2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(41)

加试模拟训练题（41）
（附详细答案）

1
、
设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点．求
证：P、 H、Q三点共线．








2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：
(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；
(2)f(2)＝0；
(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．

3、 集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列 条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几
个？
(1)i，j∈A，i≠j则f(i)≠f(j)；
(2)i，j∈A，i＋j＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．














4、 求所有的正整数n 、m，满足
n
5
+n
4
=7
m
-1
．

加试模拟训练题（41）
1
、
设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、
A Q，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．
【题说】 1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1．
【证】 设BC中点为O，连结AO，PQ，交于G，则AO⊥PQ．
在Rt△AQO中，由射影定理有AQ
2
＝AG·AO (1)
作AD⊥BC于D，则H在AD上．连结BH，延交AC于E，则BE⊥AC，
且E在 圆周上．而有H、D、C、E共圆，从而AH·AD＝AE·AC＝AQ
2
(2)
由(1)、(2)，得AH·AD＝AG·AO
因此H、D、O、G共圆．从而∠HGO＝180?－∠HDO＝90?，即H在PQ上．
【另证】 设BC中点为O，AD、BE为高，则AD、BE都过H，并且E在以BC为直径的
圆上，O是这圆的圆心．
因为∠ADC＋∠HEC＝90?＋90?＝180?，所以E、C、D、H四点共圆，
AH·AD＝AE·AC．又AQ是⊙O切线，所以AE·AC＝AQ
2
．
因为AH·AD＝AQ
2
，所以△AHQ∽△AQD，∠AHQ＝∠AQD．同理，∠AHP＝ ∠APD．
因为P、D、Q都在以OA为直径的圆上，所以∠AQD＋∠APD＝180?．
从而∠AHQ＋∠AHP＝180?，即P、H、Q三点共线．
2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：
(1)f( xf(y))f(y)＝f(x＋y)；(2)f(2)＝0；(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．
【题说】第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题5．本题由英国提供．
解：如果ω＞ 2，那么在(1)中取y＝2，x＝ω－2，就得f(ω)＝f((ω－2)f(2))·f(2)＝0

因为x≥0，在(1)中令0≤y＜2，则

这样一来，当0≤y＜2，x＞0时，有

综合上述，所求的f是

不难验证这一函数满足题中条件．
3、 集合A＝{0，1，2，3，4，5，6 ，7}，满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几
个？
(1)i，j∈A，i≠j则f(i)≠f(j)；
(2)i，j∈A，i＋j＝7，则 f(i)＋f(j)＝7．
【题说】 1994年日本数学奥林匹克预选赛题8．
【解】 记A
0
＝{0，7}，A
1
＝{1，6}，A
2
＝{2，5 }，A
3
＝{3，4}．由条件(2)可知A
i
中元素的
像必在同一 个A
j
．由(1)，不同的A
i
，相应的A
j
不同．于是i 与j(1≤i，j≤4)的有序对有4！
种配法，而各个A
j
中的元素作为像可以互换 ，因而有2
4
种．故所要求的映射共有
4×2
4
＝384(种)
4、 求所有的正整数n、m，满足
n
5
+n
4
=7
m
-1
．
解 原方程等价于
(n
3
-n+1)(n< br>2
+n+1)=7
m
．
显然，
n?1
．
当
n?2
时，
n
3
-n+1=(n-1)(n
2
+ n)+1>1,n
2
+n+1>1
．
设
n
3
-n +1=7
a
,n
2
+n+1=7
b
，其中
a,b? N
?
．于是，

(n-1)(7
b
-1)=(n-1)( n
2
+n)=7
a
-1
．
因此，
(7
b
-1)|(7
a
-1)
，即
(7
a
-1,7
b
-1)=7
b
-1
．
又因为
(7
a
-1,7
b
-1)=7
(a,b)
-1
，得到
b=(a,b )
，即
a?kb(k?N
?
)
．
则
n
3
-n+1=7
a
=7
kb
=(n
2
+n+1)k
．
当
k=1
时，有
n
3
-n+1=n2
+n+1
，
n=2
．
当
k?2
时，有

(n
3
?n?1)?(n
2
?n?1)
k
?(n
3
?n?1)?(n
2
?n?1)
2
??n
4
?n
3
?3n
2
?3n?0
，

矛盾．综上所述，
n=2,m=2
是原方程的唯一一组解．