2014年全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解

2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1． 已知直线
l
1
：
ax?2y?6?0
，
l
2
：
x?(a?1)y?a
2
?1?0
，若
l
1
? l
2
，则
a?
。
2．函数
f(x)?3s in
2
x?sinxcosx?
3
?
??
?
（x?
?
，
?
）的值域为 。
2
?
122
?
3．在三棱锥
D?ABC
中，
AB?BC?2
，
AB?BC
，
BC?CD
，
DA?AB
，
?CDA?60?
。
则三棱锥
D?ABC
的体积为 。
y
2
?1
的左、右焦点，
P
为双曲线
C
上一点，且点
P
在4．已知
F
1
、
F
2
为双曲线
C
：
x?
24
2
第一象限。若
PF
1
PF
2
4
?
，则
△PF
1
F
2
内切圆半径为 。
3
5．已知集合
A?
?
xx
2
?2x?8?0
?
，
B?
?
x x
2
?2ax?4?0
?
。若
a?0
，且
A?B< br>中恰
有1个整数，则
a
的取值范围为 。
6．若分数
pp
（
p
，
q
为正整数）化成小数为< br>?0.198
，则当
q
取最小值时，
qq
p?q?
。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。
?1)
，
B(4，0)
，
C(2，2)
。平面区域D
由所有满足
AP?
?
AB?
?
AC
8．已知 点
A(1，
y)
组成的区域。若区域
D
的面积为8，则
a? b
的最小值（
1?
?
?a
，
1?
?
?b< br>）的点
P(x，
为 。

23
?
8
?
?
8
??
8
?
9．
A?< br>??
?
??
?
??
?
?
9
?
?
9
??
9
?
?
8
2014
?
（符号
?
x
?
表示不
?
??
被63除的余数为 。
9
??
超过
x
的最大整数。）
10．若
a，
b
，
c
为关于
x
的方程
x
3
?x
2
?x?m?0
的三个实根，则
m
的最小值
为 。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知
?
a
n
?
为递增的等比数列，且
a
1
?a
2
?6
，
a
3
?a
4
?24
。< br>b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求证： 对一切正整数
n
均有，
T
n
?3
。

1
a
n
，数列
?
b
n
(a
n
?1)
2
?

x
2
y
2
12．已知
F
为椭圆
C
：
?
椭圆
C
上任意一点
P到点
F
的距离与点
P
到
?1
的右焦点，
43< br>直线
l
：
x?m
的距离之比为
（1）求直线
l
方程；
1
。
2
（2）设
A
为椭圆
C
的左顶点，过点
F
的直线交椭圆
C
于
D
、
E
两点，直线
AD
、
AE
与
直线
l
分别相交于M
、
N
两点。以
MN
为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定 点坐标；
若不是，请说明理由。
13．如图，在五边形
ABCDE
中，BC∥AE
，
AB?BC?AE
，
?ABC??CDE
，
M
为
CE
中点，
O
为
△BCD
的外心，且
OM?MD
。延长
DM
至点
K
，使得
MK?MD
。
（1）求证：
?BKC??BDC
；
（2）求证：
?ABC?2?BDA
。






14．已知
f(x)?aln(x?1)?
1
?3x?1
。
x?1
（1）若
x?0
时，
f(x)?0
恒成立，求实数
a
的取值范围；
（2）求证：
立。
15．给定2014个和为1的非负实 数
a
1
，
a
2
，
a
3
，?，a
2014
。
证明：存在
a
1
，
a
2
，
a
3
，?，
a
2014
的一个排列
x
1
，
x
2
，
x
3
，?，
x
2014
，满足
x
1
x
2
?x
2
x3
??x?x
420
x
13201
1
x
2?
0141
。
2014
234
???
222
4?1?14?2?14?3?1
?
n?11
?ln(2n?1)
对一切正整 数
n
均成
2
4?n?14







2

2014年福建省高中数学竞赛
暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1． 已知直线
l
1
：
ax?2y?6?0
，
l
2
：
x?(a?1)y?a
2
?1?0
，若
l
1
? l
2
，则
a?
。
【答案】
2

3
2
。
3
【解答】
l
1
?l
2
?a?1??2(a?1)?0?a?
2．函数
f(x)?3sin
2
x?sinxcosx?
3
?
??
?
（
x?
?< br>，
?
）的值域为 。
2
?
122
?
?
1
?
【答案】
x?
?
?，1
?

