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1集合-1981-2018年历年数学联赛真题分类汇编Word版含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:37
tags:2013全国高中数学联赛

高中数学解决问题-高中数学圆与方程的重点难点

2020年9月19日发(作者:裴耀卿)


1981年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编
1、集合部分
1,2,3,?,99
?
,2018A1、设集合
A?
?
集合
B?
?
2x|x?A
?
,集合
C?
?
x|2x? A
?
,则集合
B?C

元素个数为
◆答案:
24

★解析:由条件知,
B?C?
?
2 ,4,6,?,48
?
,故
B?C
的元素个数为
24


2018B1、设集合
A?
?
2,0,1,8
?
,集合
B?
?
2a|a?A
?
,则集合
A?B
的所 有元素之和是
◆答案:
31

★解析:易知
B?
?
4,0,2,16
?
,所以
A?B?
?0,1,2,4,8,16
?
,元素之和为
31
.
1,2,? ,n
?

X,Y
均为
A
的非空子集(允许
X?Y< br>)2018B三、(本题满分50分)设集合
A?
?

X
中的 最大元与
Y
中的最小元分别记为
maxX,minY
.求满足
max X?minY
的有序集合对
(X,Y)
的数目。

★解析:先计算 满足
maxX?minY
的有序集合对
(X,Y)
的数目.对给定的
m?maxX
,集合
X

1,2,?,m?1
?
的任意一个 子集与
?
m
?
的并,故共有
2
集合
?
m? 1
种取法.又
m?minY
,故
Y

?
m,m?1 ,m?2,?,n
?
的任意一个非空子集,共有
2
n?1?m
?1< br>种取法.
因此,满足
maxX?minY
的有序集合对
(X,Y)
的数目是:
?
?
2
?
2
m?1
m?1
n
n? 1?m
?1?
?
2?
?
2
m?1
?
?n?1
?
?2
n
?1

n
m?1m?1
?
?
nn
由于有序集合对
(X,Y)

2
n?12
n
?1?2
n
?1
个,于是满足
maxX?mi nY
的有序集合对
??????
2
(X,Y)
的数目是
2< br>n
?1?n?2
n
?2
n
?1?4
n
?2< br>n
?
n?1
?

??
2

2017B二、(本题满分40分)给定正整数
m
,证明:存在正整数
k
,使得可将正整数集
N

?


拆为
k
个互不相交的子集
A
1
,A
2
,< br>?
,A
k
,每个子集
A
i
中均不存在
4个数
a,b,c,d
(可以相同),满

ab?cd?m
. < br>★证明:取
k?m?1
,令
A
i
?{xx?i(modm?1 ),x?N
?
}

i?1,2,

a,b,c,d?Ai
,则
ab?cd?i?i?i?i?0(modm?1)


m?1ab?cd
,而
m?1m
,所以在
A
i
中不存在4 个数
a,b,c,d
,满足
ab?cd?m

,m?1



1,2,3,4,5
?

b
1
,b
2
,
?
,
b
20
?
?
1, 2,3,
?
,10
?
,集合
2017B四、(本题满分50分)。设
a
1
,a
2
,?,a
20
?
?
X ?
?
(i,j)|1?i?j?20,(a
i
?a
j
)(b
i
?b
j
)?0
?
,求
X
的元素个数的最 大值。
★解析:考虑一组满足条件的正整数
(a
1
,a
2
,

k?1,2,
,a
20
,b
1
,b
2
,,b
20
)

,5
,设
a
1
, ,a
20
中取值为
k
的数有
t
k
个,根据
X
的定义,当
a
i
?a
j
时,
(i,j)?X
因此至少有
?
C
k?1
5
2
t
k< br>个
(i,j)
不在
X
中,注意到
?
t
k?1
5
k
?20
,则柯西不等式,我们有
555
111
5
120
22
C??(t?t)??((t)?t)??20?(?1)?30

?????
kkkk
2
k?1
25
k?1
25
k?1k?1k?1
2
t
k
2
从而
X
的元 素个数不超过
C
20
?30?190?30?160

5
另 一方面,取
a
4k?3
?a
4k?2
?a
4k?1
?a
4k
?k

k?1,2,

b
i
?6 ?a
i

i?1,2,,5
),
,20

2则对任意
i,j

1?i?j?20
),有
(a
i?a
j
)(b
i
?b
j
)?(a
i
? a
j
)((6?a
i
)?(6?a
j
))??(a
i
?a
j
)?0

22
等号成立当且仅当
a
i
?a
j
,这恰好发生
5C
4
?30
次,此时< br>X
的元素个数达到
C
20
?30?160

综上所述,
X
的元素个数的最大值为160.

2016B四、( 本题满分50分)设
A
是任意一个
11
元实数集合.令集合
B??
uv|u,v?A,u?v
?

