广州高中数学教师招聘真题-邢台市高中数学试卷
年福建省高中数学竞赛
暨年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:年月日上午:-:,满分分)
一、填空题(共小题,每小题分,满分分。请直接将答案写在题中的横线上)
*.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?32
,
a
n?1
?a
n
?2n
(
n?N
),则
a
n
的最小值为。
n
【答案】
31
3
【解答】由
a
1?32
,
a
n?1
?a
n
?2n
知,
a
n
?a
n?1
?2(n?1)
,
a
n?
1
?a
n?2
?2(n?2)
,……,
a
2
?a<
br>1
?2?1
,
a
1
?32
。
上述
n
个等式左右两边分别相加,得
a
n
?n(n?1)?32
。
∴
a
n
aa
325231
;
n?6<
br>时,
n
?
。
?n?1?
,又
n?5
时,
n
?
nnn5n3
a
n
31
取最小值。
n3
∴
n?6
时,
.对于函数
y?f(x)
,
x?D
,若对任意的
x
1
?D
,存在唯一的
x<
br>2
?D
,使得
32
f(x
1
)f(x
2)?M
,则
32
称函数
f(x)
在
D
上的几何
平均数为
M
。已知
f(x)?x?x?1
,
x?
?
1,2
?
,则函数
f(x)?x?x?1
在
?
1,2
?
上的几何平均数
M?
。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。
【答案】
5
2
【解答】 ∵ 当
1?x?2
时
,
f
?
(x)?3x?2x?x(3x?2)?0
,
∴<
br>f(x)?x?x?1
在区间
?
1,2
?
上为增函数,其值域
为
?
1,5
?
。
32
∴
根据函数
f(x)
几何平均数的定义知,
M?5
。
.若三
个非零且互不相等的实数
a
、
b
、
c
满足
112<
br>??
,则称
a
、
b
、
c
是调和的;若满足<
br>a?c?2b
,
abc
则称
a
、
b
、
c
是等差的。已知集合
M?
?
xx?2013,x?Z
?
,集合
P
是集合
M
的三元子集,即
P?
?
a,,b
c
?
?M
。若集合
P
中元素
a
、
b
、
c
既是调和的,又是等差的,则称集合
P
为“好集”。则
不同的
“好集”的个数为。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。
【答案】
?
112
?
??
【解答】若
a
、
b
、
c<
br>既是调和的,又是等差的,则
?
abc
,
a??2b
,
c?4b
。
?
?
a?c?2b
即“好集”为形如
?
?2b,,b4b
?
(
b?0
)的集合。
由
“好集”是集合
M
的三元子集知,
?2013?4b?2013
,
b
?Z
,且
b?0
。
∴
?503?b?503
,<
br>b?Z
,且
b?0
。符合条件的
b
可取个值。
1 9
∴“好集”的个数为。
.已知实数
x<
br>,
y
满足
xy?1?4x?y
,且
x?1
,则
(x?1)(y?2)
的最小值为。
【答案】
27
【解答】由
xy?1?4x?y
知,
y?
4x?1
。
x?1
∴
(x?1)(y?2)?(x?1)(
设
x?1?t
,
则
t?0
,
4x?13(x?1)(2x?1)
。
?2)?
x?1x?1
(x?1)(y?2)?
1
t
3(x?1
)(2x?1)3(t?2)(2t?1)1
??6(t?)?15?27
。
x?1tt
当且仅当
t?
,即
t?1
,
x?2
,
y?7
时等号成立。
∴
(x?1)(y?2)
的最小值为。
.如图,在四面体
ABCD
中,
AB?平面BCD
,
△BCD
是边长为的等边三
角形。若
AB?2
,则四面体
ABCD
外接球的面积为。
【答案】
16
?
【解答】如图,设正
△BCD
的
中心为
O
1
,四面体
ABCD
外接球的球心为
O
。
则
OO
1
?平面BCD
,
OO
1
∥AB<
br>,
BO
1
?