?
2
?
【解答 】
f(x)?3?
1?cos2x1313
?
?sin2x??sin2x? cos2x?sin(2x?)
。
222223
??
2
?
1
?
?
??
?
由
x?
?
，
?知，
??2x??
，
??sin(2x?)?1
。
63323
?
122
?
3．在三棱锥
D?ABC
中，
AB?B C?2
，
AB?BC
，
BC?CD
，
DA?AB
，
?CDA?60?
。
则三棱锥
D?ABC
的体积为 。
【答案】
4

3
【解答】如图，作
DE?面ABC< br>于
E
，连
EA
、
EC
、
ED
。
∵
BC?CD
，
DA?AB
，
∴
EC?CB
，
EA?AB
，四边形
EABC
为矩形。 由
AB?BC
知，四边形
EABC
为正方形，且
DA?DC。
又
?CDA?60?
，因此，
△DAC
为正三角形，
DA?AC
。
∴
22
EA?ED?E
2
A?
2
ED?EC?2
。
E
。于是，
C
114
∴ 三棱锥
D?ABC
的体积为
?(?2?2)?2?
。
323
y
2
?1
的左、右焦点，
P
为双曲线
C
上一点， 且点
P
在4．已知
F
1
、
F
2
为双曲线< br>C
：
x?
24
2
第一象限。若

PF
1
PF
2
4
?
，则
△PF
1
F
2
内切圆半径为 。
3
3

【答案】 2
【解答】设
PF
1
?4t
，则
PF
2
?3t
，
4t?3t?PF
1
?PF< br>2
?2
。
t?2
，
PF
于是，结合
F1
F
2
?10
知，
PF
1
?PF
2
。
△PF
1
F
2
为直角三角形，
1
?8< br>，
PF
2
?6
，
∴
△PF
1
F
2
内切圆半径
r?
6?8?10
?2
。
2
5．已知集合
A?
?
xx
2
?2x?8?0
?
，
B?
?
xx
2
?2ax?4?0
?
。若
a ?0
，且
A?B
中恰
有1个整数，则
a
的取值范围为 。
?
135
?
【答案】
?
，
?
< br>?
62
?
【解答】
A?
?
xx??4或x?2
?
。
设
f(x)?x
2
?2ax?4
，则
f( x)
的轴对称
x?a?0
。
由
f(?4)?16?8a?4?0< br>，知
B?
?
xx??4
?
?
?
。
因此，
A?B
中恰有的一个整数为3。
??9a6??40
?f(3)
135
?
135
?
∴
?
，解得< br>?a?
。故，
a
的取值范围为
?
，
?
。 < br>62
?1?6a?8?40
?
62
?
?
f(4)6．若分数
pp
（
p
，
q
为正整数）化成小数为
?0.198
，则当
q
取最小值时，
qq
p?q?
。
【答案】 121
【解答】由
于是，
p
?0.198
q
?
1p1
，知
?
，
q?5p
，记
q? 5p?m
（
m
为正整数）。
5q5
p
?0.198
5p?m
，
0.198(5p?m)?p?0.199(5p?m)
。
8?p?
∴
19.m39.m8
。
当m?1时，
20 ?p?39
，取
p?20
，m?1时，
q
最小为101。
又
20
?0.19801980
101
符合要求。故，当
q
最小时，
p?q?121
。
7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。
【答案】
5

12
【解答】投掷3粒骰子共有
6
3
?216
种可能。考虑
7?1?6?2?5?3?4
。

4

投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有
6?6?6?30
（种）。
（分为
(1，，6?)
，
(1，，?6)
，(6，，1?)
，
(6，，?1)
，
(?，，16)
，
(?，，61)
这6种可能，每类有
61)
，
(1，，
16)
，
(6，，11)
，
(6，，
6种情况。其中，
(1，，
66)
，
(1，，
16)
，
(6，，61)
重复出现） < br>同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均
为30种。
∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有
3?30?90
种可能。
∴ 所求概率为
905
?
。
21612
8．已知点
A(1，< br>平面区域
D
由所有满足
AP?
?
AB?
?
A C
（
1?
?
?a
，
?1)
，
B(4，0)
，
C(2，2)
。
1?
?
?b
）
y)组成的区域。的点
P(x，
若区域
D
的面积为8，则
a?b的最小值为 。
【答案】 4
【解答】如图，延长
AB
至点
N
，延长
AC
至点
M
，使得
A N?aAB
，
AM?bAC
。
四边形
ABEC
、
ANGM
、
EHGF
均为平行四边形。
y)
组成的区域
D
为图中的阴影部分，由条件知，点
P(x，
即
四边形
EHGF
（不含边界
EH
、
EF
）。
∵
AB?(3
3)
，
BC?(?2，，1
，
)
AC?(1，
2)
。
∴
cos?CAB?
AB?10
，
AC?10
，< br>BC?22
，
4
10?10?83
?
，
sin?CA B?
。
5
2?10?10
5
4
?8
。
5
∴ 四边形
EHGF
的面积为
(a?1)10?(b?1)10?
∴
(a?1)b(?
a?b?a?(
?1)
，
1
11
?1)? (a?1)??2
。
a?1a?1
由
a?1
，
b?1知，当且仅当
a?1?1
，即
a?b?2
时，
a?b
取 最小值4。