B

元素个数的最小 值.
★解析:记
A?
?
a
1
,a
2
,? ,a
11
?
,不妨设
a
1
?a
2
???a
11


①若
a
i
?0
?
1 ?i?11
?
恒成立;由于
a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
2
a
4
???a
2
a
11
?a
3
a
11
???a
10
a
11

这里显然可以发现有18个数在B中,即
B?18

②若
a
1
?a
2
?
?
?a
k
?0?a
k?1
?a
k?1
?
?
?a
11
,其中< br>k?5
时,由于
a
k
a
k?1
?a
ka
k?2
?
?
?a
k
a
11
?ak?1
a
11
?a
k?2
a
11
?
?
?a
2
a
11
?a
1
a
11
有1 0个非负数;

a
k?2
a
k?3
?a
k?2< br>a
k?4
?
?
?a
k?2
a
11
? a
k?3
a
11
?a
k?4
a
11
??
?a
10
a
11

17?2k
个正数, < br>故此时,
B?10?17?2k?27?2k?17
,当
k?5
时,< br>B
min
?17
,如
A?0,?1,?2,?2
2
,?2
3
,?2
4

B?0,?1,?2,?2
2
,?2
3
,?2
4
,?2
5
,?2
6
,? 2
7
,?2
8
满足;
③若
a
1
?a2
?
?
?a
k
?0?a
k?1
?a
k ?1
?
?
?a
11
,其中
k?6
时,由于
a
k
a
k?1
?a
k
a
k?2
?
?
?a
k
a
11
?a
k?1
a
11?a
k?2
a
11
?
?
?a
2
a11
?a
1
a
11
有10个非负数;

a< br>1
?a
2
???a
6
?0
,则
a
5
a
6
?a
5
a
4
?a
5
a
3
?a
5
a
2
?a
5
a
1
?a
4
a
1
?a
3
a
1
?a
2
a
1
有8个正数,
故此时,
B?10?8?18

④若
a
i
?0
?
1?i?11
?
恒成立;同①显然可以 发现有18个数在B中,即
B?18

综上。B的元素个数的最小值为17.


2015AB10、(本题满分20分)设
a
1
,a< br>2
,a
3
,a
4

4
个有理数,使得
????
?
aa
ij
31
??
|1?i?j?4
?
?
?
?24,?2,?,?,1,3
?
,求
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
的值。
28
??
中最小的
★解析:由条件可知,
a
i
a
j
( 1?i?j?4)
是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,
1?i?j4?)
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的绝对 值互不相等,不妨设
|a
1
|?|a
2
|?|a
3
|?|a
4
|
,则
|a
i
|a
j
|(而必须有
与次小的两个数分别是
|a
1
||a
2
|< br>及
|a
1
||a
3
|
,最大与次大的两个数分别是< br>|a
3
||a
4
|

|a
2
||a
4
|
,从
1
?
aa??,
?
12
8
?
?
aa?1,
10 分
?
13
?
a
2
a
4
?3,
?
?
?
a
3a
4
??24,
113
,a
3
?,a
4
???24a
1
. 于是
a
2
??
8a
1
a
1
a
2
13
2

{a
2
a< br>3
,a
1
a
4
}?{?
2
,?24a
1
}?{?2,?}
,15分
8a
1
2
1
结合
a
1
?Q
,只可能
a
1
??

4
1111
由此易知,
a
1
?,a
2
??,a3
?4,a
4
??6
或者
a
1
??,a
2
?,a
3
??4,a
4
?6

4242
检验知这两组解均满足问题的条件.



a
1
?a
2
?a
3
?a
4
??

9
. 20 分
4
2015A二、(本题满分40分)设
S
?
?
A
1
,A
2
,
?
,A
n< br>?
,其中
A
1
,A
2
,
?
,An

n
个互不相同的有限集
ni
合(
n?2
) ,满足对任意的
A
i
,A
j
?S
,均有
A
i
?A
j
?S
,若
k?m
使得
x
属于A
1
,A
2
,
?
,A
n
中至少
1?i?n
A
i
?2
.证明:存在
x?
?
Ai

i?1
n
n
个集合(这里
X
表示有限集合
X
的元素个数)。
k
★证明:不妨设
|A
1
|? k
.设在
A
1
,A
2
,,A
n
中与
A
1
不相交的集合有
s
个,重新记为
B
1
,B< br>2
,,B
s

设包含
A
1
的集合有
t
个,重新记为
C
1
,C
2
,,C
t
.由 已知条件,
(B
i
A
1
)?S
,即
(B
i
A
1
)?C{
1
C,
2
,C
t
,
,这样我们得到一个映射
}


f:{B
1
,B< br>2
,,B
s
}?{C
1
,C
2
,,C
t
},f(B
i
)?B
i
A
1

显然
f
是单映射,于是,
s?t
. 10 分

A
1
?{a
1
,a
2
,,a
k
}
.在
A
1
,A
2
,???,A
n
中除去
B
1
,B
2
,,B
s

C
1
,C< br>2
,,C
t
后,在剩下的
,由于剩下的
n?s?t
个 集合中每个集合与
n?s?t
个集合中,设包含
a
i
的集合有
x
i
个(
1?i?k

