全国高中数学联赛模拟题(3)(4)

全国高中数学联赛模拟题（3）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知数列
?
a
n?
满足
a
n
?8?(2n?7)().
若
?
a
n
?
中存在最大项与最小项，分别设为
n
1
2
p、 q
，则
p?q?
.
2. 在四面体
ABCD
中，已知
AE?EB,AF?3FC,AG?
1
AD.
则四面体ABCD
被截面
4
EFG
分得的两个多面体的体积之比为 .
3. 已知抛物线
C:y
2
?2px(p?0)
和点
A (a,0),A'(?a,0)(t?0).
过点
A'
的直线与抛物线
交于点
P、Q.
则直线
AP、AQ
的斜率之和
k
AP
?k
AQ
?
.
x
4. 已知点
P
在曲线
y?2e
上，点
Q
在曲线
y?ln
x
上。 则
PQ
的最小值是 .
2
5. 已知定义在
R
上的函数
f(x)
,对任意的
x?R,
均有
f(?x)?f (x)?0,f(x?1)?f(x)?0,
且当
x?(0,1)
时，
f(x )?x.
则当
5
x?[?3,?]
时，
f(x)
的取值范围 是 .
2
xxx
6. 对任意的整数
n(n?2 )
,用
A
n
表示方程
x?[]?[]???[]
的解集，其 中，
[x]
表示
23n
不超过实数
x
的最大整数。则
A
2
?A
3
?
.
7. 在锐角< br>?ABC
中，已知
sinA2
?cosC?0,tanA?.
则
tanB?
.
sinB4
bc
?
的最小值
c?da?b
8. 设
a、d
是非负数，
b、c
是正数，且
b?c?a?d.
则
是 .
二、解答题（共56分）
9. 设
x、y、z?1,




10.设
0?
?
?2.
求函数
f(x)?

111
???2.
证明：
8(x?1)(y?1)(z?1)?1.

xyz
1x
?(x?0)
的值域。
1?
?
xx?
?

x
2
y
2
11. 设二次曲线
C:
2
?< br>2
?1(a、b?0)
与
x
轴的交点为
A、B
，经过
x
轴上异于
A、B
ab
和原点
O
的点
P< br>的直线与曲线
C
交于两点
M、N（M
在
N
的右侧）， 直线
AM、BN
交于点
Q.
证明：
OP?OQ
为定值。




加 试
一、已知
AD、BE
分别为锐角
?ABC
的边
BC、CA
上的高，以
AD
为直径 的圆分别与
AB、AC
交于点
G、H.
联结
GD、GH
分别 与
BE
交于点
I、J
，延长
DJ
与
AB
交 于点
L.
证明：
LI?BC.







二、已知数列
?
a
n
?
满足
a
n
?[2n](n?1,2,?),
其中，
?
x
?
表示不超过实数
x
的最大整数。
证明：存在
?
a
n
?
的无穷子序列
?
a'
n
?
,使得对一切
n均有
a'
n
?1(mod4).






三、设
?
a
n
?
是各项为正的数列，
a
n?1
?a
n
?a(n?1).
记
S
n
?
2
n
?
a.
证明:
S
i
i?1
n
n
?1?ln
n?2
.

3






四、记
S(X)
为数集
X
的元素和。试问：当
n?4k(k?N
?
)
时，是否存在集合

M?
?
1,2,?5n
?
的分拆：
A
1
,A
2
,
?
,A
n
,B
1
,B
2
,
?
,B
n
,使得
（1）
A
i
?
3,B
i
?
2(i
?
1,2,
?
,n) ;

（2）对一切的
i(i?1,2,?,n)
都有
S(A
i
)?S(B
i
).





全国高中数学联赛模拟题（4）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 设集合
M?
?
1,2,?,100
?
,A
是
M
的子集，且
A
中至少含有一个立方数。则满足要求的子
集
A
的个数是 .
2. 已知复数
a、b
满足
( a?i)(b?i)?2.
若
a?
2
,
则
b?3i?
.
2
3. 已知点
P
在曲线
y?e
x
上，点
Q
在曲线
y?lnx
上。则
PQ
的最小 值是 .
（cos
4. 已知
?A、?B、?C
为?ABC
三内角，向量
?
?
A?BA?B
,3sin）,
?
?2.
22
AB、MB
成等差数列，则如果当
?C
最大 时，存在动点
M,
使得
MA、
MC
AB
最大值
是 .
5. 甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场
先掷。设甲乙一共玩了10场，且甲第一场先掷，记甲赢得第
k
场的概率为
P
k
.
若
1?3
9
(2P
k
?1)?81,
则
k
的值为 .
6. 设
a
是实数，且方程
x?3ax?a(1?5a)x?3a?a?1?0
有实根且不同的实根至多
有两个。 则
a
的值为 .
7. 设集合
S?
?
1,2,?,15
?
,A?
?
a
1
,a
2
,a
3
?
是
S
的子集，且
(a
1
,a2
,a
3
)
满足
43242
1?a
1
?a
2
?a
3
?15,a
3
?a
2
?6.
则满足条件的子集的个数为 .
8. 设
?
a
n
?
是单调递增的正整数列，且对于四元数组
(i,j,k,l)(1?i?j?k? l?n),
若
i?l?j?k,
必有
a
i
?a
l< br>?a
j
?a
k
,
则
a
81
的最小值 为 .

二、解答题（共56分）
9. 给定
n
11111
S
n
?1????,T
n
?S
1
?S
2
???S
n
,U
n
?T
1
?T< br>2
???T
n
.

2n23n?1
正整数,令
求
2013S
2012
?U
2011
.



10. 已知
P
为正三棱锥
A?BCD
的边界上一点，< br>?ABC、?ABD、?ADC、?DBC
的重
心分别为
E、F、G、H.若底面
BCD
的边长为1，侧棱
AB?AC?AD?11,

求
PE?PF?PG?PH
的最大值。









11. 在椭圆
x?4y?8
中，
AB
是长为
大值。








22
5
的动弦，< br>O
为坐标原点。求
?AOB
面积
S
的最
2
加 试
一、在梯形
ABCD
中，
ABCD,
圆
?
1< br>和
?
2
均在梯形内，圆
?
1
与梯形的边
AD 、DC、CB
均相切，圆
?
2
与梯形的边
AD、AB、CB
均相切，过点
B
作圆
?
1
的切线
l
1
(l
1
不同于
BC),
过点
D
作圆
?
2
的切线
l
2
(l
2
不同于
DA).
证明：
l
1
l
2
.

2012
二、
m
为正整数，
m!
所含因子2的个数记为
f(m).
证明：存在正整 数
m?2012,
使
m?3
2012
?f(m).








三、已知
a1
?0,a
2
?0,
且
a
n?2
?
证 明：
M
n?3
?








四、已知
n?N
?
,n?1,
且
a< br>1
,a
2
,
?
,a
n
是任意给定的一组实数 。证明：存在实数
b
1
,b
2
,
?
,b
n
满足：
（1）对每个
i?
?
1,2,?,n
?
, a
i
?b
i
正整数；
?
1
2
1
?
,
定义：
M
n
?max
?
a
n
,,a
n?1
,
?
.

a
n?1
?an
a
n?1
??
a
n
31
M
n
?.

44
n
2
?1
（2）
?
(bi
?b
j
)?.

12
1?i?j?n
2