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2019年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2019年9月8日上午10∶00—11∶20)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上
1. 已知
2012
2
?2010?2011?2013?2014?k
2
?
k?0
?
,则
k?
.
答案:
2012?2
(或
4048142
)
解:
n?(n?2)(n?1)(n?1)(n?2)?n?(n?4)(n?1)
2.
函数
2222
2
f(x)?sin(x?)?sin(x?)?cosx?3
的最小值等于 .
66
??
答案:1
解:因为
所以
f(x)
的最小值为1.
3. 已知
为 .
答案:
f(x)?
bx?11
,其中
a,b
为常数,且ab?2
. 若
f(x)?f()?k
为常数,则
k
的值2x?ax
1
.
4
解:由于
是常数,故
2
a?k?b
,且
(a
2
?4)k?b
2
?1
. 将
b?2ak
代入
(a
2
?4)k?b
2
?1
整理得
(4k
2
?k)a
2
?(1?4k)?0
,分解因
式得
(4k?1)(ka
2
?1)?0
. 若
4k?1?0
,则
ka
2
?1?0
,因此
ab?2ka
2
?2<
br>,与条件相矛盾. 故
4k?1?0
,即
k?
4.
已知方程
3
答案:
(?
2x
1
.
4
?3
x?1
?p
有两个相异的正实数解,则实数
p
的取值范围是
.
9
,?2).
4
x
2
解法一:令
t?3
,则原方程化为
t?3t?p?0
.
根据题意,方程
t?3t?p?0
有两个大于1的相异实根.
2
?
?
??(?3)
2
?4p?0,
?
9
2
2
令
f(t)?t?3t?p
,则
?
f(1)?1?3 ?1?p?0,???p??2.
4
?
3
?
?1.
?2
解法二:令
y?3
,则原方程化为
y?3y?p?0
. 注意 到这个关于
y
的方程最多有两个解,而
由
y?3
严格单调递增知每个
y
最多对应一个
x
,因此所求的
实数解
y
1
,y
2
,且满足
3
1
?y
1
,3
xx< br>2
x2
x
p
应当使
y
2
?3y?p?0有两个相异的
?y
2
的两个实数
x
1
,x
2< br>都是正的. 由于
x
1
,x
2
都是正的,故
y
1
,y
2
都
应大于1. 由于
y
1
?y
2
?3
,故
y
2
?3?y
1
,因此
y1
必须满足
y
1
?1
,
3?y
1
?1
及
y
1
?3?y
1
. 因此
339
y
1
的取值范围为
(1,)U(,2)
. 因此
p??y
1
y
2
??y
1
(3?y
1)
的取值范围为
(?,?2)
.
224
5. 将25个数排成五行五列:
已知第一行
a
11
,
a
12< br>,
a
13
,
a
14
,
a
15
成等差数列,而每一列
a
1j
,
a
2j
,
a3j
,
a
4j
,
a
5j
(
1?
都成等比数列,且五个公比全相等. 若
a
24
答案:
?11
解:可知每一行上的数都成等差数列,但这五个等差数列的公差不一定相等.
由
a< br>41
由
a
24
j?5
)
?4
,
a< br>41
??2
,
a
43
?10
,则
a
11
?a
55
的值为______.
??2
,
a
43
?10
知
a
42
?
10?(?2)
?4
且公差为6,故
a
44
?16
,
a
45
?22< br>.
2
?4
,
a
44
?16
知公比
q??2
.
?21
若
q?2
,则
a
11
?
3
??
,
a
55
?22?2?4?11
,故a
11
?a
55
??11
;
s4
?21若
q??2
,则
a
11
?
3
?
,a
55
?22?(?2)?4?(?11)
,故
a
11
?a
55
??11
.
s4
6.设点
P
在曲线y?
解:
1
x
e
上,点
Q
在曲线
y? ln(2x)
上,则
PQ
的最小值为______.
2
2(1?ln2)
.
函数
y?
1
x
e
与函数
y?ln(2x)
互为反函数,图象关于
y?x
对称. 2
1
x
e?x
1
x
1
x
2
函 数
y?e
上的点
P(x,e)
到直线
y?x
的距离为
d?
.
22
2
设函数
g(x)?
1
x
11?ln2
e?x?g
?
(x)?e
x
?1?g(x)
m in
?1?ln2?d
min
?
.
22
2
由图象 关于
y?x
对称得:
PQ
最小值为
2d
min
?2 (1?ln2)
.
7.将2个
a
和2个
b
共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内,每个小方格内至多填一个字母,
若使相同字母既不同行
也不同列,则不同的填法种数共有 .