取
AB
中点
E
。
由
OA?OB
知,
OE?AB
,
OE∥O
1<
br>B
,
OO
1
?EB?1
。
于是,
OA?OB?2
。
∴
四面体
ABCD
外接球半径为,其面积为
16
?
。
.在正十边形的个顶点中,任取个点,则以这个点为顶点的四边形为梯形的
概率为。
【答案】
23
??3?3
。
32
2
7
A
10
。则
【解答】设正十边形为
A
1
A
2
以
A
1
A
2
为底边的梯形有
A
1
A
2
A
3
A
10
、
A1
A
2
A
4
A
9
、
A
1A
2
A
5
A
8
共个。同理分别以
A
2
A
3
、
A
3
A
4
、
A
4
A
5
、…、
A
9
A
10
、
A10
A
1
为底边的梯形各有个。这样,合计有个梯形。
以A
1
A
3
为底边的梯形有
A
1
A
3<
br>A
4
A
10
、
A
1
A
3
A
5
A
9
共个。同理分别以
A
2
A
4
、
A
3
A
5
、
A
4
A
6
、…、
A
9
A
1
、
A
10
A
2
为底边的梯形各有个。这样,合计有个梯形。
以
A
1
A<
br>4
为底边的梯形只有
A
1
A
4
A
5
A
10
个。同理分别以
A
2
A
5
、
A3
A
6
、
A
4
A
7
、…、
A
9
A
2
、
A
10
A
3
为底边的<
br>梯形各有个。这样,合计有个梯形。
2 9
所以,所求的
概率
P?
30?20?102
?
。
4
C
10
7
.方程
sin
?
x?
?
数)。
【答案】
【解答】设
?
?x
?
x
?<
br>1?
(符号
?
x
?
表示不超过
x
的最大整<
br>?
??
?
?
在区间
?
0,2
?
?<
br>内的所有实根之和为。
?
2
?
2
?
2
??
x
?
x
?
x
??
x
?
x<
br>??0?
,则对任意实数,
???
?1
。
??222
?????
2
?
原方程化为
sin
?
x
?
?
?
① 若
0?
?
?
?
x
?<
br>1?
?
?
?
。
2
?
??
2
?
?
?
x
?
1?
?
x
?
1
。
?
?
,则
sin
?
x?
?
??
?
?
?0
,
?
x?k
?
(
k?Z
)
?
2
?
2
?
?
2
?
2
?
∴
x?k
(
k?Z
)。结合
x?
?
0,
,,,,,。
2
?
?
知,
x?0
,
经检验,
x?0
,,,符合要求。
② 若1
?
x
?
1
?
?
x
?
1?<
br>?
??
?1
,则
sin
?
x?
?
?
?
?
?
?1
,
?
x?2k
?
?
?
(
k?Z
)。
2
?
2
?
2?
?
2
?
2
?
∴
x?2k?
1159
(
k?Z
)。结合
x?
?
0,2
?
?知,
x?
,,。
2222
159
,,均不符合要求。
222
经检验,
x?
∴
符合条件的
x
为,,,,它们的和为。
x
?
.已知
f(x)
为
R
上增函数,且对任意
x?R
,都有
f
?
f(x)?3
??
?4
,则
f(2)?
。
【答案】
【解答】依题意,
f(x)?3
为常数。设
f
(x)?3?m
,则
f(m)?4
,
f(x)?3?m
。
∴
3?m?4
,
3?m?4?0
。易知方程
3?m?4?0
有唯一解
m?1
。
∴
f(x)?3?1
,
f(2)?3?1?10
。
.已知集合
A
的元素都是整数,其中最小的为,最大的为。且除以外,
A
中
每一个数都等于
A
中某两个
数(可以相同)的和。则
A
的最小值为。
(符号
A
表示集合
A
中元素的个数)
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。
【答案】
【解答】易知集合
A?
