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福建省高中数学竞赛

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:37
tags:2013全国高中数学联赛

广州高中数学教师招聘真题-邢台市高中数学试卷

2020年9月19日发(作者:常勇)


年福建省高中数学竞赛

暨年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案

(考试时间:年月日上午:-:,满分分)

一、填空题(共小题,每小题分,满分分。请直接将答案写在题中的横线上)

*.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?32

a
n?1
?a
n
?2n

n?N
),则
a
n
的最小值为。

n
【答案】
31

3
【解答】由
a
1?32

a
n?1
?a
n
?2n
知,

a
n
?a
n?1
?2(n?1)

a
n? 1
?a
n?2
?2(n?2)
,……,
a
2
?a< br>1
?2?1

a
1
?32


上述
n
个等式左右两边分别相加,得
a
n
?n(n?1)?32



a
n
aa
325231

n?6< br>时,
n
?


?n?1?
,又
n?5
时,
n
?
nnn5n3
a
n
31
取最小值。
n3

n?6
时,
.对于函数
y?f(x)

x?D
,若对任意的
x
1
?D
,存在唯一的
x< br>2
?D
,使得
32
f(x
1
)f(x
2)?M
,则
32
称函数
f(x)

D
上的几何 平均数为
M
。已知
f(x)?x?x?1

x?
?
1,2
?
,则函数
f(x)?x?x?1

?
1,2
?
上的几何平均数
M?

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。
【答案】
5

2
【解答】 ∵ 当
1?x?2
时 ,
f
?
(x)?3x?2x?x(3x?2)?0


∴< br>f(x)?x?x?1
在区间
?
1,2
?
上为增函数,其值域 为
?
1,5
?


32
∴ 根据函数
f(x)
几何平均数的定义知,
M?5


.若三 个非零且互不相等的实数
a

b

c
满足
112< br>??
,则称
a

b

c
是调和的;若满足< br>a?c?2b

abc
则称
a

b

c
是等差的。已知集合
M?
?
xx?2013,x?Z
?
,集合
P
是集合
M
的三元子集,即
P?
?
a,,b c
?
?M
。若集合
P
中元素
a

b

c
既是调和的,又是等差的,则称集合
P
为“好集”。则
不同的 “好集”的个数为。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。
【答案】

?
112
?
??
【解答】若
a

b

c< br>既是调和的,又是等差的,则
?
abc

a??2b

c?4b


?
?
a?c?2b
即“好集”为形如
?
?2b,,b4b
?

b?0
)的集合。

由 “好集”是集合
M
的三元子集知,
?2013?4b?2013

b ?Z
,且
b?0



?503?b?503
,< br>b?Z
,且
b?0
。符合条件的
b
可取个值。

1 9


∴“好集”的个数为。

.已知实数
x< br>,
y
满足
xy?1?4x?y
,且
x?1
,则
(x?1)(y?2)
的最小值为。

【答案】
27

【解答】由
xy?1?4x?y
知,
y?
4x?1

x?1

(x?1)(y?2)?(x?1)(

x?1?t
, 则
t?0


4x?13(x?1)(2x?1)

?2)?
x?1x?1
(x?1)(y?2)?
1
t
3(x?1 )(2x?1)3(t?2)(2t?1)1
??6(t?)?15?27


x?1tt
当且仅当
t?
,即
t?1

x?2

y?7
时等号成立。


(x?1)(y?2)
的最小值为。

.如图,在四面体
ABCD
中,
AB?平面BCD

△BCD
是边长为的等边三
角形。若
AB?2
,则四面体
ABCD
外接球的面积为。

【答案】
16
?

【解答】如图,设正
△BCD
的 中心为
O
1
,四面体
ABCD
外接球的球心为
O


OO
1
?平面BCD

OO
1
∥AB< br>,
BO
1
?

AB
中点
E



OA?OB
知,
OE?AB

OE∥O
1< br>B

OO
1
?EB?1


于是,
OA?OB?2


∴ 四面体
ABCD
外接球半径为,其面积为
16
?