从的交非空,即包含某个
a
i
,从而
x
1
?x
2
??x
k
?n?s?t
. 20 分
n?s?t
不妨设
x
1
?maxx
i
, 则由上式知
x
i
?
,即在剩下的
n?s?t
个集合中,包含
a
1
的集合
1?i?k
k
n?s?t
至少有个. 又由于
A
1
?C
i
(i?1,2,???,t)
,故
C
1
,C
2
,,C
t
都包含
a
1
,因此包含
a
1
的集合
k
n?s?tn?s?(k?1)tn?s ?t
个数至少为(利用
k?2

?t??
kkk
n
?
(利用
s?t
). 40 分
k


2015B 6、设
k
为实数,在平面直角坐标系中 有两个点集
A?(x,y)x?y?2(x?y)

?
22
?B?
?
(x,y)kx?y?k?3?0
?
,若
A?B
是单元集,则
k
的值为

◆答案:
?2?3

★解析:点集A是圆周
?:(x?1)?(y?1)?2
,点集B是恒过点
P(?1,3)
的直线
l:y?3?k(x?1)
及下方( 包括边界).作出这两个点集知,当A自B是单元集时,直线l是过点P的圆
?
的一条切
线.故圆
?
的圆心 M (1, l)到直线l的距离等于圆的半径
2



22
|k?1?k?3|
k?1
2
?2
.结合图像,应取较小根
k??2?3


2014A 2、设集合
?
?
3
?
?b|1?a?b?2
?
中最大元素与最 小元素分别为
M,N
,则
M?N
的值为
?
a
?
◆答案:
5?23

★解析:由
1?a?b?2
知,
33
?b??2?5
,当
a?1
b?2
时,得最大元素
M?5
,又
a1
33
?b??a ?23
,当
a?b?3
时,得最小元素
m?23
。因此,
M ?m?5?23

aa

1,2,?,100
?
,求最大 的整数
k
,使得
S

k
个互不相同的非空2014A三、( 本题满分50分)设
S?
?
子集,具有性质:对这
k
个子集中任意两 个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素
与这两个子集中的最大元素均不相同。
★解析:对有限非空实数集
A
,用
minA

maxA
分 别表示
A
中的最小元素和最大元素。
考虑
S
的所有包含
1
且至少有两个元素的子集,一共有
2
99
?1
个,它们显然满足要求 ,因为
min
?
A
i
?A
j
?
?1?ma xA
i
,故
k
max
?2
99
?1
。 < br>下面证明
k?2
99
时不存在满足要求的
k
个子集.我们用数 学归纳法证明:对整数
n?3
,集合
?
1,2,?,n
?
的 任意
m

m?2
n?1
)个不同的非空子集
A
1< br>,A
2
,
?
,A
m
中,存在两个不同的子集
A
i
,A
j

满足
A
i
?A
j< br>?
?
,且
minA
i
?A
j
?maxAi

显然只需对
m?2
n?1
??
的情形证明上述结论。
1, 2,3
?
的全部非空子集分成三组:第一组
?
3
?
,
?
1,3
?
,
?
2,3
?
;第二组
?< br>2
?
,
?
1,2
?
;第三组当
n?3
时,将
?
??
1,
?
1,2,3
?
。由抽屉原理 ,任意4个非空子集必有两个是在同一组,取同组的两个子集
A
i
,A
j,排在
前面的记为
A
i
,则满足①;
假设当
n

n?3
)时,结论①成立,考虑
n?1
时,若
A
1,A
2
,?,A
2
n
中至少有
2
对其中的2
则至少有
2
n?1
n?1
个子集不含
n?1

个子集用归纳假设,可知存在两个子集满足①;若至多有
2
n?1
?1个子集不含
n?1

n?1
1,2,?,n
?

2
n?1
?1
个子集。
?1
子集含
n?1
,将 其中
2
n?1
?1
子集去掉
n?1
,得到
?
n?1
1,2,?,n
?
的全体子集可以分成
2
又由于
?
组,每组两个子集互补,故由抽屉原理,在上述
2
n?1
?1


个子集中一定有两个属于同一组,即互为补集.
因此,相应地有两个子集
A
i
,A
j
,满足
A
i
?
A
j
?< br>?
n?1
?
,这两个子集显然满足结论①。

n?1
时结论也成立。
综上所述,所求
k
的最大值为
2
99
?1


2013A1、设集合
A?
?
2,0,1,3
?
,集合
B?x|?x?A,2?x?A
,则集合
B
中所有元素的和为
2
??
◆答案:
?5

★解析:易得
B?
?
?3,?2,?1,0
?
,验证即可得
B?
?
?3,?2
?
,所以所求为
?2?3??5


2008A B2、设
A?[?2,4)
,
B?x|x?ax?4?0
,若
B?A
,则实数
a
的取值范围为( )
A.
[?1,2)
B.
[?1,2]
C.
[0,3]
D.
[0,3)

◆答案: D
2
aa
2
aa
★解析:因为
x?ax?4?0
有两个实根
x
1
??4?

x
2
??4?
,故
B?A
等价于
24< br>24
2
?
2
?
2
aa
2
aa
x
1
??2

x
2
?4
,即
?4??? 2

?4??4
,解之得
0?a?3

24
24

1,2,3,?,100
?
的两个子集,满足:
A

B
的元素个数相同,且
A?B
为2007*6、已知< br>A

B
是集合
?
空集,若
n?A
,则
2n?2?B
,则集合
A?B
的元素个数最多为
A.
62
B.
66
C.
68
D.
74

◆答案:B
1,2,?,49
?
的任一个
34
元子集,★解析:先证
A ?B?66
,只须证
A?33
,为此只须证若
A

?
则必存在
n?A
,使得
2n?2?B
。证明如下:
1,2,?, 49
?
分成如下
33
个集合:
?
1,4
?

