2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(47)

加试模拟训练题（47）
（附详细答案）

1.

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B。所作割线交圆于C、D两点，
C在P、D之间 ，在弦CD上取一点Q，使?DAQ＝?PBC，求证：?DBQ??PAC.














2.求出所有能使不等式组


成立的所有解（x
1< br>，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
），其 中x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
都是正实数．

3. 有两个同心圆盘，各分成 n个相等的小格．外盘固定，内盘可以转动(如图所示)．内外
两盘小格上分别填有实数： a
1
，a
2
，…，a
n
；b
1
，b
2
，…，b
n
，且满足条件：a
1
＋a
2
＋a
3< br>＋…
＋a
n
＜0，b
1
＋b
2
＋b
3
＋…＋b
n
＜0．证明：可将内盘转动到一个适当位置，使两个盘的小格对
齐，这时，两个盘n个对应小格内数字乘积的和为一正数．











4. 求下列方程的整数解：y－x=91．
【题说】1949年～1950年波兰数学奥林匹克二试题2．
33

加试模拟训练题（47）
1.

过圆 外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B。所作割线交圆于C、D两点，
C在P、D之间，在 弦CD上取一点Q，使?DAQ＝?PBC，求证：?DBQ??PAC.

证：如图：连结A B，在?ADQ与?ABC中，
?ADQ??ABC,?DAQ??PBC??CAB
??AD Q??ABC
从而有
BCDQ
??BC?AD?AB?DQ
ABAD
又由切割线关系可知：?PCA??PAD
PCAC
?
PAAD















?
PCBC
同理：由?PCB??PBD得：?PBBD
又
?
PA?PB
ACBC
??AC?BD?BC?AD ?AB?DQ
ADBD
又
?
关于圆内接四边形ABCD的托勒密定理有：?
AC?BD?BC?AD?AB?CD
1
CD?CQ?DQ
2
ADDQCQ
在?CBQ与?ABD中：＝＝,?BCQ??BAD
ABBCBC
?? CBQ??ABD
于是：AB?CD?2AB?DQ?DQ?
??CBQ??ABD
? ?DBQ??ABC??PAC

2.求出所有能使不等式组


成立 的所有解（x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
），其中x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
都是正实数．
【题说】第十四届（1972年）国际数学奥林匹克题4．本题由荷兰提供．
【解】为方便起见，令x
5+i
=x
i
，则可以把原不等式组简写为

将它们加起来得



=x
5
=x< br>2
=x
4
．反之，如果x
i
都相等，原不等式组当然成立．
3. 有两个同心圆盘，各分成n个相等的小格．外盘固定，内盘可以转动(如图所示)．内外
两盘小格上分别填有实数： a
1
，a
2
，…，a
n
；b< br>1
，b
2
，…，b
n
，且满足条件：a
1
＋ a
2
＋a
3
＋…
＋a
n
＜0，b
1
＋b
2
＋b
3
＋…＋b
n
＜0．证明：可将内盘转动到一 个适当位置，使两个盘的小格对
齐，这时，两个盘n个对应小格内数字乘积的和为一正数．

【题说】 1978年安徽省赛二试题4．
【证】如图所示，对应 小格上两数乘积的和为a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋…＋a
n
b
n
记为A
1
．
将内盘按顺时针方 向转动一格，对应小格上两数乘积的和为a
1
b
2
＋a
2
b
3
＋…＋a
n
b
1
记为A
2
．转
动i格，对应小格上两数乘积之和为a
1
b
i＋1
＋a
2
b
i＋2
＋…＋a
n
b
i
记为 A
i＋1
(i＝1，2，…，n－1)．A
1
＋A
2
＋…＋A
n
＝( a
1
＋a
2
＋…＋a
n
)(b
1
＋b2
＋…＋b
n
)＞0
所以A
1
，A
2
，…，A
n
中至少有一个正数，即结论成立．


B2－062 求下列方程的整数解：y－x=91．
【题说】1949年～1950年波兰数学奥林匹克二试题2．
【解】原方程化为
（y－x）（y+xy+x）=13×7 （1）
22
33

种情形：
1．y－x=91．y+xy+x=1．
这个方程组没有实数解，更没有整数解．
2．y－x=1，y+xy+x=91．
解为x=5，y=6；x=－6，y=－5．
3．y－x=13，y+xy+x=7．
这个方程组没有实数解．
4．y－x=7，y+xy+x=13．
22
22
22
22

解为x=－3，y=4；x=－4，y=3．
因此，方程（1）有四组整数解
x=5，y=6；x=-6，y=－5
x=－3，y=4；x=－4，y=3