23
?
8
?
?
8
??8
?
9．
A?
??
?
??
?
??< br>?
?
9
?
?
9
??
9
?
?
8
2014
?
（符号
?
x
?
表示不
?
??
被63除的余数为 。
9
??
超过
x
的最大整数。）
【答案】 56 < br>8
2k?1
8
2k
8
2k?1
8
2k
??8
2k?1
。 【解答】∵ 对任意正整数
k
，与均不是整数，且< br>999
9
?
8
2k?1
??
8
2k
?
8
2k?1
8
2k
∴ 对任意正整数
k
，?
?
??
???1?8
2k?1
?1?7(mod63)
。
?
99
?
9
??
9
?

5

23
?
8
?
?
8
??
8< br>?
∴
A?
??
?
??
?
??
?
?
9
?
?
9
??
9
?
2014< br>?
8
?
?
?
?7?7
?
100?
9
??
56(mo
。
d

63)
10．若
a
，
b
，
c
为关于
x
的方程
x
3< br>?x
2
?x?m?0
的三个实根，则
m
的最小值
为 。
【答案】
?
5

27
【解答】依题意，有
x
3
?x
2
?x?m?(x?a)(x?b)(x?c)
。
∴
x
3
?x
2
?x?m?
3
x(?a ?b)?c
2
x(?ab?b?c)
a?b?c)
?
a?b?c?1
?
?1??(
??
∴
?
?1?ab?bc?ca
，
?
ab?bc?ca??1
。
?
m??abc
?
m??abc
?
?

ca
。
?xabc
∴
bc??1?(ab?c)a??1?a( b?)c?1??a(1?
2
a)?a
。
?

a1?
a
2
?b
2
?c
2
?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ca)?3
。
∴
a
2
?1
，b
2
?1
，
c
2
?1
中至少有一个成立。不妨 设
a
2
?1
，
?1?a?1
。
∴
m??abc??(a
2
a?a1?)

a?
3
? a
2
?a
。
?
设
m?f(a)??a
3
? a
2
?a
，则
f
?
(a)??3a
2
?2 a?1??(3a?1)(a?1)
。
11
1
??
∴
?1?a??
时，
f
?
(a)?0
；
??a?1
时 ，
f
?
(a)?0
。
f(a)
在
?
?1， ?
?
上为减函数，
33
3
??
?
1
?在
?
?，1
?
上为增函数。
3
??
15115151
∴
m
有最小值
f(? )??
。此时，
a??
，
b??
，
c?
或
a??
，
b?
，
c??
。
32733333
3













6

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）
11．已知
?
a
n
?
为递增的等比数列，且
a
1< br>?a
2
?6
，
a
3
?a
4
?24< br>。
b
n
?
的前
n
项和为
T
n
，求证：对一切正整数
n
均有，
T
n
?3
。
【 解答】设
?
a
n
?
的公比为
q
，则
q?0
。
?
a
1
?a
1
q?6
?
a< br>1
?2
由
a
1
?a
2
?6
，
a
3
?a
4
?24
，知
?
，。
?23
q?2
?
a
1
q?a
1
q?24
?
n
∴
a
n
?2?2
n?1
?2
。 …………………………… 5分
a
n
，数列
?
b
n
2
(a
n
?1)
?
a
n
2
n
∴
b
n
?
。
?
(a
n
?1)
2< br>(2
n
?1)
2
∵
n?2
时，
2n
2
n
2
n
2
n?1
11
，
b
n
?
n
?????
(2?1)
2
(2
n
?1)(2
n
?1)(2
n
?1)(2
n
?2) (2
n?1
?1)(2
n
?1)2
n?1
?12
n
?1
…………………………… 10分
∴
n?2
时，
T
n
?b
1
?(
1111
?
2
)?(< br>2
?
3
)?
2?12?12?12?1
?(
11)?2?1??3
。
2
n?1
?12
n
?12
n
?1
?
1
……………………………… 15分
又
n? 1
时，
T
1
?b
1
?2?3
。
∴ 对一切正整数
n
均有
T
n
?3
。 …………………………… 20分















7