.在正十边形的个顶点中,任取个点,则以这个点为顶点的四边形为梯形的
概率为。

【答案】
23
??3?3


32
2

7
A
10
。则

【解答】设正十边形为
A
1
A
2

A
1
A
2
为底边的梯形有
A
1
A
2
A
3
A
10

A1
A
2
A
4
A
9

A
1A
2
A
5
A
8
共个。同理分别以
A
2
A
3

A
3
A
4

A
4
A
5
、…、
A
9
A
10

A10
A
1
为底边的梯形各有个。这样,合计有个梯形。

A
1
A
3
为底边的梯形有
A
1
A
3< br>A
4
A
10

A
1
A
3
A
5
A
9
共个。同理分别以
A
2
A
4

A
3
A
5

A
4
A
6
、…、
A
9
A
1

A
10
A
2
为底边的梯形各有个。这样,合计有个梯形。


A
1
A< br>4
为底边的梯形只有
A
1
A
4
A
5
A
10
个。同理分别以
A
2
A
5

A3
A
6

A
4
A
7
、…、
A
9
A
2

A
10
A
3
为底边的< br>梯形各有个。这样,合计有个梯形。

2 9


所以,所求的 概率
P?
30?20?102
?


4
C
10
7
.方程
sin
?
x?
?
数)。

【答案】

【解答】设
?
?x
?
x
?< br>1?
(符号
?
x
?
表示不超过
x
的最大整< br>?
??
?
?
在区间
?
0,2
?
?< br>内的所有实根之和为。
?
2
?
2
?
2
??
x
?
x
?
x
??
x
?
x< br>??0?
,则对任意实数,
???
?1


??222
?????
2
?
原方程化为
sin
?
x ?
?
?
① 若
0?
?
?
?
x
?< br>1?
?
?
?


2
?
??
2
?
?
?
x
?
1?
?
x
?
1


?
?
,则
sin
?
x?
?
??
?
?
?0

?
x?k
?

k?Z

?
2
?
2
?
?
2
?
2
?

x?k

k?Z
)。结合
x?
?
0,
,,,,,。

2
?
?
知,
x?0

经检验,
x?0
,,,符合要求。

② 若1
?
x
?
1
?
?
x
?
1?< br>?
??
?1
,则
sin
?
x?
?
? ?
?
?
?1

?
x?2k
?
?
?

k?Z
)。

2
?
2
?
2?
?
2
?
2
?

x?2k?
1159

k?Z
)。结合
x?
?
0,2
?
?知,
x?
,,。

2222
159
,,均不符合要求。

222
经检验,
x?
∴ 符合条件的
x
为,,,,它们的和为。

x
?
.已知
f(x)

R
上增函数,且对任意
x?R
,都有
f
?
f(x)?3
??
?4
,则
f(2)?


【答案】

【解答】依题意,
f(x)?3
为常数。设
f (x)?3?m
,则
f(m)?4

f(x)?3?m



3?m?4

3?m?4?0
。易知方程
3?m?4?0
有唯一解
m?1



f(x)?3?1

f(2)?3?1?10


.已知集合
A
的元素都是整数,其中最小的为,最大的为。且除以外,
A
中 每一个数都等于
A
中某两个
数(可以相同)的和。则
A
的最小值为。 (符号
A
表示集合
A
中元素的个数)
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。
【答案】

【解答】易知集合
A?
?
1,,,,2351 0,20,40,80,160,200
?
符合要求。此时,
A?10

下面说明
A?9
不符合要求。

假设集合
A?
?
1,x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
,x
6
,x
7
,200
?
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?x
6
?x
7
符合要求。


x1
?1?1?2

x
2
?2?2?4

x3
?8

x
4
?16

x
5
?32

x
6
?64

x
7
?128

由于
x
6
?x
7
?64?128?192 ?200
,因此,
200?x
7
?x
7

x
7
?100


3 9
x2
xxx
mmm< /p>


同理,由
x
5
?x
6
?32?64?96?1 00
,知,
x
7
?100?x
6
?x
6

x
6
?50



x
4
?x5
?16?32?48?50
,知,
x
6
?50?x
5
?x
5

x
5
?25


x
3
?x
4
?8?16?24?25
,知,
x
5
?25?x
4
?x
4

x
4
?
25

x
4
为整数矛盾。

2

A?9< br>不符合要求,
A?9
。同理,
A?8
也不符合要求。

因此,
A
的最小值为。

?
x,若x为无理数
78
?
.已知函数
f(x)?
?
q?1
,则函数在区间
(,)
f(x)
q
*
,若x?,其中p,q?N,且p、互质,qp?q89
?
pp
?
上的最大值为。

【答案】
16

17
78
89
a78


?(,)
a

?
?N
*

a?
?
89
【解答】若
x
为有理数,且
x?(,)
。设
x?

