第22届希望杯高一数学竞赛一试及答案

第22届“希望杯”全国数学邀请赛
高一 第一试

2011年3月13日 上午8：30至10：00

校名________________ 班_________ 姓名__________ 辅导老师_________ 成绩_____
一、选择题（每小题4分， 共40分）以下每题的四个选项中， 仅有一个是正确的，请将
你认为正确答案的英文字母写在下面的表格中。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
题号 共得分

答案
1． 已知
f(x)?kx
a
是幂函数，它的图像过点
(4,)
，则
k?a
的值等于（ ）
(A)
?
2．设
A?
1
2
11
. ( B ) -2. ( C ) . ( D ) 2.
22
1
1
log
1
3
2
?
1
1
log
1
3
5
，则A属 于区间（ ）
( A ) (2, 3) . (B) (l,2) . (C) （-2，-l) . (D)（-3，-2) .
3．图1中给出一枚骰子的三种不同放法，则图中“?”
处的数字是（ ）
( A ) 1. (B) 2. (C) 3. (D)4.
0101
ni
2
?
c?os
2
?
的4．己知
sin?
?cos
?
??1
，则
s
值的集合是（ ）
( A ) {1}. (B){0}. (C) {-1}. (D){-1,1}.
5．已知
a,b?R
?
,a?b
，设
A?a?b?2,B?a
2
?b
2
,则A与B的大小关系是（ ）
(A) A ＞B (B) A6．已知函数
f(x)?
?
?
(5?a)x?a?6,x?4,?
2a
x?3
,x?4,
｛
a
n
｝是单调递增 数列，则实数
a
的取值范围是（ ）
1414
(A) (1,5). (B)(2,5). (C)
(,5)
. (D)
[,5)
.
55
数列｛
a
n
｝满足
a
n
?f(n)(n?N< br>?
)
,且数列
22
7. Two known vectors a=（
2cosx,sinx
) . b = (
2sinx,cosx
) （
x?R
) , and
f(x)?
| a |-|
b | , then the maximum value off
f(x)
is ( )
( A ) 1 . ( B ) 2 . ( C ) 3 . 6 . ( D ) 4.
（英汉词典：vector 向量；maximum value 最大值）
8．设函数f(x)?|log
2
(1?x)|
，当
a?b?c?1
时，有
f(b)?f(a)?f(c)
，则（ ）
( A ) ac < 0 . ( B ) ab < 0 . ( C ) ac > 0 . ( D）bc＞ 0 .
9．已知
m
,
l
是异面直线，给出以下四个命题：
①一定存在平面
?
过
m
且与
l
平行．
②一定存在平面
?
与
m
,
l
都垂直．
③一定存在平面
?
过
m
且与
l
垂直．
④一定存在平面
?
与
m
,
l
的距离都相等．
其中错误的命题个数是（ ）
(A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .
10．对于数列101, 10101, 1010101, 101010101，…，下列判断中正确的是（ ）(A)数列的
所有项都是质数．

1

(B)数列的所有项都是合数．
(C)数列中有且仅有1个质数．
(D)数列中的质数不少于两个．
二、 A组填空题（每小题4分，共40分）
???????????????????????????? ????
11．四边形ABCD中，若
AB?AD?BA?BC?CB?CD?DC?DA?0
成立，则四边形ABCD
是_______.（填“平行四边形”、“长方形”、“正方形”或“梯形” )
12．设
f(x)gx?()
=_______.
?1?x?x
2
，且
y?f(x)
和
y?g(x)
依次是偶函数和奇函数，则
f(3)

13．已知
sin
?
?sin
?
?1 ,cos
?
?cos
?
?0
，则
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
=_______.
14．对集合A和B，定义下面的两种运算：
A?B?{x|x?A,x?B}
,
A*B?(A?B)?(B?A)
.
若
A?{x|y?x
2
?2x,x?R}
,
B?{x|y?sin
2
x?2cosx,x?R}
，则 A * B=_______.
15．已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
?2,a
n
??
1
a
n?1
?1
16． 已知定义在R上的奇函数
f(x)
满足
f(x?4)??f(
，且在区间［< br>x)
0,2］上是增函数，若方
程
f(x)?m(m?0)
在区间[- 4, 8]上有四个不同的实数
解
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
．则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
的值是_______.
(n?2
且
n?N)，则
a
2010
的值为______.

17．已知点M（-2，-1）和 N ( l，-5)，又点P在圆C:
x
2?y
2
?4x?2y?1?0
上运动，则
?MNP
面积的最大值是_______.
18．图2所示的程序框图的输出结果为_______.
19．4个平面可以将空间最多分成_______部分．
20．Define vectors a=（
cos
?
,sin
?
) . b = (
cos
?
,sin
?
),
and c = a + k b ( real number
k?[?1,2]
) . If
?
?
?
?
?
3

，then the value range of | c |=_______.
三、B组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空，每空4分）
21．
x2
?2x?5?x
2
?8x?25
的最小值为______.
22．已知
f(x)?2sin
xx
sin(
?
?)?1
.
22
(l)若
f(x)
是偶函数，则
cos
(2)若
f(x)
的最大值是
?
2
=______;
1
，则
cos2
?
=______
2
xx
23．已知函数
f(x)?4?m?2?1
有且仅有一个零点，则
m
的取值 范围是______.
1?1?4x
2
24．不等式
?3
的解是_ ___.在这个条件下，函数
y?|sinx|
的图象关于_____
x
成_ ____对称图形．
25．已知
x
是实数且
x?2,3
．若
S?min{
11
,}
，那么
S
max
=______， 此时
|x?2||x?3|
x
=_____.

第22届“希望杯”全国数学邀请赛答案高一第一试


2

一、选择题（每小题4分， 共40分）
1 2 3 4 5 6
题号
C A D C B B
答案
二、A组填空题（每小题4分， 共40分）
（11）平行四边形（12）
(7?13)
（13）
7
A
8
A
9
B
10
C
共得分

13
2
（14）
[?2,1)?(2,??)
（15）
?
（16）
22
2
1006
3
8 （17）16 （18） （19）15 （20）
[,7]

2013
2
三、B组填空题（每小题8分，共40分，每小题两个空， 每空4分）
（21）1；
34;
11
5
（22）0或1或-1或
?1
2
轴，轴 （25）
2;
5
2

10．

23）
{?2};x?0
（24）
[?
11
2< br>,0)?(0,
2
]
；
y
3
（