?
1,,,,2351
0,20,40,80,160,200
?
符合要求。此时,
A?10
。
下面说明
A?9
不符合要求。
假设集合
A?
?
1,x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,200
?
,x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?x
6
?x
7
符合要求。
则
x1
?1?1?2
,
x
2
?2?2?4
,
x3
?8
,
x
4
?16
,
x
5
?32
,
x
6
?64
,
x
7
?128。
由于
x
6
?x
7
?64?128?192
?200
,因此,
200?x
7
?x
7
,
x
7
?100
。
3 9
x2
xxx
mmm<
/p>
同理,由
x
5
?x
6
?32?64?96?1
00
,知,
x
7
?100?x
6
?x
6
,
x
6
?50
。
由
x
4
?x5
?16?32?48?50
,知,
x
6
?50?x
5
?x
5
,
x
5
?25
。
由x
3
?x
4
?8?16?24?25
,知,
x
5
?25?x
4
?x
4
,
x
4
?
25
与
x
4
为整数矛盾。
2
∴
A?9<
br>不符合要求,
A?9
。同理,
A?8
也不符合要求。
因此,
A
的最小值为。
?
x,若x为无理数
78
?
.已知函数
f(x)?
?
q?1
,则函数在区间
(,)
f(x)
q
*
,若x?,其中p,q?N,且p、互质,qp?q89
?
pp
?
上的最大值为。
【答案】
16
17
78
89
a78
,
?(,)
(a
,
?
?N
*
)
a?
?
89
【解答】若
x
为有理数,且
x?(,)
。设
x?
由
?
9a?8a?8
?
7a8
,
7
?
?a?8
?
。
??
知,
?
8a?
?
9
7a?7
?
?8a
?
当
?
?1
时,
a不存在;
当
?
?2
时,存在唯一的
a?15
,此时
x?
1516
,
f(x)?
。
1717<
br>*
当
?
?3
时,设
a?7
?
?m
,
其中
1?m?
?
?1
,且
m?N
,此时
f(x)?
7
?
?m?1
。
8
?
?m
∵<
br>167
?
?m?19
?
?m?17(
?
?m)?(8
?
?17)
????0
,
178
?
?m
17(8
?
?m)17(8
?
?m)
∴ 若
x
为
有理数,则
x?
1516
时,
f(x)
取最大值。
1717
816
?
。
917
16
。
17
又
x
为无理数,且<
br>x?(,)
时,
f(x)?x?
78
89
综合以上可知,f(x)
在区间
(,)
上的最大值为
78
89
二、解答
题(共小题,每小题分,满分分。要求写出解题过程)
.将各项均为正数的数列
?<
br>a
n
?
排成如下所示的三角形数阵(第
n
行有
n个数,同一行中,下标小的数排在
左边)。
b
n
表示数阵中,第
n
行、第列的数。已知数列
?
b
n
?
为等比数列,且从第行
开始,各行均构成公差
为
d
的等差数列(第行的个数构成公差为
d
的
等差数列;第行的个数构成公差为
d
的等差数列,……),
a
1
?1
,
a
12
?17
,
a
18
?34
。
酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。
n)
(用
m
、
n
表示)()求数阵中第
m
行、第
n
列的数
A(m,
。
4 9
()求
a
2013
的值;
()是否在该数阵中?并说明理由。
【解答】()设
?
b
n
?
的公比为
q
。
依题意,
a
12为数阵中第行、第列的数;
a
18
为数阵中第行、第
列的数。
∴
a
1
a
10
a
2
a
8
a
3
a
9
a
4
a
5
a
6
…
…
b
1
?1
,
b
n
?q
n?1
,
a
12
?q
4
?d?17
,
a
7
a
18
?q
5
?2d?34
。 ……………
分
n?1
∴
q?2
,
d?1
,
b
n
?2
。
…
…
…
n)?b
m
?(n?1)d?2
m?1
?n?1
。
………………… 分
∴
A(m,
()由
1?2?3??62
?1953
,
1?2?3??62?63?2016
,
2013?1953?