?
9a?8a?8
?
7a8

7
?
?a?8
?


??
知,
?
8a?
?
9
7a?7
?
?8a
?

?
?1
时,
a不存在;


?
?2
时,存在唯一的
a?15
,此时
x?
1516

f(x)?


1717< br>*

?
?3
时,设
a?7
?
?m
, 其中
1?m?
?
?1
,且
m?N
,此时
f(x)?
7
?
?m?1


8
?
?m
∵< br>167
?
?m?19
?
?m?17(
?
?m)?(8
?
?17)
????0


178
?
?m 17(8
?
?m)17(8
?
?m)
∴ 若
x
为 有理数,则
x?
1516
时,
f(x)
取最大值。

1717
816
?


917
16


17

x
为无理数,且< br>x?(,)
时,
f(x)?x?
78
89
综合以上可知,f(x)
在区间
(,)
上的最大值为
78
89
二、解答 题(共小题,每小题分,满分分。要求写出解题过程)

.将各项均为正数的数列
?< br>a
n
?
排成如下所示的三角形数阵(第
n
行有
n个数,同一行中,下标小的数排在
左边)。
b
n
表示数阵中,第
n
行、第列的数。已知数列
?
b
n
?
为等比数列,且从第行 开始,各行均构成公差

d
的等差数列(第行的个数构成公差为
d
的 等差数列;第行的个数构成公差为
d
的等差数列,……),
a
1
?1

a
12
?17

a
18
?34

酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。
n)
(用
m

n
表示)()求数阵中第
m
行、第
n
列的数
A(m,


4 9


()求
a
2013
的值;

()是否在该数阵中?并说明理由。

【解答】()设
?
b
n
?
的公比为
q


依题意,
a
12为数阵中第行、第列的数;
a
18
为数阵中第行、第
列的数。












a
1



a
10

a
2


a
8


a
3


a
9


a
4


a
5


a
6






b
1
?1

b
n
?q
n?1

a
12
?q
4
?d?17

a
7


a
18
?q
5
?2d?34
。 …………… 分

n?1

q?2

d?1

b
n
?2









n)?b
m
?(n?1)d?2
m?1
?n?1
。 ………………… 分


A(m,
()由
1?2?3??62 ?1953

1?2?3??62?63?2016

2013?1953? 60
知,

a
2013
为数阵中第行,第列的数。

62

a
2013
?2?59
。 ………………… 分
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。
()假设为数阵中第
m
行、第
n
列的数。

∵ 第
m
行中,最小的数为
2

2
m?1
m?1
,最大的数为
2
m?1
?m?1


?2013?2
m?1
?m?1
……………①。

m?1< br>m?1
由于
m?10
时,
2
由于
m?11
时 ,
2
?m?1?2
9
?9?512?2013
,因此
m?1 0
不符合①;

?2
10
?1024?2013
,因此m?11
不符合①;

∴ 上述不等式①无正整数解。

∴ 不在该数阵中。 ………………… 分
謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。
.已知
A

B
为抛物线< br>C

y?4x
上的两个动点,点
A
在第一象限,点
B
在第四象限。
l
1

l
2
分别过点
2A

B
且与抛物线
C
相切,
P

l< br>1

l
2
的交点。
厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。
( )若直线
AB
过抛物线
C
的焦点
F
,求证:动点
P
在一条定直线上,并求此直线方程;

()设
C

D
为直线
l
1

l
2
与直线
x?4
的交点 ,求
△PCD
面积的最小值。

2
y
1
2
y
2
y
1
)

B(,y
2
)
(< br>y
1
?0?y
2
)【解答】()设
A(,


44
y
1
2
)


易知
l
1
斜率存在,设为
k
1
,则
l
1
方程为
y?y
1
?k
1
(x?
4
?
y
1
2
?
y?y
1
?k
1
(x?)
22
?
4
得,
k
1
y?4y?4y
1
?k
1
y
1
?0
……………①

?
y
2
?4x
?
由直线
l
1
与抛物线
C
相切,知
△?16?4k
1
(4y
1
?k
1
y
1
)?0


于是,
k
1
?
2
221
x?y
1



l
1
方程为
y?
y
1
y
1
2
21
x?y
2


y
2
2
5 9
同理,
l
2
方程为y?


