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四川高中数学竞赛试题及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 00:40
tags:2013全国高中数学联赛

高中数学必修五不等式线性规划-高中数学会考补考没脸去

2020年9月19日发(作者:沈鸿烈)


全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足:
f
?
x?3
?
??
【 】
1
,若
f(

f(0 )?2

2013)
f
?
x
?
?

1
1
A、
?
B、 C、2 D、2013
2
2
2、设等差数列
?
a
n
?
与等比数列
?
b
n
?< br>满足:
0?a
1
?b
1
?a
5
?b
5
,则下述四个结论:

a
3
?b
3
; ②
a
3
?b
3
; ③
a
6
?b
6
; ④
a
6
?b
6
中正确的个数是 【 】
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 < br>3、已知二面角
?
?l?
?
的平面角为
?

PA?
?

PB?
?

A

B
为 垂足,
PA=5

PB=4
,设
A

B
到 二面角的棱
l
的距离分别为
x

y
,当
?
变化时,点
(x,y)
的轨迹为下
列图形中的 【 】
A、 B、 C、 D、
4、从
[0,10]
上任取一个数
x
,从
[0,6]
上任取一个数
y
,则使得
|x?5|?|y?3|?4
的概
率是 【 】
113
1
A、 B、 C、 D、
5
324
5、当平面上的点
(x,y)
的坐标
x

y
都为有理数时,该点称为有理点,设
r
是给定的正
实 数,则圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?r
2
上的 有理点 【 】
A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个
6、△ABC 中,
?C?90
?

?B?30
?
,
AC=2,M是AB的中点,将△ACM沿CM翻折,
使A、B两点间的距离为
22
,则三 棱锥
A?BCM
的体积等于 【 】
A、

2
2
B、
3
3
C、
6

3
D、
22

3
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
3?x
)?m
,,记
f(1)?f(2)?f(4)???f(1024
1?x
1111< br>f()?f()?f()???f()?n
,则
m?n?

2481024
2342013
8、已知
i
是虚数单位, z?1?i?i?i?i???i
,把复数
z
的共轭复数记为
z
,则
z?z
= .
y
2
2
?1
,则
x2?y
2
的最大值是 . 9、实数
x,y
满足
x?
16
42
10、关于曲线C:
x?y?1
的下列命题:
7、已知函数
f(x)?
① 曲线C关于原点对称; ② 曲线C关于直线
y=x
对称;
③ 曲线C所围成的面积小于
?
; ④ 曲线C所围成的面积大于
?

其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)
11
11、设
n
是小于100的正整数,且满足
(n
2
?1)?n
为整数,则符合条件的所有正整数
n

35


和为 .
12、已知函数
f(x)?
a
?x
,对任意
x?(0, 1)
,有
f(x)?f(1?x)?1
恒成立,则实数
a
的取
x
π
2
值范围是 .
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
2
13、设实数
?
?0
,已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?< br>x?sin(
?
x?)
的最小正周期是
πππ
.求
f (x)

[,]
上的最大值与最小值.
284

x
3
?3x
*
14、已知函数
f(x)?
,数列满足:,
{ x}x?2
x?f(x)(n?N)
,记
n1
n?1n
2
3 x?1
x
n?1
?1

b
n
?log()
(n?N
*
)

3
x
n?1
?1
( I ) 求证:数列
{b
n< br>}
成等比数列,并求数列
{b
n
}
的通项公式;
( II)记
c
n
??nb
n
(n?N
*
)
, 求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n







x
2< br>15、已知点
B(0,1)
,P、Q为椭圆
+y
2
=1
上异于点B的任意两点,且
BP?BQ

4
(I)若点B在线段PQ上的射影为点M,求M的轨迹方程;
(II)求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围.












1 6、若实数
x
0
满足
f(x
0
)?x
0
, 则称
x?x
0

f(x)
的不动点.已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?3
,其中
a,b
为常数.
(I)若
a?0
,求函数
f(x)
的单调递增区间;
(I I)若
a?0
时,存在一个实数
x
0
,使得
x?x
0
既是
f(x)
的不动点,又是
f(x)
的极值
点.求实数
b
的值;
(III)求证:不存在实数组
(a,b)< br>,使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点.


