2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(35)

加试模拟训练题（35）
（附详细答案）

1
、
平面上给定一个锐角三角形ABC．过顶点B的高交以AC为直径的圆于P，Q，过顶点
C的高交以AB 为直径的圆于M、N．求证：M、N、P、Q四点共圆．







2. 设
a,b,c
是正实数,且满足
abc?1
,证明:
?
?
a?1?
1
??
b?1?
1
??
1
??
b
?
?
?
?
c
?
?
??
c?1?
a
?
?
?1



















(第41届国际数学奥林匹克试题)

3、 某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队 ．根据比赛规则，每两队之
间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛．比赛若干天后进行统计 ，发现除A
市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．









4．求不定方程5
x
－3
y
=2的正整数解。

加试模拟训练题（35）
1
、
平面上给定一个锐角三角形ABC．过顶点B的高交以AC为
直径的圆 于P，Q，过顶点C的高交以AB为直径的圆于M、N．求
证：M、N、P、Q四点共圆．
【题说】 1992年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克(最后一轮)题6．
【证】 由于MN和PQ的垂直平分线分别是AB和AC．所以，
AM＝AN，AP＝AQ．
设B'，C'分别是AC与AB边上高的垂足，于是由射影定理，得
AM
2
＝AC'·AB＝AB·ACcos∠BAC
AP
2
＝AC·AB'＝AB·ACcos∠BAC
所以AM＝AP，从而M、N、P、Q四点在以A为圆心的圆上．
2. 设
a,b,c
是正实数,且满足
abc?1
,证明:
1
? ?
1
???
?
a?1?
??
b?1?
??
c?1?
b
??
c
???
1
?
?
?1 (第41届国际数学奥林匹克试题)
a
?
分析与证明: 令
x?< br>3
a,y?
3
b,z?
3
c
.易知
xyz? 1
.则
(xyz)
2
x
2
11
3
3?(xy?y
2
z?z
2
x)

a?1??x?1?< br>3
=
x?xyz?
3
b
y
y
y
同理 有其它两式,再令
u?x
2
y,v?y
2
z,w?z
2
x
.
则原不等式等价于齐次不等式:
(u?v?w)(v?w?u)(w?u?v)?uvw
.
?
u?v?w?v?w?u
?
2
因为
(u?v?w)(v?w?u)
?
??
?v

2
? ?
2
同理有
(v?w?u)(w?u?v)?w
2
;
(w?u?v)(v?u?w)?u
2
.
故
[(u?v?w)( v?w?u)(w?u?v)]
2
?（uvw)
2
.
从而原不等式成立.

3、 某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队．根据 比赛规则，每两队之
间至多赛一场，并且同一城市的两队之间不进行比赛．比赛若干天后进行统计，发现 除A
市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．
【题说】 1985年全国联赛二试题3．
【解】 32个队参加比赛，根据规则，每队 至多赛30场．除A市甲队外，31个队比赛过的
场数各不相同，因此这些队比赛场数分别为0，1．2 ，…，30．

设赛过k场的队为T(k)(k＝0，1，2，…，30)．首先考察T (30)．由于它已赛完30场，所
以其它各市的每一个队都和它比赛过，只有T(0)队未和T(30 )队比赛过．于是T(30)队和T(0)
队必为同一城市的队．
再考察T(29)队．除T (0)队及T(29)队同一城市的另一队外，T(29)队显然与其它各队都比
赛过． T(1)队只和T(30)队比赛过，所以T(29)队和T(1)队必为同一城市的队．
同理，T( 28)队和T(2)队，T(27)队和T(3)队，…，T(16)队和T(14)队各为同一城市的两队．所
以A市乙队只能是T(15)队．即：A市乙队已赛过15场．
4．求不定方程5
x
－3
y
=2的正整数解。
解：显然x =1
，
y=1是原方程的解，若x
?
1
，
则y
?< br>1。
因
5
x
?
1(mod4)
，
3?(? 1)(mod4)
，
1
－
(?1)?2(mod4)
，
故y =2y
1
+1是奇数(y
1
∈N)
因
3?0(mod9)
，故
5?2(mod9)
。因
5??1(mod9),5?1(mod9), 5?2(mod9)
，
故
5
6q?5
yx365
yyy< br>?5
5
?2(mod9)
，正整数x为6q+5形式的整数。
6x5 5
因为
5?(?2)?1(mod7)
，所以
5?5?(?2)?3(mod 7)
，
而
3?3
y
2y
1
?1
6
?2
y
1
?3?6?5?3(mod7)
，故对任意不为1的正整数x，
y，
5
x
?3
y




2(mod7)。此时原方程无解。综上，原方程只有一组正整数解：（1，1）。