联立
l
1

l
2
方程可得 点
P
坐标为
P(
y
1
y
2
y
1< br>?y
2
,)
…………………… 分

42

k
AB
y
1
?y
2
4
y
1
2< br>4
?
2
?

AB
方程为
y?y
1< br>?
0)


(x?)

AB
过抛物线
C
的焦点
F(1,
2
y
1
y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
4
?
44
y
1
2
4

?y
1
?(1?)

y
1
y
2
??4


y
1
?y
2
4

x
P
?
y
1
y2
??1
,点
P
在定直线
x??1
上。………………… … 分

4
y
1
)

B(x
2
,y
2
)
,则
l
1
方程为
y
1
y ?2(x?x
1
)

l
2
方程为
y
2y?2(x?x
2
)


或解:设
A(x
1

…………………… 分

y
0
)
,则
y
1
y
0
?2(x
0< br>?x
1
)

y
2
y
0
?2(x0
?x
2
)



P(x
0

y
1
)

B(x
2
,y
2
)< br>坐标满足方程
yy
0
?2(x
0
?x)


∴ 点
A(x
1

∴ 直线
AB
方程为
yy
0
?2(x
0
?x)


由直线
A B
过点
F(1,0)
,知
0?2(x
0
?1)
。< br>

x
0
??1
。点
P
在定直线
x ??1
上。…………………… 分

()由()知,
C

D
的坐标分别为
C(4,?
8
y
1
181
y
1
)

D(4,?y
2
)


2y2
2

CD?(
(y
1
y
2
?16) (y
1
?y
2
)
8181


?y
1
)?(?y
2
)?
y
1
2y
2
22y
1
y
2

S
△PCD
?
yy(yy?16 )(y
1
?y
2
)
1
。…………………… 分

4?
12
?
12
242y
1
y
2
2

y
1
y
2
??t

t?0
) ,
y
1
?y
2
?m


2222

(y
1
?y
2
)?(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
?m?4t?0
知,
m?2t
, 当且仅当
y
1
?y
2
?0
时等号成立。


S
△PCD
1t
2
(?t
2
?16)mm?(t
2
?16)
2
2t?(t
2
?16)
2
( t
2
?16)
2


?4?????
24?2t< br>2
16t
2
16t
2
8t
(t
2
? 16)
2
2(t
2
?16)?2t?t?(t
2
?16)< br>2
(3t
2
?16)(t
2
?16)
?
设< br>f(t)?
,则
f
?
(t)?


8t8t
2
8t
2

0?t?
?
43
?
4 343
时,
f
?
(t)?0

t?
时,
f
?
(t)?0

f(t)
在区间
?
0,
?
上为减函数;在区间
?
33
3
??
?
43
?
,??
?
?
?
上为增函数。

3
??< br>∴
t?
431283
时,
f(t)
取最小值。

39
6 9


∴ 当
y
1
?y
2
?0

y
1
y
2
??
………………… 分

1283
44
16
,即
y
1
?

y
2
??
时,
△PCD
面积取最小值。
9
3
33
.如图,在
△ABC
中,
?B?90?
,它的内切圆分别与边
BC

CA

AB
相切于点
D

E

F
,连接
AD

与内切圆相交 于另一点
P
,连接
PC

PE

PF
、< br>FD

ED


()求证:
FPEP
FD
?
ED


()若
PE∥BC
,求证:
PC?PF


【解答 】()由条件知,
?AFP??ADF

?FAP??FA

D

△AFP∽△ADF

APFP
AF
?
D F
。…………………
同理,由
?AEP??ADE

?PAE??EAD
知,

△AEP∽△ADE

EP
DE
?
AP
AE



AF?AE



EPAPAPFPDE
?
AE
?
AF
?
DF



FP
FD
?
EP
ED


………………… 分

()∵
PE∥BC



?PED??EDC??DPE??CED



△DPE∽△CDE



EPPD
ED
?
DC
………………… 分

结合()可知,
FPDP
FD
?
DC



?PFD??PD

C


△PFD∽△PDC

?PCB??PDF??PFA



P

F

B

C
四点共圆。< br>

?B?90?



?FPC?90?

