全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

全国高中数学历届联赛——不等式试题汇编

1．【2016年全国联赛】设实数a满足
【答案】
【解析】
由
则由原不等式得:
.
又，故.
中，点集所
.

.则a的取值范围是________.
2．【2015年全国联赛】在平面直角坐标系
对应的平面区域的面积为______.
【答案】24
【解析】
设
先考虑点集
.
在第一象限中的部分，此时，.故这些点对应于图中的及其内部.

由对称性，知点 集
类似地，设
则点集
对应的区域是图中以原点为中心的菱形
.
及其内部.
中恰一个所覆盖的部分.
及其内部.
对应的区域是图中以为中心的菱形
由点集的定义，知所对应的平面区域是被点集

因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积.
由
由对称性知
故答案为：24
3．【2013年全国联赛】若实数
【答案】
【解析】
令
且题设等式化为
于是，
如图，在
并集.
故
从而，
.
.
满足方程
平面内，点的轨迹是以
，此时，
.
.
为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧
，

满足，则的取值范围是______.
，知两直线的交点为
.
.

?
y≥0
?
4．【2009年全国联赛】在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，
M
为
?
y≤x
，
N
是随
t
变化的区域，它由不
?
y≤2?x
?
等 式
t≤x≤t?1
所确定，
t
的取值范围是
0≤t≤1
，则
M
和
N
的公共面积是函数
f
?
t
?
?
．

y
A
C
O
DF
E
B
x

1

2
【答案】
?t
2
?t?
【解析】由题意知
f
?
t
?
?S
阴影部分面积


?S
?AOB
?S
?OCD
?S
?BEF

11
2

?1?t
2
?
?
1?t
?

22

??t
2
?t?
1

2
1111
??L
??a?2007
对一切正整数
n
都成立的最小正整数
an?1n?22n?13
5．【2009年全国联赛】使不等式
的值为 ．
【答案】
2009

【解析】设
f
?
n
?
?
得
a?2009
．
1111
．显然
f
?
n
?
单调递减，则由
f
?
n
?
的最大值
f
?
1
?
?a?2007
，可
??
L?
n?1n?22n?13
6．【2018年全国联赛】设n是正整数，
，且求证：
【答案】证明见解析
【解析】由条件知，.记，则化为
.
.
均为正实数，满足
。
要证明
对
.
，由于k
i
≥1及

知：
.
结合知，为证明①，仅需证明当时，有.

②
对n进行归纳.当n=1时，结论显然成立.
当n=2时，由可知

因此n=2时结论成立。
设n=m时结论成立，则当n=m+1时，利用归纳假设知，
.
最后一步是在③中用
从而n=m+1时结论成立
由数学归纳法可知，②对所有正整数n成立，故命题得证.
7．【2017年全国联赛】设k、m为实数,不等式
【答案】见解析
【解析】
令
则
于是
，
，
，
对所有的成立.证明:。
（注意）分别代替.
③

故
因此，。
为非负实数,满足.求的
，
8．【2017年全国联赛】设
最小值和最大值。
【答案】最小值为1，最大值为
【解析】
由柯西不等式得

=1

当
又
时，上式等号成立，故欲求的最小值为1.




当
9．【2016
时，上式等号成立，故欲求的最大值为。
年全国联赛】设实数
的最大值.
【答案】
【解析】
令
由已知得对，均有
.
若
以下考虑
由均值不等式得


.
当时，上述不等式等号成立，且有
，此时，
综上，所求最大值为.
的实数.证明：可以选取

满足.求

.
，则.
的情形.
.
10．【2015年全国联赛】设，使得

.
【答案】见解析
【解析】
首先，由
此外，若将
左边的
的对称性，可设.
不减，则问题中的不 等式
的选取.因此，可进一步设
中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的
不减， 而右边的
.
不变，并且这一改变不影响
先证明一个引理.
引理 设
证明 注意到，
于是，当时，
，
.则
.
.

；
当时，
，
.
回到原题.
由柯西不等式及引理知

，这就证明了结论.
11．【2015年全国联赛】如实数
【答案】
【解析】
.
满足，求的最小值.

将
则
故
分别记为
.

.
.
.
.
当，即时，.
此时，相应的
由于
，符合要求.
，故的最小值为.
.证明：. 12．【2014年全国联赛】设实数a、b、c满足
【答案】见解析
【解析】
若
若
则由
故
，则命题已成立.
，不妨设
，知

. ①
注意到，
.
.


. ②
当时，式①等号成立，当时，式②等号成立.

