2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(附详细答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝log
a
(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ．


π
43π
2．函数f(x)＝3sin(2x－)在x＝ 处的值是 ．
424


3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值是 ．


4．第一只口袋里有3个 白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，
从两个口袋里各取出 一球，取出的球颜色相同的概率是 ．


x
2
y
2
x
2
y
2
5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c 的椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)与椭圆
2
＋
2< br>＝1有相同的离心率e，
abbc
则e的值是 ．


6．如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，对角线B
1
D与平面A
1
BC
1
交于 E点．记四棱锥E－ABCD的体
V
1
D
1
积为V
1，长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为V
2
，则的值是 ．
C
1
V
2

A
1

B
1

E

C

D

A

B

（第6题图）

7．若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值
是 ．



8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量 x
1
，x
2
，…，x
7
中有3个为a，其余为b；向量y< br>1
，
y
2
，…，y
7
中有2个为a，其余为b．则? x
i
y
i
的可能取值中最小的为 ．
i=1
7


1
e c

d
9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．
2
x
如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．

a
2015
b

（第9题图）






10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足 x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形成的区域（其中
[x]是不超过x的 最大整数）．则区域D中整点的个数为 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．在等比数列 {a
n
}中，a
2
＝2，q是公比．记S
n
为{a
n
}的前n项和，T
n
为数列{a
2
若S
2n
＝2 T
n
，
n
}的前n项和．
求q的值．








12．如图，△ABC中，AB＞A C，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE
的外接圆交于A 、P两点．
C
求证：A、P、B、C四点共圆．

E



D
A

B

P

(第12题图)







13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O
1
、圆O
2
都与直线l：y ＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径
之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．

y
l



P

O
2


O
1


O
x


(第13题图)
14．将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．
（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；
（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．










2

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝log
a
(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ．
(a＋b)
2
解：由题意 知，log
a
(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4，
4
当a＝b＝2时，ab的最大值是4．
π
43π
2．函数f(x)＝3sin(2x－)在x＝ 处的值是 ．
424
π43ππ40π10π4π
43π
4π
3
解：2x －＝－＝＝＝2π＋，所以f()＝3sin＝－．
4
3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值是 ．
解：设函数f(x)＝|ax＋1|，则f(－2)＝ f(1)＝3，故a＝2．
4． 第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，
从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．
3×10
307×6
4272
解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的概率 是．
625
25×25
625
25×25
625
2222
xyxy
5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)与椭圆
2
＋
2
＝1有相同的离心率e，
abbc
则e的值是 ．
2222
－1＋5
c
2
c－b
c
2
b－c
解：若c＞b，则
2
＝
2
，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有
2
＝
2
，解得e＝． acab2
6．如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线B
1
D与平面A
1
BC
1
交于E点．记四棱锥E－ABCD的体
V
1
积为V
1
，长 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的体积 为V
2
，则的值是 ．
V
2

D
1
D
1
C
1
C
1

O

A
1
A
1

B
1
B
1

E E

C C
D D


A A

B B
（第6题图）

（第6题图）

2
解：记四棱锥B
1
－ABCD的体积为V．如图，DE＝DB
1
，
3
21V
1
2
从而V
1
＝V．又V＝V
2
，所以＝．
33V
2
9

7．若实数集合A＝{31 x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值
是 ．
解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一 组相等，则另一组也必然相
等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0． < br>8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x
1
， x
2
，…，x
7
中有3个为a，其余为b；向量y
1
，y
2
，…，y
7
中有2个为a，其余为b．则?x
i
y
i
的可能取值中最小的为 ．
i=1
7
解：因 为a
·
a＝b
·
b＝1，a
·
b＝0，所以?x
i
y
i
的最小值为2．
i=1
7
9．在3×3的幻方中填数 ，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．
如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．
解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知
a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．
因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．
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1
2
2015
（第9题图）