60
知,
a
2013
为数阵中第行,第列的数。
62
∴
a
2013
?2?59
。
………………… 分
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。
()假设为数阵中第
m
行、第
n
列的数。
∵
第
m
行中,最小的数为
2
∴
2
m?1
m?1
,最大的数为
2
m?1
?m?1
,
?2013?2
m?1
?m?1
……………①。
m?1<
br>m?1
由于
m?10
时,
2
由于
m?11
时
,
2
?m?1?2
9
?9?512?2013
,因此
m?1
0
不符合①;
?2
10
?1024?2013
,因此m?11
不符合①;
∴ 上述不等式①无正整数解。
∴
不在该数阵中。 …………………
分
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。
.已知
A
、
B
为抛物线<
br>C
:
y?4x
上的两个动点,点
A
在第一象限,点
B
在第四象限。
l
1
、
l
2
分别过点
2A
、
B
且与抛物线
C
相切,
P
为
l<
br>1
、
l
2
的交点。
厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。
(
)若直线
AB
过抛物线
C
的焦点
F
,求证:动点
P
在一条定直线上,并求此直线方程;
()设
C
、
D
为直线
l
1
、
l
2
与直线
x?4
的交点
,求
△PCD
面积的最小值。
2
y
1
2
y
2
y
1
)
,
B(,y
2
)
(<
br>y
1
?0?y
2
)【解答】()设
A(,
。
44
y
1
2
)
。
易知
l
1
斜率存在,设为
k
1
,则
l
1
方程为
y?y
1
?k
1
(x?
4
?
y
1
2
?
y?y
1
?k
1
(x?)
22
由?
4
得,
k
1
y?4y?4y
1
?k
1
y
1
?0
……………①
?
y
2
?4x
?
由直线
l
1
与抛物线
C
相切,知
△?16?4k
1
(4y
1
?k
1
y
1
)?0
。
于是,
k
1
?
2
221
x?y
1
。
,
l
1
方程为
y?
y
1
y
1
2
21
x?y
2
。
y
2
2
5 9
同理,
l
2
方程为y?
联立
l
1
、
l
2
方程可得
点
P
坐标为
P(
y
1
y
2
y
1<
br>?y
2
,)
…………………… 分
42
∵
k
AB
y
1
?y
2
4
y
1
2<
br>4
?
2
?
,
AB
方程为
y?y
1<
br>?
0)
。
(x?)
,
AB
过抛物线
C
的焦点
F(1,
2
y
1
y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
4
?
44
y
1
2
4
∴
?y
1
?(1?)
,
y
1
y
2
??4
。
y
1
?y
2
4
∴
x
P
?
y
1
y2
??1
,点
P
在定直线
x??1
上。…………………
… 分
4
y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
l
1
方程为
y
1
y
?2(x?x
1
)
,
l
2
方程为
y
2y?2(x?x
2
)
。
或解:设
A(x
1
,
…………………… 分
y
0
)
,则
y
1
y
0
?2(x
0<
br>?x
1
)
,
y
2
y
0
?2(x0
?x
2
)
。
设
P(x
0
,
y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)<
br>坐标满足方程
yy
0
?2(x
0
?x)
。
∴ 点
A(x
1
,
∴ 直线
AB
方程为
yy
0
?2(x
0
?x)
。
由直线
A
B
过点
F(1,0)
,知
0?2(x
0
?1)
。<
br>
∴
x
0
??1
。点
P
在定直线
x
??1
上。…………………… 分
()由()知,
C
、
D
的坐标分别为
C(4,?
