚部单位）
|a?bi|
的值为_____
22
___. < br>x
2
y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线< br>C:
??1
的右焦点为
F
，一条过原点
O
且
124
倾斜角为锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?FAB
的面积为
83
，则直线的斜
率为___
1
____.
2
?a
lga
的取值范围是___
[1,? ?)
_____. 6、已知
a
是正实数，
k
7、在四面体
ABCD
中，
AB?
体积为_____
5
8、已知
AC?A D?DB?5
,
BC?3
,
CD?4
该四面体的
3
_______.
等差数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足：
a
1
?b
1
?3 ,a
2
?b
2
?7,
a
3
?b
3
?15,a
4
?b
4
?35,
则
a
n
?b
n
?
___
3
n?1
?2n
___.
（< br>n?N
）
*
71，75
这
7
个数排成一列，使任意 连续
4
个数的和为
3
的倍数，9、将
27,37,47,48,55 ，
则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为
31
，三边
a,b,c
均为整数，且
a?b?c
，则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个数为__24___.

二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在
?ABC
中，角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
，证明：
（1）
bcosC?ccosB?a

（2）
cosA?cosB< br>?
a?b
2sin
2
c
C
2



12、已知
a,b
为实数，
a?2
,函数
af(x)?|lxn?
x
?|bx?(
.若
0)
f(1)?e? 1,f(2)?
（1）求实数
a,b
；
（2）求函数
e
?ln2?1
.
2
f(x)
的单调区间；
（3）若实数
c,d
满足
c?d,cd?1
，求证：
f(c)?f(d)

13、如图，半径为
1
的圆
O
上有 一定点
M
,
A
为圆
O
上的动点.在射线
OM
上有一动点
B
,
AB?1,OB?1
.线段
AB
交圆O
于另一点
C
，
D
为线段的
OB
中点.求线段
CD
长
的取值范围.

< br>14、设是
a,b,c,d
正整数，
a,b
是方程
x
长是整数且面积为
ab
的直角三角形.

2
?(d?c)x?cd?0
的两个根.证明：存在边

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程
x
2
?2mx?m
2
?1?0
的根大于
?2
，且小于
4
，则实数
m
的范围是
(-1,3) ．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为
17
．
33< br>3．设实数
x
，
y
满足
x
2
?4x?y?3 ?0
，则
x
2
?y
2
的最大值与最小值之差是 。
（似乎出错）
4．若存在正实数
a
，
b
满足
(a?bi)
n
?(a?bi)
n
（
i
是虚数单位，
n?N
*
），则
n
的
最小值是 3 ．
5．若三 角形
ABC
的三边
AB
，
BC
，
AC
成等 差数列，则
?A
的取值范围是
0??A?
?
3
．
6．若数列
?
a
n
?
满足
a
4
?9，
(a
n?1
?a
n
?1)(a
n?1
?3a
n
)?0
（
n?N
*
），则满足条件的
a
1
的所有可能值之积是 0 ．
7．已知
f(x)?x?94x?2013< br>，则
?
?
f(n)?f(n)
?
?
364 ． < br>2
60
n?30
1
8．设
x
，
y?
?
0,2
?
?
，且满足
2sinxcosy?sinx?cosy? ?
，则
x?y
的最大值为
2
23
?
．
6
9．已知正四面体
ABCD
的棱长为9，点
P
是面
ABC< br>上的一个动点，满足
P
到面
DAB
、
DBC
、
DCA
的距离成等差数列，则
P
到面
DCA
距离的最大值
是 ．（未学）
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一 个四位数，这个四位
数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个
四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 12 ．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
(x?k)
2
x
2
2
?y?1
与椭圆
E
2
:?y
2
?1
交于点11．设
k
为实数，
0?k?6
，椭圆
E1
:
9
9
，若四边形
ABCD
是正
A
和
C
，
E
1
的左顶点为
B
，
E
2
的右顶点为
D
（如图）
方形，求实数
k
．

