2019全国高中数学联赛湖北预赛(高一年级)Word版-全解全析-(1)

2019全国高中数学联赛预赛（高一年级）

一、填空题（本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。）
1、若非空集合A?x3a?2?x?5a?4
，
B?x5?x?31
，则能使
A?A< br>的所有
a
的集合是_____________.
2、在四边形
AB CD
中，
CB?2AC?3AD
，则
?ADC
与
?ABC< br>的面积之比为_______.
3、已知
f
?
x
?
是定义在
R
上的函数，
f
?
1
?
?2
，且 对任意的
x?R
都有
????
B
成立
f
?
x?5
?
?f
?
x
?
?5
，
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
?1
，则
f
?
2014
?
?
__________.
4、在
?ABC
中，
A?30
，
2AB?AC?3BC
，则
?A BC
的最大角的余弦值为__________.
5、在平面直角坐标内，曲线
x? 1?x?1?y?3
围成的图形的面积是__________.
6、在单调递增数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?2
，
a
2
?4
，且
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n?1
成等差数列，
a
2n
，
2
a
2n?1
，
a
2n?2
成等比数列，
n?1,2,3,< br>.那么，
a
100
?
_________.
*
7、 去掉集合
A?n,n?1000,n?N
中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩下的元??
素按从小到大的顺序排成一个数列，则2019是这个数列的第___________项.
8、若函数
f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?
3
?
则
a
的取值范围 是___________.
?
在区间
?
1,2
?
上递增 ，
2
?
9、若
a?A
且
a?1?A
，
a? 1?A
，则称
a
为集合
A
的孤立元素.那么，集合
M??
1,2,3,4,5,6,7,8,9
?
的无孤立元素的4元子集有_____ _____个.
10、已知
0?
?
?
?
?
?2
二、解答题（本题满分60分，第小题20分。）
11、求函数
y?








，且
tan?
?3tan
?
，则
u?
?
?
?
的最 大值为________.
x
x?3x?2
2
的值域.

< br>12、已知数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?3
，
a
n?1
?a
n
?3n?3n?2?
2< br>1
*
，
n?N
.
n
?
n?1
?< br>（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）证明：












13、已知函数
f
?
x
?
?sinx?cosx?sin2x?1
.
（Ⅰ）求函数
f
?
x
?
的最值；
（Ⅱ）如果函数
f
?
x
?
在
?
0,M
?
?
上恰有2019个零点，求
M
的取值范围.


















11
??
a
1
a
2
?
11
?
.
a
n
2

2019全国高中数学联赛湖北预赛（高一年级）参考答案
一、填空题（本题满分90分，第小题9分，直接将答案写在横线上。）
1、若非空集合A?x3a?2?x?5a?4
，
B?x5?x?31
，则能使
A?A< br>的所有
a
的集合是_____________.
解：因为
A?AB
，所以
AB?A
，
A?B
. < br>????
B
成立
?
3a?2?5a?4
?
因为集合< br>A
是非空集合，所以
?
3a?2?5
，解得
3?a?7
.
?
5a?4?31
?
2、在四边形
ABCD
中，CB?2AC?3AD
，则
?ADC
与
?ABC
的面积之比为_ ______.
解：因为
CB?2AC?3AD
，所以
3AD?2AC?A C?AB
，
AD?AC?
设
AE?
??
1
AB
.
3
1
AB
，则有
AD?EC
.
3
DC
所以四边形
AECD
为平行四边形，
S
?ADC
S< br>?AEC
1
??
.
S
?ABC
S
?ABC
3
A
E
B
3、已知
f
?
x
?是定义在
R
上的函数，
f
?
1
?
?2
，且对任意的
x?R
都有
f
?
x?5
?
?f
?
x
?
?5
，
f
?
x?1
?
? f
?
x
?
?1
，则
f
?
2014
?
?
__________.
解：因为
f
?
x?5
?
?f
?
x
?
?5
，
f
?
x? 1
?
?f
?
x
?
?1

所以
f< br>?
x
?
?f
?
x?5
?
?5?f
?
x?4
?
?4?f
?
x?3
?
?3?f
?
x?2
?
?2?f
?
x?1
?
?1
. < br>又因为
f
?
x?1
?
?f
?
x
?< br>?1
，所以
f
?
x?1
?
?f
?
x
?
?1
.
所以
f
?
2014
?
?f
?
2013?1
?
?f
?
1
?
?20 13?2015
.
4、在
?ABC
中，
A?30
，
2AB?AC?3BC
，则
?ABC
的最大角的余弦值为__________.
解：设角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
.
因为2AB?AC?3BC
，所以
c?b?a?3a
，即
b?c?4a
.
因为
a?b?c?3bc
，所以
b?3c
，
a?c< br>.
222
2
2
2222222
a
2
?c< br>2
?b
2
1
??
. 所以
cosB?
2ac 2
5、在平面直角坐标内，曲线
x?1?x?1?y?3
围成的图形的面积是____ ______.