8
y
1
181
y
1
)
、
D(4,?y
2
)
。
2y2
2
∴
CD?(
(y
1
y
2
?16)
(y
1
?y
2
)
8181
。
?y
1
)?(?y
2
)?
y
1
2y
2
22y
1
y
2
∴
S
△PCD
?
yy(yy?16
)(y
1
?y
2
)
1
。…………………… 分
4?
12
?
12
242y
1
y
2
2
设
y
1
y
2
??t
(
t?0
)
,
y
1
?y
2
?m
,
2222
由
(y
1
?y
2
)?(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
?m?4t?0
知,
m?2t
,
当且仅当
y
1
?y
2
?0
时等号成立。
∴
S
△PCD
1t
2
(?t
2
?16)mm?(t
2
?16)
2
2t?(t
2
?16)
2
(
t
2
?16)
2
。
?4?????
24?2t<
br>2
16t
2
16t
2
8t
(t
2
?
16)
2
2(t
2
?16)?2t?t?(t
2
?16)<
br>2
(3t
2
?16)(t
2
?16)
?
设<
br>f(t)?
,则
f
?
(t)?
。
8t8t
2
8t
2
∴
0?t?
?
43
?
4
343
时,
f
?
(t)?0
;
t?
时,
f
?
(t)?0
。
f(t)
在区间
?
0,
?
上为减函数;在区间
?
33
3
??
?
43
?
,??
?
?
?
上为增函数。
3
??<
br>∴
t?
431283
时,
f(t)
取最小值。
39
6 9
∴ 当
y
1
?y
2
?0
,
y
1
y
2
??
…………………
分
1283
44
16
,即
y
1
?
,
y
2
??
时,
△PCD
面积取最小值。
9
3
33
.如图,在
△ABC
中,
?B?90?
,它的内切圆分别与边
BC
、
CA
、
AB
相切于点
D
、
E
、
F
,连接
AD
,
与内切圆相交
于另一点
P
,连接
PC
、
PE
、
PF
、<
br>FD
、
ED
。
()求证:
FPEP
FD
?
ED
;
()若
PE∥BC
,求证:
PC?PF
。
【解答
】()由条件知,
?AFP??ADF
,
?FAP??FA
。
D
∴
△AFP∽△ADF
,
APFP
AF
?
D
F
。…………………
同理,由
?AEP??ADE
,
?PAE??EAD
知,
△AEP∽△ADE
,
EP
DE
?
AP
AE
。
∵
AF?AE
,
∴
EPAPAPFPDE
?
AE
?
AF
?
DF
。
∴
FP
FD
?
EP
ED
。
………………… 分
()∵
PE∥BC
,
∴
?PED??EDC??DPE??CED
。
∴
△DPE∽△CDE
。
∴
EPPD
ED
?
DC
………………… 分
结合()可知,
FPDP
FD
?
DC
。
又
?PFD??PD
,
C
∴
△PFD∽△PDC
,
?PCB??PDF??PFA
。
∴
P
、
F
、
B
、
C
四点共圆。<
br>
又
?B?90?
,
∴
?FPC?90?
,
PC?PF
。………………… 分.已知
f(x)?2ln(x?1)?
1
x(x?1)
?1
。<
br>
7 9
又
分
(
)求
f(x)
在区间
?
1,??
?
上的最小值;
()利用函数
f(x)
的性质,求证:
ln1?ln2?ln3?
(
n?1)
2
*
?lnn?
(
n?N
,且
n?2);
2n
()求证:
ln1?ln2?ln3?
222
(n?1)
4
*
?lnn?
(
n?N
,且
n?2
)。
3
4n
2
22x?12x
3
?2x
2
?2x?1(2x
3
?1)?2x(x?1)
?
2
??
【解答】()∵
f
?
(x)?
。
2222
2
x?1x(x?1)x(x?1)x(x?1)
∴
x?1
时,
f<
br>?
(x)?0
,即
f(x)
在区间
?
1,??
?
上为增函数。
∴
f(x)
在区间
?
1,??
?
上的最小值为
f(1)?2ln2?