?
3,8
?

?
5,12
?
,…,?
23,48
?
}共
12
个;
?
2,6
?

?
10,22
?
,将
?

?
14,30
?

?
18,38
?

4
个 ;
?
25
?

?
27
?

?29
?
,…,
?
49
?

13
个;< br>?
26
?

?
34
?

?
42
?

?
46
?

4
1,2,?,49
?

34
元子集,从而由抽屉原理可知上述
33
个集合中至 少有一个
2
元集合个。由于
A

?
中的数均属于
A
,即存在
n?A
,使得
2n?2?B

1,3,5,?, 23,2,10,14,18,25,27,29,?,49,26,34,42,46
?
,
B?
?
2n?2|n?A
?
,如取
A?
?

A,B
满足
题设,且
A?B?66


2006*3、已知集合
A?
?
x|5x?a?0
?
B?
?
x|6x?b?0
?

a,b?N
,且
A?B?N?
?
2,3,4
?

则整数对
(a,b)
的个数为
A.
20
B.
25
C.
30
D.
42

◆答案:C
?
b
1??2
?
ab
?
6
★解析: 5x?a?0
?x?

6x?b?0
?x?
。要使
A? B?N?
?
2,3,4
?
,则
?

a
56
?
4??5
?
5
?

?
?
6?b ?12
11
。所以数对
?
a,b
?
共有
C
6
C
5
?30

?
20?a?25

2004*三、(本题满分50分) )对于整数
n?4
,求出最小的整数
f (n)
,使得对于任何正整数
m

集合
?
m.m?1,m? 2,?,m?n?1
?
的任一个
f(n)
元子集中,均至少有
3个两两互素的元素。
★解析:
⑴ 当
n?4
时,对集合
M< br>?
m,n
?
?
?
m.m?1,m?2,?,m?n?1
?


m
为奇数时,
m

m?1
,< br>m?2
互质,当
m
为偶数时,
m?1

m?2

m?3
互质.即
M
的子集中存在
3
个两两互质的元素, 故
f(n)
存在且
f(n)?n
. ①
取集合
T
n
?
?
t|2|t,或3|t,t?n?1
?
,则T

M
?
2,n
?
?
?
2,3,?
,n?1
?
的一个子集,且其中任
3

数无不能两两 互质.故
f(n)?T?1
.(
T
表示元素个数)
?
?
?
?
?
?
?
?
?1
② 但
T?
?
.故
f(n)?
???????
?
2
??
3
??
6
??
2
??
3
??
6
?
由①与②得,
f(4)?4,f(5)?5

5?f( 6)?6

6?f(7)?7

7?f(8)?8

8?f (9)?9

现计算
f(6)
,取
M?
?
m,m ?1,m?2,m?3,m?4,m?5
?
,若取其中任意5个数,当这5个数
中有3 个奇数时,这3个奇数互质;当这3个数中有3个偶数
k,k?2,k?4
(
k?0( m0d2)
)时,其
中至多有1个被5整除,必有1个被3整除,故至少有1个不能被3与5整 除,此数与另两个奇数
两两互质.故
f(6)?5

?
n?1??
n?1
??
n?1
??
n?1
??
n?1
??
n?1
?



M
?
m,n?1< br>?
?M
?
m,n
?
?
?
m?n
?< br>,故
f(n?1)?f(n)?1
. ③
所以
f(7)?6< br>,
f(8)?7

f(9)?8

∴ 对于
4?n ?9

f(n)?
?
?
n?1
??
n?1
??
n?1
?
?
?
?
?
?1
成立. ④
???
236
??????
设对于
n?k
④成立,当< br>n?k?1
时,由于
M
?
m,k?1
?
?M
?
m,k?5
?
?
?
m?k?5,m?k?4,
?
,m?k
?


?
m?k?5,m?k?4,?,m?k
?
中,能被2或3整除的数恰有4个,即使这4个数全部取出,
只要在前面的
M?
m,k?5
?
中取出
f(n)
个数就必有3个两两互质的数. 于是

n?4
时,
f(n?6)?f(n)?4?f(n)?f(6)?1


f(k?1)?f(k?5)?f(6)?1?
?
?
k?2
??
k?2
??
k?2
?
?
?
?< br>?
?1

???
?
2
??
3
??
6
?
比较②,知对于
n?k?1
,命题成立.
?
∴对于任意
n?4

n?N

f(n)?
?
?n?1
??
n?1
??
n?1
?
?
?
?
?
?1
成立.
???
236
??????
又可分段写出结果:
?
4k? 1n?6k,k?N
?
?
?
?
4k?2n?6k?1,k?N
?
?
?
4k?3n?6k?2,k?N
f(n)?
?
< br>?
4k?4n?6k?3,k?N
?
?
4k?4n?6k?4,k?N
?
?
?
?
?
4k?5n?6k?5,k?N
2003*9、已知
A?x|x?4x?3?0

B?x|2
实数
a
的取值范围是
◆答案:
?
?4,?1
?