2013年全国高中数学联赛(四川)初赛试题
参考答案及评分标准
说明:
1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档;其它各题的
评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次.
2、如果考生 的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分, 5分一个档次,不要再增加其它中间档次.
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9
1
10、①④ 11、635 12、
{a|a?1或a??}

4
4
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
7、42 8、2 9、
13、已知函数
f(x)?sin
?
x ?3sin
?
x?sin(
?
x?)

f(x)

[,]
上的最大值与最小值.
2
π
2
(
?
?0)
的最小正周期是
π

2
ππ
84
解:
f(x)?
1?cos2
?
x3311
?sin2
?< br>x?sin2
?
x?cos2
?
x?

22222
?
1
?sin(2
?
x?)?
, (5分)
62
2
??
?
,则
?
?2
. 由条件知
T?
2
?
2
?
1
于是
f(x)? sin(4x?)?
, (10分)
62
??
??
5
?

?x?
时,
?4x??

84366
1
??
13

?sin(4x?)?1
,即
1?sin(4x?)? ?
. (15分)
26622
?
3
?
所以,
f(x)

x?
时取最大值,在
x?
时取最小值是
1
. (20分)
624
x
3
?3x
14、已知函数
f(x)?
,数列
{x
n
}
满足:
x
1
?2

x
n?1
?f(x
n
)(n?N
*
)
. ,
2
3x?1

b
n
?log
3
(x
n?1
?1
)

(n?N
*
)

x
n?1
?1
( I ) 求证:数列
{b
n
}< br>成等比数列,并求数列
{b
n
}
的通项公式;
(II)记< br>c
n
??nb
n
(n?N)
,求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n

*

< p>
3
x
n
?3x
n
?1
3
232
x
n?1
?1f(x
n
)?13x
n
?1x
n< br>?3x
n
?3x
n
?1
?
x
n
?1
?
解:(1)
??
3
?
3
?
??
(5分)
2
x
n?1
?1f(x
n
)?1
xn
?3x
n
x
n
?3x
n
?3x
n< br>?1
?
x
n
?1
?
?1
2
3xn
?1
于是
log
3
(
x
n?1
?1 x?1
)?3log
3
(
n
)
,即
b
n? 1
?3b
n
,所以数列
?
b
n
?
成等比数 列.
x
n?1
?1x
n
?1
2?1
)??1,于是
b
n
??3
n?1

2?1

b
1
?log
3
(
所以.数列
?
b
n< br>?
的通项公式为
b
n
??3
n?1
. (10分)
(II)由(I)知,
b
n
??3
n?1
,故
c
n
?n?3
n?1

T
n
?1?3< br>0
?2?3
1
?3?3
2
???n?3
n?1

3T
n
?1?3
1
?2?3
2
?3?33
???n?3
n

2n?1
于是
?2T
n
?1?3?3???3
3
n
?1
?n?3??n?3
n, (15分)
2
n
n?3
n3
n
?1(2n?1)?3
n
?1
??

T
n
?

244
(2n?1)?3
n
? 1
(n?N
*
)
. (20分) 所以,数列{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
?4
x
2
15、已知点
B(0,1)
,P、Q为椭圆
+y
2
=1
上异于点B的任意两点,且
BP?BQ

4
(I)若点B在线段PQ上的射影为M,求M的轨迹方程;
(II)求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围.
解:(I)设
P(x< br>1
,y
1
)

Q(x
2
,y
2)
,PQ的方程为
y=kx+m

与椭圆方程联立消去
y得:
(1+4k
2
)x
2
+8kmx+4m
2
-4=0

4m
2
-4
-8km
所以
x
1
+x
2
=

x
1
x
2
=
, (5分)
4k
2+1
4k
2
+1
y-1y
2
-1
?-1
,即
x
1
x
2
+y
1
y
2
-( y
1
+y
2
)+1=0
, 由
BP?BQ

