2010年全国数学联赛最新模拟试题(四)---2010年3月

高中数学竞赛模拟试题（四）
一 试
一、填空题：
1．用
[x]
表示不大于实数
x
的最大整数．方程
lgx?[lgx]?2?0< br>的实根的个数是_____________.
2．已知方程
|x?2n|?kx(n ?N)
在区间
(2n?1,2n?1]
上有两个不相等的实根，则
k
的取值范围是
_____________.
3．实数
x,y
满足
4x?5xy?4y?5,
设
s?x?y
，则
2222
2
1
S
max
?
1
S
min
的值为________ _____.
4．在
?ABC
中，已知三个角
A,B,C
成等差数 列，假设它们所对的边分别为
a,b,c
，并且
c?a
等于
AC边
上的高
h
，则
sin
C?A
?
______ _______.
2
x
2
y
2
5．设
P
是椭圆
??1
上异于长轴端点的任意一点，
F
1
,F
2分别是其左、右焦点，
O
为中心，则
169
|PF
1
| ?|PF
2
|?|OP|
2
?
_____________. 6．斜三棱柱两侧面面积的比为
5:8
，它们所成的二面角为
60
，棱柱 的侧面积为
60cm
，其体积为
?
2
153cm
，则它的侧 棱长为_____________.
7．在一次投篮测试中，每人只要投中3个即为合格，不用再投 ，不过每人至多只能投5次．一投篮命中
率为
2
的球员，其测试合格的概率为____ _________.
3
A
8．如图，已知棱长为1的正四面体
ABCD< br>，
M
为
AC
的中点，
P
在线段
DM
上．
则
AP?BP
的最小值为_____________.


M
P
D
C
n(n?1)(n?1)
2
?a
n
?
二、设
a
n
?1?2?2?3???n?(n?1)(n?N)
，求证：．
22
22
三、已知抛物线
C
1
:y? x,C
2
:y?2x?3x?3
，有一族倾斜角为
?
的直线系和C
1
,C
2
都相交，且四个交
点在直线上由左到右的顺序是A,B,C,D
．求证：
|AB|?|CD|
为定值．
四、求一切实数
p
，使得三次方程
5x?5(p?1)x?(71p?1)x?1?66p
的 三个根均为自然数．
32
B

二试
一、已知点
M
是
?ABC
的中线
AD
上的一点, 直线
BM
交边
AC
于点
N
, 且
AB


1

是
?NBC
的外接圆的切线, 设
BC
BM
(用
?
表示).
?
?
, 试求
BN
MN
二、已知正实数
x,y,z
满足：
x?y?z?1
，求证：
1?2 x
x(1?x)
?
y
1?2y
y(1?y)
zt
?
1?2z
z(1?z)
x
?
xyz
??
．
1?x1?y1?z
三、求方程
2?2?5?5?1
的所有正整数解
(x, y,z,t)
．
四、在一条马路旁有
n
个停车位，
n
位司 机各驾驶一辆汽车，每位司机将自己的汽车开到他最喜欢的车位
前停车，如果该车位已经停有汽车，则在 该车位沿路下去最近的一个空位上停车，如果该车位及其下面的
车位上都停了汽车，则他将汽车开走，不 在停车．问：有多少个数组
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
，可以使得每个停车
位都不空？这里
a
i
是第
i
个司机喜欢的车位，且
a
1
,a
2
,?,a
n
不 必两两不同．