★解析:由题意得
A?
?
1,3
?
;又
a??2
1?x
?
2?
?
1?x
?a?0,x
2
?2(a?7)x?5?0,

A?B
,则
?
,因为
?2
1?x
x
2
?5
1
??
?7

?
?
?1,?
?
;当
x?
?
1,3
?
时,
a?

4
?
2x
?


x
2
?5
?7?因为
2x
?
x
2
?5

5?7,?4
.因为
A?B
,即
?7?a??2
1?x
恒成立,所以
?4 ?a??1

2x
?

2002*5、已知两个实数集合
A ?
?
a
1
,a
2
,?,a
100
?

B?
?
b
1
,b
2
,?,b
50?
,若从
A

B
的映射
f
使得
B中每个元素都有原象,且
f(a
1
)?f(a
2
)???f(a
100
)
则这样的映射共有
A.
C
100
个 B.
C
99
个 C.
C
100
个 D.
C
99

◆答案:D
★解析:不妨设
b
1
?b
2
???b
50
,将
A
中元素
a< br>1
,a
2
,?,a
100
按顺序分为非空的
50组,定义映射
50484949
f:A?B
,使得第
i
组的元素 在
f
之下的象都是
b
i
(
i?1,2,?,50
),易知这样的
f
满足题设要
求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射,于是满 足题设要求的映射
f
的个数与A按足码顺
4949
序分为
50
组的分法数相等,而
A
的分法数为
C
99
,则这样的映射共有C
99
,故选D。

2001*1、已知
a
为给定的 实数,那么集合
M?x|x?3x?a?2?0
的子集的个数为
A.
1
B.
2
C.
4
D. 不确定
◆答案:C
★解析:方程x?3x?a?2?0
的根的判别式
??1?4a?0
,方程有两个不相等的实数 根.由
222
?
22
?
M

2
个元素,得 集合
M

2
2
?4
个子集.

2000 *1、设全集是实数,若
A?
?
x|x?2?0
?

B?< br>?
x|10
x
2
?2
?10
x


A
?
C
R
B
是( )
?
A.
?
2
?
B.
?
?1
?
C.
?
x|x?2
?
D.
?

◆答案:D
★解析:由题意得:A={2},B={2,-1},故选D.
1998*2、若非空集合
A?
?
x|2a?1?x?3a?5
?
,
B?
?
x|3?x?22
?
,则能使
A?A?B
成立的所

a
的集合是( )
A.
?
a|1?a?9
?
B.
?
a|6?a?9
?
C.
?
a|a?9
?
D.
?

◆答案:B < br>★解析:即
A?B

A?
?
.所以
3?2a?1?3 a?5?22
,解得
6?a?9
。故选B.

1996*7、集合
?
x|?1?log
1
10??
?
?
x
?
1
,x?N
?
?
的真子集的个数是_______________ ______.
2
?
◆答案:
2?1

★解析:由已知, 得
1?lgx?2

10?x?100
.故该集合有
90
个 元素.其真子集有
2?1
个.
90
90



1,2,3,?,1995
?

A

M
的子集且满足条件: 当
x?A
时,
15x?A
,则
A
中元素1995*12、设
M?
?
的个数最多是______.
◆答案:
1870

★解析:因为1995
=
15×133.故取出所有不是15的倍数的数,共1862 个,这此数均符合要求.
在所有15的倍数的数中,15的倍数有8个,这此数又可以取出,这样共取 出了1870个.即
2
A?1870
.又
?
k,15k
?< br>(
k?9,10,11,?,133
)中的两个元素不能同时取出,故
A?19 95?133?8?1870
.综上
A?1870


2
?
??
?
5
?
?
22
1994*9、已知点集
A?
?
(x,y)|(x?3)?(y?4)?
??
?

?
?
2
?
?
??
2
?
??
?5
?
?
22
B?
?
(x,y)|(x?4)?(y?5 )?
??
?
,则点集
A?B
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点) 的
?
?
2
?
?
??
y
个数为__ ____.
◆答案:
7

★解析:如图可知,共有7个点,即(1,3),(1,4),
(1, 5),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2)共7点.



1993*1、若
M?
?
x,y
?
|tan
?
y? sin
(4,5)
(3,4)
3
2
1
O
1
2
3
x
?
2
?
x?0
?

N?< br>?
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2< br>?
,则
M?N
的元素个数
是( )
A.
4
B.
5
C.
8
D.
9

◆答案:D
★ 解析:对集合
M
,可得
tan
?
y?0,sin
?
x?0
,即
y?k
(
k?Z
),
x?m
(
m?Z
),
M?N


x?y?2
及圆内的整点数.共< br>9
个.选D.