答案:3960
解:使得2个
a
既不同行也不同列的填法有
C
4
A
4
?72
种,
使得2个
b
既不同行也不同列的填法
有
C
4
A
4<
br>?72
种,故由乘法原理,这样的填法共有
72
种.
其中不合要求的
有两种情况:2个
a
所在的方格内都填有
b
的情况有72种;2个
a
所在的方格内恰
有1个方格填有
b
的情况有
C
16
A
9
?16?72
种.
所以,符合条件的填法共有
72?72?16?72?3960
种.
8.一
个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为
112
?
,该梯
形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为
80
?
,该梯形绕它的直角
腰旋转一周所得旋转体的体积为
2
12
22
22
2
156<
br>?
,则该梯形的周长为 .
答案:
16?213
. <
br>解:设梯形的上底长为
a
,下底长为
b
,高为
h
,则
梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为
?
h
2
b?
?
h
2
(a?b)?
?
h
2
(a?2b)
,因此
?<
br>h
2
(a?2b)?112
?
,即
h
2
(a
?2b)?336
. 同理有
h
2
(2a?b)?240
,两式相除
得
1
3
1
3
1
3
a?2b3367
??<
br>,去分母化简得
b?3a
,代入
h
2
(a?2b)?336<
br>得
2a?b2405
ah
2
?48
.
注意到直角腰
长等于高
h
,梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,其体积为
1
因此
h(a
2
?ab?b
2
)?156
.
将
b?3a
代入化简得
a
2
h?36
. 结合
ah
2
?48
可解得
a?3,h?4
,
3
b?9
,由勾股定理知另一条腰的长度为
4
2
?(9?3)
2
?213<
br>,因此梯形的周长为
3?9?4?213?16?213
.
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
x<
br>2
y
2
1.(本小题满分16分)设椭圆
2
+
2=1
(a>b>0)
的左、右顶点分别为
A,B
,点
P
在椭圆上
ab
且异于
A,B
两点,
O
为坐标原点. 若|AP|=|OA|
,证明:直线
OP
的斜率
k
满足
|
k|?
解法一:设
P(acos
?
,bsin
?
)(0?<
br>?
?2
?
)
,A(?a,0)
.
由
|
3
.
AP|?|OA|
,有
(acos?
?a)
2
?(bsin
?
)
2
?a
,
即
acos
22
?
?2a
2
c
os
?
?b
2
sin
2
?
?0
.
……4分
?
?1?cos
?
?0,
从而
?
2
222222
?acos
?
?2acos<
br>?
?bsin
?
?asin
?
.
?
b
2
sin
2
?
2
1
??1??3
. 所以,??cos
?
?0
,且
2
acos
2
?
cos
?
2
所以,
|k|?
bsin
?
2
??1??3.
……16分
acos
?
cos
?
解法二:设
P(acos
?
,bsin
?
)(0?
?
?2
?
)
.
则线段
OP
的
中点
Q(cos
?
,
a
2
b
sin
?)
.
2
|AP|=|OA|
?AQ?OP?k
AQ
?k??1
.
k
AQ
?
bsin
?
?bsin
?
?ak
AQ
cos
?
?2ak
AQ
. ……8分 2a?acos
?
?|k
AQ
|?
1
?|k|?3. ……16分
3
2.(本小题满分20分)
设非负实数
a
,
b
,
c
满足
a?b?c?3
. 求
的最大值.
解:不妨设
a?b?c<
br>.显然有
b?bc?c?b
,
c?ca?a?a
.
……………5分
根据AM-GM不等式可得
……………15分
所以S
的最大值为12,这时
?
a,b,c
?
?
?
2,1,0?
.
……………20分
3.(本小题满分20分)求出所有的函数
都
能被
2
f(y)?x
整除.
2
**2
f:N?N
使得对于所有
x
,
y
?N
,
(f(x))?y
*
222222
解:根据题目的条
件,令
x?y?1
,则
(f(1))
因此
(f(1))
2<
br>?1
能被
f(1)?1
整除.
?f(1)
能被
f(
1)?1
整除,也就是
f(1)(f(1)?1)
能被
f(1)?1
整除.
因为
f(1)
与
f(1)?1
互素,所以
f(1)
?1
能被
f(1)?1
整除,且
f(1)?1?f(1)?1
,所以
f(1)?1?0
,
f(1)?1
.
……………10分
令
y?1
,则
(f(x))
222
?1
能被
1?x
整除,因此
(f(x))?x
.从而
f(x)?x
,对所有x
?N
.
*
2*
令
x?1
,则
1?y
能
被
f(y)?1
整除.从而
y?f(y)
,对所有y
?N
.
综上所述,
f(x)?x
,对所有x
?N
.
……………20分
*