试题答案
一 试
一、填空题
1．解：由[lgx]?lgx
得
lgx?lgx?2?0
即
?1?lgx?2．当
?1?lgx?0
时，有
[lgx]??1
，代入原
方程得
lgx??1
，但
lgx?1
不符，故
lgx??1
，x
1
?
2
1
．
10
当
0?lgx? 1
时，有
[lgx]?0
，代入原方程得
lgx??2
，均不符．
lx??3
当
1?lgx?2
时，有
[lgx]?1
，代入 原方程得
lgx??3
，但
g
当
lgx?2
时，得
x
3
?100
．故原方程共有3个实根．
不符，故
lgx?3,x
2
?10
．
3
2．解：
k?
1
．显然
k?0
，而当
k?0
时导出
x?2n
，原方程只有一根，故
k?0
．
2n?1
222
2
又由
(x?2n)?kx
知，抛物线
y?(x?2n)
与直线y?kx
在区间
(2n?1,2n?1]
上有两个不同交点，
所以当x?2n?1
时有
(x?2n)?kx
，而当
x?2n?1
时，
(x?2n)?kx
，从而
k(2n?1)?1
，即
2222
2
k?
1
．
2n?1
22
?
8s?10
?
x?scos
?
22
3．解：易知
s?x?y?0
，设
?
，代入
4x?5xy?4y?5,
得
sin2
?
?
.
5s
?
?
y?ssin
?
1131388s?1010101010
????
． 于是
||?1
，得
? s?
，故
S
max
?,S
min
?
，故
S
max
S
min
10105
5s133313
hh
?
4．解：易见
h?c?a?
，化简得
sinC?sinA?sinAsin C
．由条件知
A?C?120
，故
?
sinAsinC

2

C?A120
?
1
C?AC?A3
据上 式得
2sincos?[cos(C?A)?cos120
?
]
，即
sin
2
?sin??0
，
222
224
C?A1C?A3
解得
sin
．
? ,sin??
（舍去）
2222
?a?ex|a?ex
5．解：设
P (x
0
,y
0
)
为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则
|P F
，所以
1
|
0
,|PF
2
?
222|PF
1
|?|PF
2
|?|OP|
2
?a
2
?e
2
x
0
?x
0
?y
0
?a< br>2
?b
2
?25
．
6．解：
6cm
．设侧 面
ACC
1
A
1
与侧面
ABB
1
A
1
的面积的比为
5:8
，
DEF
为斜三棱柱的一个直截面，则侧< br>面
ACC
1
A
1
与面
ABB
1
A< br>1
所成的二面角的平面角为
?EDF?60
?
，可设
DF?5 x,DE?8x,AA
1
?l
，在
1
?DEF
中，
EF
2
?DF
2
?DE
2
?2DE?DF?cos60?
?25x
2
?64x
2
?2?5?8?x
2
?49x
2

2
1
?
S
侧
?(5x?8x ?7x)l
?
?
??
20xl?60
?
x?
??
?
?
所以
EF?7x
，由已知
?
2
,即
l?6cm
．
1
?
?
103xl?153
?
?
V??5x?8xsin60l
?
?
l?6
?2
2
3
822
2
1
2
8
64
7．解：．3次 投篮投中3个的概率为
()?
；4次投篮投中3个的概率为
?()?C
3?
；
32733327
81
22
2
1
2216881664
5次投篮投中3个的概率为
?()?()C
4
?
．测试合格的概率为
???
．
3338127278181
8．解：1?
6
336
,sin
?
?
．记
?B
在
?B
．故
cos
?
?
．
DM?
?．
DM
中，
BD?1,BM?MD?
3
233
如图，将
?BDM
绕
DM
旋转，使
?BDM
在平面
ACD< br>内，此时
B
在
B'
处．
联结
AB',B'P
．则所求的最小值即为
AB'
的长．易知
?ADB'?
?
?30< br>．
故
AB'?AD?DB'?2AD?DB'cos?ADB'
?1?1?2 cos(
?
?30)

222
22
?
A
?
M
P
D
C
B
6
6
?2?2(cos
?
?cos30?sin
?
?sin30)?1?
．从而，
AB' ?1?
．
3
3
??
B'
(n?1)
2
二 、证：构造数列
b
n
?a
n
?
，
2
(n ?2)
2
(n?1)
2
2n?3
(n?1?n?2)
2???0
，
?]?(n?1)(n?2)?
因为
b
n?1
?b
n
?(a
n?1
?a
n
)?[
2
2 22
(n?1)
2
所以
b
n?1
?b
n
, {b
n
}
是递减数列，
b
n
?b
1
?2? 2?0
，故有
a
n
?
．
2
n(n?1)(n?1 )(n?2)n(n?1)
再构造数列
c
n
?a
n
?
，因为
c
n?1
?c
n
?a
n?1
?a
n
???