1993*3、集合
A,B
的并 集
A?B?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
,当
A?B
时,
?
A,B
?

?
B,A
?
视为不同的对,则这
样的
?
A,B
?
对 的个数是( )
A.
8
B.
9
C.
26
D.
27

◆答案:D
22


★解析:
a
1
?A

a1
?A
,有2种可能,同样
a
1
?B

a1
?B
,有2种可能,但
a
1
?A

a
1
?B
不能同时成立,故有
2
2
?1
种安排方式,同样< br>a
2
,a
3
也各有
2
2
?1
种安排 方式,故共有
2
2
?1?27
种安排方式.选
D


1993*二、(本题满分35分)设
A
是一个有
n
个元 素的集合,
A

m
个子集
A
1
,A
2,
?
,A
m
两两不包
含。试证:⑴
??
3?
C
i?1
m
1
A
i
n
?1


?
C
i?1
m
A
i
n
A
?m
2
,其中
A
i
表示
A
i
所含的元素 个数,
C
n
i
表示从
n
个不同元素中取出
Ai
个的组合数。
★证明:
⑴ 即证:若
k
1
?k2
???k
m
?n
,则
k
1
!
?n?k
1
?
!?k
2
!
?
n?k
2< br>?
!???k
m
!
?
n?k
m1
?
!?n!

由于
n!
表示
n
个元素的全排列数, 而
k
i
!
?
n?k
i
?
!
表示先 在这
n
个元素中取出
k
i
个元素排列再把
其其余元素排列的 方法数,由于
A
i
互不包含,故
k
1
!
?
n?k
1
?
!?k
2
!
?
n?k
2
?
!???k
m
!
?
n?k
m1
?
!? n!
成立.
?
m
1
⑵ ∵
?
?
A
?
i?1
C
i
n
?
m
m
?
?< br>m
A
i
?
1
2
A
i
2
2< br>?
?
?
C
n
?
?
?
1?1?
?
?1
?
?m
.且
0?
?
C?m
,故.
?
1
?
n
A
i
?
?
i?1
i?1
?
i?1
C
n
?

1992*二、(本题满分35分)
1,2,?,n
?
.若
X< br>是
S
n
的子集,把
X
中所有数的和称为
X
的 “容量”(规定空集的 设集合
S
n
?
?
容量为
0
),若
X
的容量为奇(偶)数,则称
X
为的奇(偶)子集.
1.求证:
S
n
的奇子集与偶子集个数相等.
2.求证:当
n?3
时,
S
n
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
3.当
n?3
时,求
S
n
的所有奇子集的容量之和.
1
?
,当
1?A
时,取
B?A?
??
1< br>,★证明:⑴ 对于
S
n
的每个奇子集
A
,当
1?A
时,取
B?A
?
1
?
,当
1?B
时,取则
B

S
n
的偶子集.反之,若
B

Sn
的偶子集,当
1?B
时,取
A?B
?
A?B?
??
1
,于是在
S
n
的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应, 故
S
n
的奇子集与偶子集的个
数相等.


⑵ 对于任 一
i?S
n

i?1
,含
i

S
n
的子集共有
2
n?1
个,其中必有一半是奇子集,一半是偶子
集, 从而每个数
i
,在奇子集的和与偶子集的和中,
i
所占的个数是一样的. < br>而对于元素
1
,只要把
S
n
的所有子集按是否含有
3
配对(即在上证中把
1
换成
3
来证),于是也可

1
的奇子集与偶子集中占的个数一样,于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以
S
n
的所有奇子集的容量的和,与所有偶子集的容量的和相等.
⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现
2
n?2
次,故奇子集的容量和为
?
1?2?3???n
?
?2
n?2
?n(n?1)?2
n?3

1991*5.设
S?(x,y)|x?y?
奇数,
x, y?R
?

22
?
T?(x,y)|sin(2
?
x
2
)?sin(2
?
y
2
)?cos(2
?< br>x
2
)?cos(2
?
y
2
)

x ,y?R
?
,则( )
A.
S?T
B.
T?S
C.
S?T
D.
S?T?
?

◆答案:A
★解析:若
x?y
为奇数,则
sin2
?
x?sin2
?
y
又若
x? y
时,
sin2
?
x?sin2
?
y

2 2
?
?
2
??
?
2
??
2
??cos
?
2
?
x
2
?
?cos
?< br>2
?
x
?
?cos
?
2
?
y
?
成立,即
S?T

?
?cos
?
2
?
y
?
也成立,即得S
?
?
T,选A.
222< br>2
1,2,?,1000
?
,现对
M
中的任一非空子集
X
,

a
X
表示
X
中最大数与最小1991*1 2.设集合
M?
?
数的和.那么,所有这样的
a
X
的算术平 均值为 .
◆答案:
1001

★解析:对于任一 整数
n
(
0?n?1000
),以
n
为最大数的集合有2
n?1
个,以
n
为最小数的集合有
n?11000?n

1001?n
为最小数的集合则有
2
个,以
1001?n
为最大数的集合则有
2
个.故
n
2
1000?n
个,n?1

1001?n
都出现
2?2
1000?n
次.
1
1000
n?11000?n
?1001?2
1000
? 1
. ∴ 所有
a
X
的和为
?
1001?2?2
2
n?1
????
∴ 所求平均值为
1001

又解:对于 任一组子集
A
?
?
b
1
,b
2
,
?
,b
k
?

b
1
?b
2
??? b
k
(
1?k?1000
),取子集


A
< br>?
?
1001?b
1
,1001?b
2
,
?
,1001?b
k
?
,若
A?A

,则此二子集最大 数与最小数之和为
b
1
?b
k
?1001?b
1
?1001?b
k
?2002
,平均数为
1001
.若
A? A

,则
A
本身的为
1001

由于每一子集均可配对.故所求算术平均数为
1001


1,2 ,?,n
?