y
3
?
2x?3,??x??1,
?
2
?
解：依题意得
y?
?
1,?1?x?1,
， 如图
?
3
?
?2x?3,1?x?.
2
?
13
2
O
1
3
2
x
结合图象可知，该曲线所围成 图形的面积为两个梯形面积之和，等于5.
6、在单调递增数列
?
a
n?
中，已知
a
1
?2
，
a
2
?4，且
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n? 1
成等差数列，
a
2n
，
a
2n?1
，
a
2n?2
成等比数列，
n?1,2,3,
.那么，
a
100
?
_________.
解：因为
?
a
n
?单调递增，
a
1
?0
，所以
a
n
?0
.
因为
a
2n?1
，
a
2n
，
a
2n?1
成等差数列，
a
2n
，
a
2n?1
，< br>a
2n?2
成等比数列，
?
?
a
2n?1
?a
2n?1
?2a
2n
所以
?
.
2
?
?
a
2n
?a
2n?2
?a
2n?1
a< br>2n?2
?a
2n
?a
2n
?a
2n?2
a
2n?1
?a
2n?1
因为
a
2n
?
，
?
22
所以
a
2n
?
a
2n?2
?a
2n?2
2
，数列
?
a
2n
是等差数列. < br>?
易得
a
3
?6
，
a
4
?9
，所以
a
4
?a
2
?1
.
所以
a2n
?n?1
，
a
2n
?
?
n?1
?
，
a
100
?51
2
?2601
.
*< br>7、去掉集合
A?n,n?1000,n?N
中所有的完全平方和和完全立方数后，将剩 下的元
2
??
素按从小到大的顺序排成一个数列，则2019是这个数列的第____ _______项.
22333232
解：因为
44?2014?45
，< br>12?2014?13
，且
1?1
，
4?8
，
9?2 7
，
32
所以有1，2，3，…，2019中删去了44+9=53个数.
因为2019-53=1961，所以2019是这个数列的第1961项.
8、若函数f
?
x
?
?log
a
?
ax?x?
2
?
?
3
?
则
a
的取值范围是__________ _.
?
在区间
?
1,2
?
上递增，
2
?
?
?
0?a?1,
?
11
?
1
解：（ⅰ） 当
0?a?1
时，只需
?
，解得
?a?
.
?2,
84
?
2a
1
?
4a??0.
?
?2

?
?
a?1,
?
?
1
（ⅱ）当
a?1
时，只需
?
?1,
，解得
a?1
.
?2a
1
?
a??0.
?
?2
综上，
a
的取值范围是
?
,
?
84
?
11
?
??< br>?
1,??
?
.
9、若
a?A
且
a?1? A
，
a?1?A
，则称
a
为集合
A
的孤立元素.那 么，集合
M?
?
1,2,3,4,5,6,7,8,9
?
的无孤立元 素的4元子集有__________个.
解：（ⅰ）4个元素均相邻，由枚举法可得，有6个符合题意的集合.
（ⅱ）4个元素中2个 元素相邻，另2个元素也相邻，但4个元素不相邻，由枚举法可得，
有15个符合题意的集合.
综上，集合
M
共有无孤立元素的4元子集21个.
10、已知
0?
?
?
?
?
解：因为
0?
?
?
?< br>?
所以
0?
?
?
?
?
?
2
，且
tan
?
?3tan
?
，则
u?
?
?
?
的最大值为________.
，
tan
?
?3tan
?
，
?
2
?
2
，
tan
?
?
?
?
?
?t an
?
1?tan
?
?
?
?
?
tan?
2
?tan
?
.
所以
tan
?
?
?
?
?
?
2tan
?
?
2
1?3 tan
?
1
?3tan
?
tan
?
?
?< br>3
，
u
的最大值为.
6
3
二、解答题（本题满分60分，第小题20分。）
11、求函数
y?
x
x?3x?2
2
的值域.
解 ：函数的定义域为
?
??,1
?
（ⅰ）当
x?0
时，
y?0
.
?
2,??
?
.
（ⅱ）当
0?x? 1
或
x?2
时，
y?
1
.
23
??1
2
xx

?
1,??
?
，
y
令
t?
1
1
?
1
?
，则< br>y?g
?
t
?
?
，
t?
?
0,?
x
2t
2
?3t?1
?
2
?
O1
2
1
t

此时
g
?
t
?
?
1
?
1
?
在
?
0,
?
上单调递增，在
?
1,??
?
上单调递减，
g
?
t
?
?
?
0,??
?
.
2t
2
?3t?1
?
2
?
1
，
t?
?
??,0< br>?
，
2t
2
?3t?1
（ⅲ）当
x?0
时 ，同（ⅱ）得
g
?
t
?
??
此时
g
?t
?
单调递减，
g
?
t
?
?
?
?1,0
?
.
综上，
y?
y
O
1
t< br>x
x?3x?2
知数
2
的值域为
?
?1,??
?
.
12、已列
?
a
n
?
满足：
a< br>1
?3
，
a
n?1
?a
n
?3n
2
?3n?2?
1
*
，
n?N
.
n
?n?1
?
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）证明：
11
??
a
1
a
2
?
11
?
.
a
n
2
2
（Ⅰ）解：因为
a
n?1
?a
n
?3n?3n?2?
1
，
n
?
n?1
?
所以
a
n?1
?a
n
??
n?1
?
?n?1?
?
3
3
1
??
1
?
?
.
nn?1
??
因为
a
n
?a
n?1
?n?
?
n?1
?
?1?
?
3
3
1
??
1
?
?
，
n?2
?
n?1n
?
?
?
a
2
?a
1
?
?a
1
?n
3
?n?
1
.
n
所以
a
n
?
?
a
n
?a
n? 1
?
?
?
a
n?1
?a
n?2
?
?
（Ⅱ）证明：因为
1nn
?
4
?

2
2
22
a
n
n?n?1
?
n?1
?
?n1
?
11
?
??
?
2
?
，
2
22
?
n?n?1
??
n?n?1
?
2
?
n?n?1n?n?1
?
n

?
所以
11
??
a
1
a
2
?
1 1
?
1
?
1
?
?
1?
2
?
?
.
a
n
2
?
n?n?1
?
2
13、已知函数
f
?
x
?
?sinx?cosx?sin2x?1
.
（Ⅰ）求函数
f
?
x
?
的最值；