1
x
1
x
2
(k
2
+1)(4m
2-4)-8km
+k(m-1)?
从而可得
4k
2
+14k2
+1
(m-1)
2
=0

化简得
5m
2
-2m-3=0
,解得
m=1
(舍去)或
m=-
3
5



M(x,y)
,因为
BM^PQ
,所以
k=-
x
2
3
-
, 代入PQ方程得
y=-
y-15
x

y-1
整理得
x?(y?)?()
,由题意知轨迹不经过点
B(0,1)

所以,动点
M
的轨迹方程为:
x?(y?)?()(y?1)
. (10分)
(II)PQ方程为
y=kx-
x+x
2
y
1
+y
2
12k-3
3
==
,所以
1
, < br>25(4k
2
+1)25(4k
2
+1)
5
3112 k
=-(x-)
, (15分) 所以PQ中垂线方程为
y+5(4k
2
+1)k5(4k
2
+1)
2
2
1
5
2
4
5
2
1
5
2
4
5
2
其在x轴上的截距为
b=
99
9k
??b?
,所 以,. (20分)
5(4k
2
+1)
2020
16、若实数
x
0
满足
f(x
0
)?x
0
,则称
x?x
0

f(x)
的不动点.
已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?3
,其中
a,b
为常数.
(I)若
a?0
,求函数
f(x)
的单调递增区间;
(II)若
a?0
时,存在一个实数
x
0
,使得
x ?x
0
既是
f(x)
的不动点,又是
f(x)
的极值
点.求实数
b
的值;
(III)求证:不存在实数组
(a,b)< br>,使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点.
32
解:(I)若< br>a?0

f(x)?x?bx?3
,故
f
?
(x)? 3x?b


b?0
时,显然
f(x)

R
上单增;

b?0
时,由
f
?
(x)?0

x??
bb

x???

33
所以,当
b?0
时,< br>f(x)
的单调递增区间为
(??,??)


b?0
时,
f(x)
的单调递增区间为
(??,??)

(?,??)
. (5分)
2
?
3x
0
?b?0
(II)由条件知
?
3

?
x
0
?bx
0
?3?x
0
b
3
b
3
于是
2x
0
?x
0
?3?0
,即
(x
0
?1)(2x0
?2x
0
?3)?0
,解得
x
0
?1

从而
b??3
. (10分)
32


(III)假设存在一组实数
(a,b)
满 足条件.由条件知
f
?
(x)?3x
2
?2ax?b
, < br>因为
f(x)
的两个不同极值点,则
??4a?12b?0
,即
a?3b
. ①

f(x)
的两个不同极值点为x
1
,x
2
,其中
x
1
?x
2
,则
x
1
,x
2
是方程
3x?2ax?b?0

两实根,所以
x
1
?x
2
??
2
222ab
,x
1
x
2
?

33
又由< br>x
1
,x
2

f(x)
的不动点,则
x1
,x
2
是方程
x
3
?ax
2
?(b ?1)x?3?0
的两根,设其
另一个根为
x
3
.故
x3
?ax
2
?(b?1)x?3?(x?x
1
)(x?x
2
)(x?x
3
)


x
3
?ax2
?(b?1)x?3?x
3
?(x
1
?x
2
?x
3
)x
2
?(x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x
1
)x?x
1
x
2
x
3

?
x
1
?x
2
?x
3
??a
?
故有
?
x
1
x
2
?x
2
x
3
?x
3
x
1
?b?1

?
xxx??3
?
123
于是
x
3??
a9
??
,从而
ab?27
. ②
3b
b2aa
2a
2
2b
)(?)
,即
??1?0
, 又
b?1?x
1
x
2
?(x
1< br>?x
2
)x
3
??(?
333
93
2a2
18
??1?0
,即
2a
3
?9a?162?0 (15分) 故
9a

g( x)?2x?9x?162
,则
g
?
(x)?6x?9?0


g(x)

R
上单增,从而
g(x)?0
至多有一个实 根;
又因为
g(0)??162?0

g(4)?2?0
,从而
g(x)?0
至少有一个实根;
所以,
g(x)?0
恰有一个实数根
x?a?(0,4)

由①、②知
a?3b?
2
32
81
3
,即
a?81
,这与
a?(0,4)
,矛盾! (20分)
a
所以,不存在实数组
(a,b)
,使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点 .

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