A
为至少含有两项的公差为正的等差数列,其项都在
S
中,且添加
S
1991*一、设
S?
?
的其他元素于
A
后不能构成与
A
有相同公差的等差数列.求这种
A
的个数(这里 只有两项的数列也
看作等差数列).
★解析:易知公差
1?d?n?1


n?2k

d?1

d?n?1
时,这样的A
只有
1
个,
d?2

d?n?2
时,这样的 数列只有
2
个,
d?3

d?n?3
时这样的数列只有3
个,……,
d?k?1

k?1
时,这样的数列有
k ?1
个,
d?k
时,这样的数列有
k
个.
∴ 这样的数列 共有
?
1?2???k
?
?2?k?k?
2
1
2< br>n
个.
4
1
2
n?1
个.
4

n?2k?1
时,这样的数列有
?
1?2???k
?
?2? k(k?1)?
??
n
2
1?
?
?1
?
?
两种情况可以合并为:这样的
A
共有
48
n?1
个(或?
n
?
个).
4
?
1
?
2
?
?
1,2,?,k
?
中,一在解法二:对于
k?
??,这样的数列
A
必有连续两项,一项在
?
?
2
?
?
n
?
?
k?1,k?2,?,n
?
中,反之,在此两集 合中各取一数,可以其差为公差构成一个
A
,于是共有这样
的数列

n?2k
时,这样的
A
的个数为
k?
2
1
2n
个;当
n?2k?1
时,这样的
A
的个数为
4
k(k?1)?
1
2
n?1
个.
4
??
∴ 这样的数列有
?
n
?
个.
4
解法一也可这样写: 设
A
的公差为
d
,则
1?d?n?1

⑴ 若
n
为偶数,则

1?d?

?
1
?< br>2
?
?
n
时,公差为
d
的等差数列
A

d
个;
2
n
?d?n?1
时,公差为
d的等差数列
A

n?d
个.
2


故当< br>n
为偶数时,这样的
A
共有
?
1?2???
⑵ 若
n
为奇数,则

1?d?

?
?
n< br>??
n
?
1
2
?
?
?
1?2??( n??1)
?
?n
个.
2
??
2
?
4< br>n?1
时,公差为
d
的等差数列
A

d
个;
2
n?1
?d?n?1
时,公差为
d
的等差数列
A

n?d
个.
2
?
?
n?1
??
n?1
?
1
2
)
?
?n?1
个.
?< br>?
?
1?2?
?
?
2
??
2
?4
故当
n
为奇数时,这样的
A
共有
?
1?2?
?
?
??
n
2
1?
?
?1
??
两种情况可以合并为:这样的
A
共有
48
?
n
?
n?1
个(或
?
n
?
个).
4
?< br>1
?
2
?
?
1,2,?,k
?
中,一在?
k?1,k?2,?,n
?
解法二:对于
k?
??
, 这样的数列
A
必有连续两项,一项在
?
?
2
?
中, 反之,在此两集合中各取一数,可以其差为公差构成一个
A
,于是共有这样的数列

n?2k
时,这样的
A
的个数为
k?
2
1
2
n
个;当
n?2k?1
时,这样的
A
的个数为
4
k(k?1)?
1
2
n?1
个.
4
??
∴ 这样的数列有
?
n
?
个.
4

?
1
?
2
?
?
?
1
3
1
?
y?
?
?lgx?lgy
?
中的元 素个数为( )
39
?
??
A.
0
B.
1
C.
2
D.多于
2

1990*4、点集
?
(x,y)|lg
?< br>x
3
?
?
?
?
◆答案:B
★解析:由题意 得
x?
1111
1
3
1
y??xy?0
.又
x
3
?y
3
??3
3
x
3
?y
3
??xy
,等号当且仅当
3939
39
33
39
1
3
1
3
x?y?
时,即
x?

y?时成立.故选
B

33
39
3

1989* 5.若
M?
?
z|z?
?
?
t1?t
?
? i,t?R,t??1,t?0
?

1?tt
?
N?z|z?2< br>?
cos(arcsint)?icos(arccost)
?
,t?R,t? 1
,则
M?N
中元素的个数为( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
4

??


◆答案:A
★解析:
M的图象为双曲线
xy?1
(
x?0

x?1
),
N
的图象为
x?y?2
(
x?0
),二者无公
共点.选< br>A


1989*6.集合
M?
?
u|u?12m ?8n?4l,m,n,l?z
?