解：BD=6-k=AC
36?k
2
又AC=
3
得k=
4.8


12．如图，梯形
ABCD< br>中，
B
、
D
关于对角线
AC
对称的点分别是
B'
、
D'
，
A
、
证明：四边形
A'B'C'D'
是梯形．
C
关于对角线
BD
对称的点分别是
A'
、
C'
．

连A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B’,O,D’共线（角度），由比例线段证毕。






1
13．设实数
a
，
b
满足
0?a?? b?1
．证明：
2(b?a)?cos
?
a?cos
?
b< br>．
2
解： 记f(x)=
cos
?
x?2x

则f’(x)=
?
?
sin
?
x?2

2
arcsin
?
?0.2196
令f’(x)=0 ，则x=
?
所以 x<0.2196时 f’(x)>0 , x>0.2196时 f’(x)<0
所以f(a)≥min{f(0),f(1)}=1
f(b)≤f(0.5)=1
所以f(b)≤f(a) ，证毕。
14．正100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，
恰为某等腰梯形的顶点．
根据抽屉原理，必定存在34个点同色。该34个点连成34*332=561条线段。
考虑 这561条线段的垂直平分线，显然它们都是正100边形的对称轴。正100
边形的对称轴有200条 ，所以必定存在3条线段它们的垂直平分线重合。
所以这3条线段两两平行，其中必有两条不等长，于是构成等腰梯形四个顶点且
同色，证毕。

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）
1．若
x≥2
，则函数
f(x)?x?
1
的最小值是 ．
x?1


2．已知函数
f(x)?e
x
．若
f(a?b)?2
，则
f(3a)?f(3b)
的值是 ．


2
S
n
为前
n
项和，3．已知数 列
?
a
n
?
是各项均不为0的等差数列，公差为
d
，且满足
a
n
?S
2n?1
，
n?N
*
， 则数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?
．


2
?
?
2x?3x, x≥0,
4．若 函数
f(x)?
?
是奇函数，则实数
a
的值是 ．
2
?
?
?2x?ax,x?0


5．已知函 数
f(x)?lg|x?
10
2
若关于
x
的方程
f (x)?5f(x)?6?0
的实根之和为
m
，
|
．
3则
f(m)
的值是 ．


6．设< br>?
、
?
都是锐角，且
cos
?
?


7．四面体
ABCD
中，
AB?3
，
CD?5
，异 面直线
AB
和
CD
之间的距离为4，夹角为
60
，
则四面体
ABCD
的体积为 ．


8．若满足
?ABC?
是 ．


9 ．设集合
S?
?
1,2,
o
5
3
，
sin (
?
?
?
)?
，则
cos
?
等于 ．
5
5
?
3
，
AC?3
，
BC?m的
△ABC
恰有一解，则实数
m
的取值范围
,8
?，
A
，
B
是
S
的两个非空子集，且
A
中的最大数小于
B
中的最小
数，则这样的集合对
(A,B)
的个数是 ．


22
10．如果正整数
m
可以表示为
x?4y
(
x
，
y?Z
)，那么称
m
为“好数”．问1，2，3，…，
2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知
a
，
b
，
c
为正实数，
a?b?c
，


xyz
111
???0
，求
abc
的值．
xyz
x
2
y
2
12．已知
F
1
，
F< br>2
分别是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右焦点，点
B
的坐标为
ab
(0,b)
，直线
F
1
B
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P
，Q
两点，线段
PQ
的垂直平分
1
线与
x
轴交于 点
M
．若
MF
2
?F
1
F
2
，求 双曲线C的离心率．
2



13．如图，已知
?ABC
是锐角三角形，以
AB
为直径的圆交边
AC
于点
D
，交边
AB
上的
高
CH
于点
E
．以
AC< br>为直径的半圆交
BD
的延长线于点
G
．求证：
AG?AE．



14．（1）正六边形被
3
条互不交叉（端 点可以重合）的对角线分割成
4
个三角形．将每个三
角形区域涂上红、蓝两种颜色之一 ，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并
涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最 大？
（2）凸
2016
边形被
2013
条互不交叉（端点可以重合 ）的对角线分割成
2014
个三角
形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使 得有公共边的三角形涂的颜色不
同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数 之差的最大值
是多少？证明你的结论．