（第9题图）

10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥ 0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形成的区域（其中
[x]是不超过x的最大 整数）．则区域D中整点的个数为 ．
解：区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．在等比数列{a
n
}中，a
2
＝2，q是公比．记S
n
为{a
n
}的 前n项和，T
n
为数列{a
2
若S
2n
＝2T
n< br>，
n
}的前n项和．
求q的值．
解：若q＝1，则a
n＝a
2
＝2，a
2
n
＝4，则S
2n
＝4n， T
n
＝4n，S
2n
≠2T
n
．
若q＝－1，则 a
n
＝2×(－1)
n
，a
2
n
＝4，则S
2n
＝0，T
n
＝4n，S
2n
≠2T
n
．
……………………………… 5分
24
2n
×(1－q
2n
)
2
×(1－q)
qq
－
2n
－
4
若q ≠±1，则a
n
＝2q
n2
，a
2
＝4q，从而S＝，T＝ ．
2nn
n
1－q1－q
2
……………………………… 15分
－1±17
4
由S
2n
＝2T
n
，则＝1，q2
＋q－4＝0，解得q＝．
2
q(1＋q)
2011
由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－．
2
201118099
这9个数的和为3×(－－2011)＝－，
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－．
22
e
d
a
c
x
2015
1
2
b
－1＋17－1－17
综上，q的值为和． ……………………………… 20分
22
12．如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分 别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE
的外接圆交于A、P两点．
C
求证：A、P、B、C四点共圆．
C


E E


D D

A A
B B


F
P P

(第12题图)
(第12题图)
证明：如图，连结PD，PE，PC．
因为四边形APDE是圆内接四边形,所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．
又因为AP是∠BAC的外角平分线，所以∠PAD＝∠PAF，
从而∠PED＝∠PDE，故PD＝PE． ……………………………… 10分
又∠ADP＝∠AEP，所以∠BDP＝∠CEP．
又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，
所以A、P、B、C四点共圆． ……………………………… 10分
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O
1
、圆O
2
都与直线l：y ＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径
之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．
解：由题意，圆心O
1
，O
2
都在x轴与直线l的角平分线上．
y
l
若直线l的斜率k＝tanα，
α
2t
设t＝tan，则k＝．
2
1－t
2
P
圆心O
1
，O
2
在直线y＝tx上，
O
2
可设O
1
(m，mt)，O
2
(n，nt)．
O
1

交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0． ……………………………… 4分
O
x
所以⊙O
1
：(x－m )
2
+(y－mt)
2
=(mt)
2
，

4
(第13题图)

⊙O
1
：(x－n)
2
+(y－nt)
2
=(nt)
2
，
?
(2－m )
2
＋(2－mt)
2
＝(mt)
2
，
?
m
2
－(4＋4t)m＋8＝0，
所以
?
即
?
2< br>……………… 8分
222
?
(2－n)＋(2－nt)＝(nt)，
?
n－(4＋4t)n＋8＝0，
所以 m，n是方程X
2
－(4+4t)X＋8=0的两根，mn＝8．
11
由半 径的积(mt)(nt)＝2，得t
2
＝，故t＝．……………………………… 16分
42
2t144
所以 k＝＝，直线l：y＝x． ……………………………… 20分
2
＝
133
1－t
1－
4
14．将正十一 边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．
（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；
（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．
解：（1）设正十一边形的顶点A
1
，A
2
，A
3
，…，A
11
，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．
11－1
以这 些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A
i
(i＝1，2，3，…，11)为顶角顶点 的等腰三角形有
2
＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j≠i时，以A
j为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角
形．
故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分
当k＝2时，设其中A
m
，A
n
染成红色，其余染成蓝色．
以A
m
为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A
m
为底角顶点的等腰三角形有 10个；同时以A
m
，A
n
为顶
点的等腰三角形有3个，这些等腰三 角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不 同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27
＝28个． ………………………… 10分
（2）若11个顶点中k个染红色，其余11－k个染蓝色．则这些顶 点间连线段(边或对角线)中，两端点染
k(k－1)(11－k)(10－k)
红色的有条， 两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11－k)条．并且每条连
22
线段必属于且 仅属于3个等腰三角形．
把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x
1
个，三个顶点均为蓝色的等腰三角
形有x
2
个，两个顶点为红色一个顶点为蓝 色的等腰三角形有x
3
个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰
三角形有x
4
个，则按顶点颜色计算连线段，
k(k－1)
3x
1
＋x
3
＝3×， ①
2
(11－k)(10－k)
3x
2
＋x
4
＝ 3×， ②
2
2x
3
＋2x
4
＝3×k(11－k)， ③
3
由①＋②得 3(x
1
＋x
2
)＋x
3< br>＋x
4
＝[k(k－1)＋(11－k)(10－k)]，
2
11
用③代入得 x
1
＋x
2
＝[ k(k－ 1)＋(11－k)(10－k)－k(11－k)]＝(3k
2
－33k＋110)． 22
1
当k＝5或6时，(x
1
＋x
2
)
mi n
＝(5×4＋6×5－5×6)＝10．
2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k＝5或6．………… 20分
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