222
(n?1)(n?2)?(n?1)?(n?1)?(n? 1)?0
，所以
{c
n
}
是递增数列，故有
c
n< br>?c
1
?2?1?0
，所以
n(n?1)n(n?1)
．
a
n
??0
，故
a
n
?
22
n (n?1)(n?1)
2
?a
n
?
综上可知．
22
三、解：曲线
C
2
的方程与曲线
C
1
的方程相减，得(2x?3x?3)?x?x?3x?3
，上式的
???3?0
，
且此二 次项系数为正，则上式的值恒为正，因而知
C
2
在
C
1
的上 方．

3
222

?< br>x?m?tcos
?
设倾斜角为
?
的直线族中的一条直线经过点
(m,0)
，设直线的方程为
?
（
t
为参数），
y?t sin
?
?
222
将上式分别代入
C
1
,C
2
的方程，得
tcos
?
?(2mcos
?
?sin?
)t?m?0
（1）
2t
2
cos
2< br>?
?(4mcos
?
?sin
?
?3cos
?
)t?2m
2
?3m?3?0
（2）
sin< br>?
?2mcos
?
方程（1）的两根
t
1
,t
2
分别是
A,D
对应的
t
值，且
t
1
? t
2
?
，
2
cos
?
sin
?
?3cos
?
?4mcos
?
方程（2）的两根
t
3
,t
4
分别是
B,C
对应的
t
值，且
t
3
?t
4
?
，
2cos
2
?
所以
|AB|?|CD|?|t
3
?t
1
|?|t
4
?t2
|?(t
3
?t
4
)?(t
1
?t
2
)

(sin
?
?3cos
?
?4mcos?
)?(2sin
?
?4mcos
?
)3cos
??sin
?
，上式与变量
m
的值无关，故
??
222cos
?
2cos
?
|AB|?|CD|
为定值．
四、解：由观察易知：
x?1
为原三次方程的一个自然数根．由综合除法，原三次方程可以降次 为二次方
2
程
5x?5px?66p?1?0
，……（1）原三次方程的三个 根均为自然数等价于二次方程（1）的两个根均
为自然数．
?
u?v?p
?
设
u,v(u?v)
为方程（1）的两个根，则由韦达定理得
?
，联 立二式有
1
uv?(66p?1)
?
5
?
5uv?66( u?v)?1
，……（2）则可知
u,v
都不能被2，3，11所整除．又由（2）可 得
66u?166
……（3）而
u,v
都是自然数，由（3）可知
u?
即
u?14
．又2不能整除
u
且3不能整除
v?
5u?665
66?66
2
?5132
66u?1
2
?< br>，
1?0
．于是
u?
?u
，即
5u?132u?< br>u
，故
u?17
，由
v?u
及（3）可得
55
5u?66
故
17?u?26
，再由2不能整除
u
且3不能整除< br>u
知，
u
只能取17，19，23，25．
11211253
当
u?17
时，由（3）得
v?
并非自然数，应舍去．
?59< br>．当
u?19
时，由（3）得
v?
1929
15171649
当
u?23
时，由（3）得
v?
并非自然数，应舍去．当
u ?25
时，由（3）得
v?
并非自然
4959
数，应舍去．
故仅当
p?u?v?76
时，方程（1）的两根均为自然数，原方程的三个根均为自然数．


二 试
BMNACDBMAC
一、证：在
?BCN
中，由梅涅劳斯定理得． 由
???1
．因为
BD?D C
，所以
?
MNACDBMNAN
ABAC
?
CB
?
ABACCB
??
?
．∴
??
?ABN??ACB
，知
?ABN
∽
?ACB
，则
?
，
AN AB
?
BN
?
ANABBN
AC
?
BC
?
BM
?
BC
?
BCBM
?
?
?
?
即
?
?
，故
?
?
2
．
?
．又
?
．∴
MN
?
BN
?
AN
?
BN
?
BNMN
二、解：原不等式等价于