1
。
…………… 分
2
()由()知,对任意的实数
x?1
,2ln(x?1)?
11
?1?2ln2??0
恒成立。
x(x?1)2
∴
对任意的正整数
k
,
2ln(k?1)?
……………… 分
1
11
?1?0
,即
2ln(k?1)?1?(?)
恒成立
。
k(k?1)
kk?1
∴
2ln2?1?(?)
,2ln3?1?(?)
,……,
2lnn?1?(
11
12
11
23
11
?)
。
n?1n
11
?
?
?
1?(?)
n?1n
?
?
。
?<
br>?
∴
2ln2?2ln3?
11
?
?2lnn?
?<
br>1?(?)
12
?
11
??
?1?(?)
??
23
??
?
?
?
?
∴
2ln2?2ln3?1(n?1)
2
?2lnn?n?1?(1?)?
。
nn
(n?1)
2
?lnn?
。…………… 分
<
br>2n
?1
2
)?(ln1?ln2?ln3??lnn)
2
。
∴
n?N
,且
n?2
时,
ln1?ln2?ln
3?
()由柯西不等式知,
*
(ln
2
1?ln
2
2?ln
2
3?
结合()的结论可知,
?ln
2
n)(1
2
?1
2
?1
2
?
当
n?N
,且
n?2
时,
ln1?ln2?ln3?
………………
分
.已知集合
P?
*
222
1(n?1)
4(n?1)
4
?lnn???
。
n4n
2
4
n
3
2
?
xx?7
3
?a?7
2
?b?7
?c,其中a,,为不超过bc6的正整数
?
。
x
1
,
x<
br>2
,
x
3
,…,
x
n
为集合
P中构成等差数列的
n
个元素。求
n
的最大值。
【解答】()显然,,,,,这个数在集合
P
中,且构成等差数列。
………………… 分
()下面证明集合
P
中任意个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。
8 9
设
x
1
,
x
2
,
x
3
,…,
x
7
为集合
P
中构成等差数
列的个不同的元素,其公差为
d
,
d?0
。
由集合
P
中元素的特性知,集合
P
中任意一个元素都不是的倍数。
∴由
抽屉原理知,
x
1
,
x
2
,
x
3
,…,
x
7
这个数中,存在个数,它们被除的余数相同,其差能被整除。设
x
i
?x
j
(
i,j?
?
1,,,,,,23456
7
?
,
i?j
)能被整除。则
7(j?i)d
。
茕
桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。
∴
7d
。………………… 分
设
d?7m
(
m
为正整数),
32
设<
br>x
1
?7?a
1
?7?a
2
?7?a
3(
a
1
,
a
2
,
a
3
为不超
过的正整数)。
32
则
x
i
?7?a
1
?7?a
2
?7?a
3
?7(i?1)m
,其中
i?2,,…,。
3232
∵
x
7
?7?6?7?6?7?
6
,
x
7
?7?1?7?1?7?1?7(7?1)m
,
∴
1?m?6
,即公差
d
只能为
7?1
,
7?2
,…,
7?6
。………………… 分
∵
1?m?6
,
(7,m)?1
。
∴
m
,
2m
,…,
6m
除以以后的余数各不相同,分别为,,…,中的一
个。
因此,存在
k?
?
1,,,,,
。
23456
?
,使得
a
2
?km
能被整除,设
a
2
?km?7t
(
t
为正整数)
则
x
k?
1
?7
3
?a
1
?7
2
?a
2
?
7?a
3
?7km?7
3
?a
1
?7
2
?
(a
2
?km)?7?a
3
?7
3
?(a
1
?t)?7
2
?a
3
这样,
x
k?1
的进制表示中,的系数(即从左到右第位)为,与
x
k?1
?P
矛盾。
∴集合
P
中任意个不同的数都不能构成等差数列。
∴
n
的最大值为。
………………… 分
鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。
9 9