PC?PF
。………………… 分.已知
f(x)?2ln(x?1)?
1
x(x?1)
?1
。< br>
7 9





( )求
f(x)
在区间
?
1,??
?
上的最小值;

()利用函数
f(x)
的性质,求证:
ln1?ln2?ln3?
( n?1)
2
*
?lnn?

n?N
,且
n?2);

2n
()求证:
ln1?ln2?ln3?
222
(n?1)
4
*
?lnn?

n?N
,且
n?2
)。

3
4n
2
22x?12x
3
?2x
2
?2x?1(2x
3
?1)?2x(x?1)
?
2
??
【解答】()∵
f
?
(x)?


2222 2
x?1x(x?1)x(x?1)x(x?1)

x?1
时,
f< br>?
(x)?0
,即
f(x)
在区间
?
1,??
?
上为增函数。


f(x)
在区间
?
1,??
?
上的最小值为
f(1)?2ln2?
1
。 …………… 分

2
()由()知,对任意的实数
x?1
2ln(x?1)?
11
?1?2ln2??0
恒成立。

x(x?1)2
∴ 对任意的正整数
k

2ln(k?1)?
……………… 分

1
11
?1?0
,即
2ln(k?1)?1?(?)
恒成立 。

k(k?1)
kk?1

2ln2?1?(?)
2ln3?1?(?)
,……,
2lnn?1?(
11
12
11
23
11
?)


n?1n
11
?
?
?
1?(?)
n?1n
?
?


?< br>?

2ln2?2ln3?
11
?
?2lnn?
?< br>1?(?)
12
?
11
??
?1?(?)
??
23
??
?
?
?
?

2ln2?2ln3?1(n?1)
2
?2lnn?n?1?(1?)?


nn
(n?1)
2
?lnn?
。…………… 分
< br>2n
?1
2
)?(ln1?ln2?ln3??lnn)
2



n?N
,且
n?2
时,
ln1?ln2?ln 3?
()由柯西不等式知,

*
(ln
2
1?ln
2
2?ln
2
3?
结合()的结论可知,

?ln
2
n)(1
2
?1
2
?1
2
?

n?N
,且
n?2
时,
ln1?ln2?ln3?
……………… 分

.已知集合
P?
*
222
1(n?1)
4(n?1)
4
?lnn???


n4n
2
4 n
3
2
?
xx?7
3
?a?7
2
?b?7 ?c,其中a,,为不超过bc6的正整数
?

x
1

x< br>2

x
3
,…,
x
n
为集合
P中构成等差数列的
n
个元素。求
n
的最大值。

【解答】()显然,,,,,这个数在集合
P
中,且构成等差数列。

………………… 分

()下面证明集合
P
中任意个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。

8 9



x
1

x
2

x
3
,…,
x
7
为集合
P
中构成等差数 列的个不同的元素,其公差为
d

d?0


由集合
P
中元素的特性知,集合
P
中任意一个元素都不是的倍数。

∴由 抽屉原理知,
x
1

x
2

x
3
,…,
x
7
这个数中,存在个数,它们被除的余数相同,其差能被整除。设
x
i
?x
j

i,j?
?
1,,,,,,23456 7
?

i?j
)能被整除。则
7(j?i)d

茕 桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。

7d
。………………… 分


d?7m

m
为正整数),

32
设< br>x
1
?7?a
1
?7?a
2
?7?a
3
a
1

a
2

a
3
为不超 过的正整数)。

32

x
i
?7?a
1
?7?a
2
?7?a
3
?7(i?1)m
,其中
i?2,,…,。

3232

x
7
?7?6?7?6?7? 6

x
7
?7?1?7?1?7?1?7(7?1)m



1?m?6
,即公差
d
只能为
7?1

7?2
,…,
7?6
。………………… 分


1?m?6

(7,m)?1



m

2m
,…,
6m
除以以后的余数各不相同,分别为,,…,中的一 个。

因此,存在
k?
?
1,,,,,


23456
?
,使得
a
2
?km
能被整除,设
a
2
?km?7t

t
为正整数)

x
k? 1
?7
3
?a
1
?7
2
?a
2
? 7?a
3
?7km?7
3
?a
1
?7
2
? (a
2
?km)?7?a
3
?7
3
?(a
1
?t)?7
2
?a
3

这样,
x
k?1
的进制表示中,的系数(即从左到右第位)为,与
x
k?1
?P
矛盾。

∴集合
P
中任意个不同的数都不能构成等差数列。


n
的最大值为。 ………………… 分
鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。

9 9

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