22
2
?
(
1?2x
x(1?x)
?2
x x1x
)?3
?
?3
?
，即
?
，
1?x1?x1?x
x(1?x)
4

因为
(x,y ,z)
与
(
111
,,)
，
x(1?x)y(1?y)z (1?z)
1
?
x(1?x)
1
?x(1?x)?
y(1? y)
y(1?y)
事实上，若
x?y
，则
，所以，由切比雪夫不等式，可得
?x?x
2
?y?y
2
?(x?y)(1?x?y)?0
）
(x?y?z)(
1
x(1?x)
?
1
y(1?y)
?
1
z (1?z)
y
)?3(
xyz
??)
，故原不等式得证．
1?x1?y1?z
4
三、解：
(x,y,z,t)
是方程的正整数解，则< br>2?1(mod5)
．因为
2?1(mod5)
，所以，
4|y
．
对于方程两边取模4得
2?2(mod4)
，故
z?1
． < br>设
y?4r
，得
5?1?2?2?5
，即
5?2?5?16? 1
．对上式两边取模3得到
x4rtxtr
z
(?1)
x
?(?1)
t
?0(mod3)
，所以
x,t
一奇一偶．又
5
t
?1,5(mod8)
，则对
5
x
?2?5
t
?16
r
?1
两边取模8
得
5?2?5?1?1(mod8 )
，故
x
为偶数，
t
为奇数．
（1）若
t?1< br>，则
5?16?9
，设
x?2m
，有
(5?3)(5?3)? 16
，
由
(5?3,5?3)?(5?3,6)?2?5?3?2,5?3?2mmmmm4r?1
xt
xr
mmr
，
?m?1,2
4r?1
?2
3
?r?1,y?4,x?2?(x,y,z,t)?(2,4,1,1 )
．
（2）若
t?1
，则
t?3,x?4
，
5| (5?2?5)?16?1
．
因为
16?1?(15?1)?1?15???Cr
15?C
r
15
，所以
5|r
．令
r?5k
，
则
16
n
5k
rrr221
3xtr
?1?5
5k
?1?(5?3
2
)
k
?1?0(mod11 )
，于是
11|(5
x
?2?5
t
)?5
t
(5
x?t
?2)?11|(5
x?t
?2)
，
x?t
但
5?1,3,4,5,9(mod11)
，即
11
不能整除
5
四、解：共有
(n?1)
n?1
?2
，矛盾．故原方程有唯一解
(x,y,z,t)?(2,4,1,1)
．
个满足条件的数组．
对任意 一个满足条件的数组
(a
1
,a
2
,?,a
n
)< br>，定义一个伴随数组
(b
2
,b
3
,?,b
n
)
．其中
b
i
为第
i
个所想
停的车位和他前一个 人（即第
i?1
人）所停车子的位置之差，这里的差为
mod(n?1)
的意 义下，显然，两
个
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
对应不同的伴随数组．
下证：对任意一个数组
(b
2
,b3
,?,b
n
),b
i
?{0,1,2,?,n}
，有 一个满足条件的数组以它为伴随数组．
设想
n
个停车位排在一个圆周上，最后一个位 置（第
n?1
个）为虚拟位置．将第1位司机随意放置一

5

个位置，对
i?2,3,?,n
，第
i
位司机将车停在离第
i?1
为司机所停车位
b
i
处的下面的第1个可 用车位上．当
且仅当那个最后空出的车位是虚拟车位时，得到一个符合要求的数组
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
．注意到，通过旋转
第一位 司机所在的位置，我们可用使空车位就是那个虚拟车位．所以，数组
(b
2
,b
3
,?,b
n
)
的组数就是满足
条件的数组
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
的组数，从而有
(n?1)

n?1
个满足条件的数组
(a
1
,a
2
,?,a
n
)
．

6