N?
?
u|u?20p?16q ?12r,p,q,r?z
?
的关
系为( )
A.
M?N
B.
M?N,N?M
C.
M?N
D.
N?M

??
22
◆答案:A
★解析:
u?12m?8n?4l?4(3m ?2n?l)
,由于
3m?2n?l
可以取任意整数值,故
M
表示所 有
4的倍数的集合.同理
u?20p?16q?12r?4(5p?4q?3r)
也表 示全体4的倍数的集合.

1988*3.平面上有三个点集
M,N,P
:
M?(x,y)|x?y?1

2222
??
1
??1
?
1
??
1
?
??
??
N?
?
?
x,y
?
?
x?
?
?
?
y ?
?
?
?
x?
?
?
?
y?
??22
?

2
??
2
?
2
??2
???
??
??
??
P?
?
(x,y)|x ?y?1,x?1,y?1
?
。则( )
A.
M?P?N
B.
M?N?P
C.
P?N?M
D.A、B、C都不成立
??????
◆答案:A
★解析:
M
表 示以
?
1,0
?
,
?
0,1
?
,
?
?1,0
?
,
?
0,?1
?
为顶点的正方形内部 的点的集合(不包括边界);
N
表示
焦点为
?
?
11
??
11
?
,?
?

?
?,
?
,长轴为
22
的椭圆内部的点的集合,
P
表示由
x?y??1

x??1

2222
????
y??1
围成的六边形内部的点的集合.故选A.
已知集合

1987*5.
M?
?
x,xy,lg(xy)
?
0
,
0
2
N?
?
0,x,y
?
,且
M?N
,则
??
2
1
??
2
1
??
3
1
?
???????
x??x??x????x< br>2
??
3
?????
y
??
y
??
y
???
◆答案:
?2

?
1
1
?
?
的值为 (陕西供题) 001
?
y
?
★解析:
0?M
,但
xy?0< br>,故只有
lg(xy)?0
,即
xy?1


1 ?N
,故
x?1
,或
y?1
,若
y?1
,则由xy?1
得,
x?1
,与元素相异性矛盾.故
y?1


x?1

x?1

x??1
,其中
x?1同上矛盾.故
x??1

y??1


x
2k
?
1
1
2k?1
?
x???2
?2
; ().故所求值为
?2

k?N
2k?1
2k< br>y
y
解:
xy?0
,得
x?0,y?0
.故
xy?1
.若
y?1
,则
x?1
,矛盾,故
x??1

y??1
.原
式为
?2


1987*6. 已知集合
A?
?
x,y
?
x?y?a,a?0

B ?
?
x,y
?
xy?1?x?y


A?B
是平面上
正八边形的顶点所构成的集合,则
a
的值为 .(青海供题)
◆答案:
a?2

2?2

★解析:集合
A
的图形是依次连
?
a,0
?

?
0,a
?

?
?a,0
?

?
0,?a
?
四点的线段.
集合
B
的图形是直线
x?1

x ??1

y?1

y??1
.它们交得一个正八边形.
若 此
4
条直线为图中的
4
条实线,则
a?tan22.5?1?
等,知直线
x?y?a
与原点距离等于
1
.所以
a?2

若此
4
条直线为图中的
4
条虚线,则
2a?22?2
,得
a?2?2


a?2

a?2?2


0
????
2
.或此正八边形各边与原点距离相
1984*1、 集 合
S?z
?
??
argz?a,a为常数
?
2
在复 平面上的图形是( )
A.射线
argz?2a
B.射线
argz??2a
C.射线
argz?a
D.上述答案都不对
◆答案:D
★解析:由于
argz?
?
0,2
?
?

argz?2
?
?a
,故选D.

1983*4、已知< br>M?
?
x,y
?
y?x
条件是( )
A.a?
?
2
?

N?
?
?
x,y
?
x?
?
y?a
?
2
2
?1
,那么使< br>M?N?N
成立的充要
?
55
B.
a?
C.
a?1
D.
0?a?1

44
2
◆答案:A
2
2
★解析:
M?N?N
的充要条件是圆
x?
?
y?a
?
?1
在抛物线
y?x
内部(上方).即
a?1
,且
方程
y?(2a?1)y?a?1?0

??0
解得,
a?

22
5
,选
A

4



1982*7、 设
M?
?
x,y
?
xy?1,x?0
N?
?
x,y
?
arctanx?arccoty?
?
,那么( )
A.
M?N?
?
x,y
?
xy?1
B.
M?N?M

C.
M?N?N
D.
M?N?
?
x,y
?
xy?1
,其中
x,y< br>不同时为负数
◆答案:B
★解析:
M
是双曲线
xy??1
在第一、四象限内的两支;

arctanx?
?
?arccoty

x??
??? ?
??
??
1
?
?
?
,即
xy??1,若
x?0,

arctanx?
?
?,0
?
,而
y
?
2
?
arcoty?
?
0,
?< br>?

?
?arccoty?
?
0,
?
?,故
x?0
.即
N

xy??1
在第四象限的一支.故 选B.


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