全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(22)

加试模拟训练题（22）
1、已知
M
为
?ABC
内 一点，由
M
分别向
BC,CA,AB
作垂线，垂足分别为
A
?
,B
?
,C
?
。
由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
,A
?
B
?
作垂线，证明这三条垂线交于一点
M
?
。若
?A
?
B
?
C
?
的外心
为
O
， 则
M
?
,O,M
三点共线，且
O
是线段
MM
?
的中点。












111a
8
?b
8
?c
8
2、若
a、b、c?R
，求证：
???

abca
3
b
3
c
3
?

3、25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n 次表决时，至
少与一个相邻的人回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与 两
个相邻的人回答均不同，那么他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，
从某一时间起，每个人的回答都不会改变．




















4、求证方程
3y
2
?x
4
?x
无正整数解.

加试模拟训练题（22）
1、已知
M
为
?ABC< br>内一点，由
M
分别向
BC,CA,AB
作垂线，垂足分别为
A
?
,B
?
,C
?
。
由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
, A
?
B
?
作垂线，证明这三条垂线交于一点
M
?
。 若
?A
?
B
?
C
?
的外心
为
O< br>，则
M
?
,O,M
三点共线，且
O
是线段
M M
?
的中点。

证明 法一 连
MO
，并延长至M
?
，使得
O
是线段
MM
?
的中点。设
AM
的中点为
O
?
，
则
O
?
为由
A,C
?
,M,B
?
所确定的四边形的外接圆的圆心，因此
OO< br>?
?B
?
C
?
。又因为
AM
?
∥< br>OO
?
，所以有
AM
?
?B
?
C
?
。同理可得
BM
?
?C
?
A
?
,CM?
?A
?
B
?
。
法二 分别延长
MA?
,MB
?
,MC
?
至
D,E,F
，使得BC,CA,AB
分别是
MD,ME,MF
的
中垂线，所以
AE ?AM?AF
，即
A
是
?MEF
的外心。同理，
B,C分别是
?MDF,?MDE
的外心。由于由
A,B,C
分别向
B
?
C
?
,C
?
A
?
,A
?B
?
作的垂线就是由
A,B,C
分别向
EF,FD,DE作的垂线，因此也就是
EF,FD,DE
的中垂线，而
EF,FD,DE
的中垂线交于一点，且就是
?DEF
的外心，即点
M
?
。又因为M
是
?A
?
B
?
C
?
与
?D EF
的位似中心，且位似比为
2
，所
以
M
?
,O, M
三点共线，且
O
是线段
MM
?
的中点。
111 a
8
?b
8
?c
8
2、若
a、b、c?R
，求证：
???

333
abcabc
?

1 11111
证明：由不等式的单调性可知??，因而
33
?
33
?< br>33
cbabacaab
根据不等式的单调性知a
5
?b
5< br>?c
5
，由排序不等式得
a
5
b
5
c
5
a
5
b
5
c
5
a
2
b
2
c
2
????????
b
3
c
3
c< br>3
a
3
a
3
b
3
c
3
a< br>3
a
3
b
3
b
3
c
3
c< br>3
a
3
b
3
111
又由不等式的单调性知a
2
?b
2
?c
2
，
3
?
3
?3
，根据排序原理

cba
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
c
2
111
?3
?
3
?
3
?
3
?
3
???
3
cababcabc
根据不等式的传递性可知
111a
5
b
5
c
5
a
8
?b
8
?c
8???
33
?
33
?
33
?
abcbccaa ba
3
b
3
c
3
证明二：
a
8
? a
8
?b
8
?b
8
?b
8
?c
8
?c
8
?c
8
?8
8
a
8
a8
b
8
b
8
b
8
c
8
c8
c
8
?8a
2
b
3
c
3
同 理b
8
?b
8
?a
8
?a
8
?a
8
?c
8
?c
8
?c
8
?8a
3
b
2
c
3
c
8
?c
8
?a
8?a
8
?a
8
?b
8
?b
8
?b8
?8a
3
b
3
c
2
三个式子相加

?
111
?
8
?
a
8
?b
8?c
8
?
?8a
3
b
3
c
3
?
??
?
?
abc
?

888
111a? b?c
????
abca
3
b
3
c
3
3、 25个人围一圆桌坐，每小时表决一次，回答为是或否．如果一个人第n次表决时，至
少与一个相邻的人 回答相同，即么他第n＋1次表决与第n次相同．如果第n次表决时，与两
个相邻的人回答均不同，那么 他第n＋1次表决与第n次不同．证明不论开始时大家怎样回答，
从某一时间起，每个人的回答都不会改 变．
【题说】第二十六届(1994年)加拿大数学奥林匹克题3．
【解】首先注意如果两 个相邻的人第n次的回答相同，那么他们第n＋1次的回答也相同．因
而在第n次回答后，都不会再改变 ．
令A
n
为第n次回答时，至少与一个相邻的人回答相同的那些人的集合，则根据上 面所说，

由于25为奇数，所以第一次回答时不可能每个人与相邻的人回答均不相同，即A
1
至少含两个
人．

人第m次的回答也不同．这样y第m＋1次的回答应与他自己第m次的回答不同，即与x第m
＋1次 的回答相同，从而y∈A
m＋1
＝A
m
，矛盾！因此A
m
含 全部25人．并且从第m次起，每个人
的回答都不会改变．
4、求证方程
3y
2
?x
4
?x
无正整数解.
分析：两边都是未知数，很难把握其性质，但发现右式可以分解.
x
解:
3x
4
?x
,
?x?0或2(mod3)
.若
x?0(mo d3)
，有
y
2
?(x?1)(x
2
?x?1)
， 显然
3
x
,x?1,x
2
?x?1
两两互质，所以
x
2
?x?1
是完全平方数，而
(x?1)
2
?x
2
?x?1?x
2

3
x
3
?1x
3< br>?1
知是不可能的.若
x?2(mod3)
，则
y?x()
， 而
(x,)?1
，故
x
为完全平方
33
2
数，这与
x?2(mod3)
矛盾.