2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛江苏
赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，
共70分）
1．若
x≥2
，则函数
f(x)?x?
1
x?1
的最小值
是 ．


2．已知函数
f(x)?e
．若
f(a?b)?2
，则
f(3a)?f(3b)
的值
是 ．


3．已知数列
?
a
?
是各项均不为0的等差数列，公差为
d
，
S
为前
n
项和，且满足
a?S
，
n?N
，
则数列
?
a
?
的通项
a?< br> ．


?
2x?3x, x≥0,
4．若函数
f(x)?
?
是奇函数，则实数
a
的值
?
x
n
2
*
n
n2n?1
n
n
2
2
?
?
?2x?ax,x?0
是 ．


5．已知函数
f
2
(x)?5f(x)?6?0
f(x) ?lg|x?
10
|
3
．若关于
x
的方程
f(m)
的实根之和为
m
，则的值

是 ．


6．设
?
、
?
都是锐角，且
c os
?
?
等于 ．


7．四面体< br>ABCD
中，
AB?3
，
CD?5
，异面直线
AB< br>和
CD
之间的距离为4，夹角为
60
，则四面体
ABCD的
体积为 ．


8．若满足
?ABC?
?
，
AC?3
，
BC?m
的
△ABC
恰有 一解，
3
o
5
5
3
，
sin(
?
?
?
)?
5
，则
cos
?
则实数
m
的取值范围是 ．


9．设集合
S?
?< br>1,2,L,8
?
，
A
，
B
是
S
的 两个非空子集，
且
A
中的最大数小于
B
中的最小数，则这样的
集合对
(A,B)
的个数是 ．


10．如果正整数
m
可以表示为
x?4y
(
x
，
y?Z
)，那
么称
m
为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ．

22
二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，

共80分）
11．已知
a
，
b
，
c
为正 实数，
a
求
abc
的值．


x
12． 已知
F
，
F
分别是双曲线
C:
a
1
2x
?b
y
?c
z
11
???0
，，
1
xyz
2
2
y
2
?
2
?1(a?0,b? 0)
b
1
的左
右焦点，点
B
的坐标为
(0,b)< br>，直线
FB
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P
，< br>Q
两点，线段
PQ
的垂直平分线与
x
轴交于点
M．若
MF?
1
FF
，
2
212
求双曲线C的离 心率．



13．如图，已知
?ABC
是锐角三角形， 以
AB
为直径
的圆交边
AC
于点
D
，交边
AB
上的高
CH
于点
E
G
．以
AC
为直径 的半圆交
BD
的延长线于点
．求证：
AG?AE
．

14．（1）正六边形被
3
条互不交叉（端点可以重
合）的对角线分割成
4
个三角形．将每个三
角形区 域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有
公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并
涂色可以使红色 三角形个数与蓝色三角形
个数的差最大？
（2）凸
2016
边形被
2013
条互不交叉（端点可
以重合）的对角线分割成
2014
个三角形．将
每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，
使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上
述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个
数与蓝色三角形个数之差的最大值是多
少？证明你的 结论．

2006年全国1卷理科第12题
设集合
I?{1,2,3,4,5}
，选 择
I
的两个非空子集
A
和
B
，
要使
B中最小的数大于
A
中最大的数，则不同的选
择方法共有（B）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种
解法一，若集合A、B中分别有一 个元素，则选
法种数有C
5
2
=10种；
若集合A中有一个元素， 集合B中有两个元素，
则选法种数有C
5
3
=10种；
若集合A中 有一个元素，集合B中有三个元素，
则选法种数有C
5
4
=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，
则选法种数有C
5
5
=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，
则选法种数有C
5
3
=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元

素，则选法种数有C
5
4
=5种；
若集合A中有两个元素，集合B 中有三个元素，
则选法种数有C
5
5
=1种；
若集合A中有三个元 素，集合B中有一个元素，
则选法种数有C
5
4
=5种；
若集合A 中有三个元素，集合B中有两个元素，
则选法种数有C
5
5
=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，
则选法种数有C
5
5
=1种 ；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不
是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C
5
2
=10种选法，
小的给A集合 ，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C
5
3
=10种选法，

再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，
较大元素的一组的给 B集合，共有2×10=20
种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C
5
4
=5种选法，
再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一
组给A集合，较大 元素的一组的给B集合，共
有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C
5
5
=1种选法，
再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小
元素 的一组给A集合，较大元素的一组的给B
集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．


第9题的本质与推广
2014年金海南最后一模试题
设整数
n≥
3，集合P
?
{1，2，3，…，n}，A，B

是P的两个非空子集．记a
n
为所有满
足A中的最大数小于B中的最小数的集合对
(A，B)的个数．
（1）求a
3
；
（2）求a
n
．
解：（1）当
n?
3时，P
?
{1，2，3 }，
其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，
2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，
则所有满足题意的集合对(A，B)为：
({1}，{2})，({1}，{ 3})，({2}，{3})，
({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5
对，
所
a
3
?5
以
；
…… 3分
（2）设A中的最大数为k，其中
1≤k≤n?1
,
整数
n≥
3，
则A中必含元素k，另元素1，2，…，
k
?1
可在A中，故A的个数为：

1k?1k?1
C
0
k?1
?C
k?1
????? C
k?1
?2
，
…… 5分

B中必不含元素1，2，…，k，另元
素k
?
1，k
?
2，…，k可在B中，但不能
都不在B中， 故B的个数为：
2n?kn?k
C
1
?1
n?k
?C
n?k
?????C
n?k
?2
， …… 7分
从而集合对(A，B)的个数为
2
k?1
?
?
2
n?k?1
?
?
2
n?1
?2
k?1
，
所
a
n?1
n
?
?
?
2
n?1
? 2
k?1
?
?(n?1)?2
n?1
?
1?2
n? 1
?(n?2)?2
n?1
1?2
?1
．
k?1

an=C(n，2)·1+C(n，3)·2+……+C(n，n)·(n-1)
∵C(n，k)·k=n·C(n-1，k-1)
an=n·[2^(n-1)-1]-(2^n-1-n)
=(n-2)·2^(n-1)+1



以
…… 10分