因此，式①、②中等号不能同时成立.
由于，式①、②相乘得

13．【2009年全国联赛】求证：不等式
【答案】
【解析】
证明：首先证明一个不等式：
⑴
事实上，令
．
则对，
．
于是
．
在⑴中取
⑵
令
得
．
，则，
．
）



因此
又因为
．

．
从而



．


1．【2018年浙江】设
【答案】3
【解析】
，则有________个不同的解.
因为
由
由
得到
，得一个解
，或
；由
.
得两个解
，则不等式
，共3个解.
的解集为________. 2．【2018年江苏】设函数
【答案】
【解析】
因为

，所以是奇函数。
，由于
所以函数f(x)是R上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.
由，得，所以
都是定义域上的减函数，
.即，解之得：

.
故答案为：
对任意实数x恒成立，则实数a的取值范 围3．【2018年贵州】若实数a使得不等式
是_______．
【答案】
【解析】
设x=ka（k∈R），则
即对，恒有
，而
．
故答案为：
满足
，则_______.
，

，所以
4．【2018年北京】已知正整数
最大值和最小值分别记作
【答案】926
【解析】
由已知可知
，且的
均为小于22的正整数，由题设等式得
，
从而
不妨设
，所以中至少有一个数等于11.
，由于都是正整数，又
，
，由题设等式得
易知，当
当
所 以
时，
时，
取最小值242，此时
取最大值，此时
.
.
.
5．【2018年重庆】已知复数z的模为1，则
【答案】17
【解析】
解：在复平面内，设，P为单位圆上的点，
的最小值为________．

问题转化为求的最小值，设，其中


由于，必存在，即等号可以取到.
故答案为：17
6．【2018年陕西】设是正整数，当
【答案】49
【解析】
一方面，当n>100时，有
，
所以
另一方面，
故当n>100时，
，
.
的小数部分的前两位数是49.
对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围
时，的小数部分的前两位数是________.
7．【2018年贵州】若实数a使得不等式
是_______．
【答案】
【解析】

设x=ka（k∈R），则
即对，恒有
，而
．
故答案为：
，若时均有
，

，所以
8．【2018年广西】设
【答案】
【解析】

当
成立，则______．
时，显然不能使原不等式对任意的恒成立.因此.注意到的开口向上，所以

必然要求.对于方程
，故
，设其两根为
.
，且，令.由时，原
不等式恒成立，可知
解得.
9．【2018年湖南】若不等式
【答案】 36
【解析】

解法一： 设
所以是方程
，则，且
的解集是（4 ，b），则实数a=_____，b=_____.
，则不等式的解集为，
的两根，即

解得，b=36.
，由不等式的解集是（4，b），可得两函数解法二： 设
在同一坐标系中的图象.
设两函数图象的交点为A、B，则
.
解得，b=36.
，所以
故答案为：(1). (2). 36
10．【2018年湖南】设实数a、b满足不等式
【答案】
a
负
,b正

【解析】

由已知得


.
，则a、b的正、负符号分别为_____.

由于
约去
所以
，因此得
.
，a为负数且b为正数.
，
故答案为：a负,b正
11．【2016年陕西】记“∑”表示轮换对称和.设 a、b、c为正实数，且满足abc=1.对任意整数n≥2，证明：
.
【答案】见解析
【解析】
不妨设a≤b≤c.则
由切比雪夫不等式得
.
又由幂平均不等式得
.
故
.
由已知及均值不等式得
故.
.
12．【2016年山东】证明：
【答案】见解析
【解析】
原不等式等价于证明：
.
定义函数
.
只需证明
显然，
.
，且
.

.
定义函数
，
.
则
.
于是，
故
单调递增.
，即所证不等式成立
，

13．【2016年安徽】证明：对任意实数a、b、c，均有
并求等号成立的充分必要条件.
【答案】见解析
【解析】
设
则
.
，


.
据三角不等式知
， ①
即得所要证的不等式.
式①等号成立的充分必要条件为
注意到，
平等且方向相同.

.

当
当
时，式①等号成立
时，式①等号恒成立.
.
综上，式①等号成立的充分必要条件为
14．【2016年新疆】已知
值.
【答案】
【解析】
设为待定系数).则
,且
.
为常数求的最小
,

①
而
于是取
代入式①得
,则
，

当且仅当,即时,上式等号成立
故取得最小值
.

15．【2016年天津】设
数n,有
【答案】见解析
【解析】
,令
.①
，证明:对任何正整
先用数学归纳法证明:对任何正整数n,有< br>当
当
设
时,
时,
,命题成立.
,命题成立.
(整数k>1)时命题成立.

则
由

即
时,由归纳假设知
在区间
，
内单调递增得：
,
时命题成立.
.
.
.
由数学归纳法,对任何正整数n,有
因此,对任何正整数n,有
接下来再用数学归纳法证明:对任何正整数n,有
当
设
则
1时,
时命题成立.
时,注意到,.
,命题成立.
16．【2016年山西】已知在正整数n的各位数字中，共含有
并确定使等号成立的条件．
【答案】见解析
【解析】
对正整数n的位数使用数学归纳法．
当是一位数，即时，所证式显然成立，
个1，个2，?，个n．证明：
这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，
即，其余，所以，左边==右边．
假设当正整数不超过k位，即
现考虑位数，即
时，结论皆成立．
时的情形．
. ① 设的首位数字为r．则
若，则在数
的各位数字中，，其余.

显然，
若
.

，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r，…，个9．

个r、个j.

则的各位数字中，含有
注意到，正整数不超过k位．

由归纳法假设，对有


②
则当位数时，结论也成立．
故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．
欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须
此时，由式 ①得
即可表示为
，
的形式.
，
上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有
故


，其余.