2017年高中数学联赛初赛复习讲义

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
考生注意：1.本试卷共两大题（14小题），全卷满分150分，考试时间：120分钟.
2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.
3.解题书写不要超出装订线.
4.不能使用计算器.
一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分.要求直接将答案写在横线上.）
< br>1.若关于x的不等式
|x?a|?b
的解集为
{x|2?x?4}
， 则ab的值是________.
2.从
1,2,3,4,5,6,7,8,9
中任 取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是______.
3.已知函数
f(x)< br>是周期为4的奇函数，且当
x?(0,2)
时,
f(x)?x?16x?60< br>,则
f(210)
的值是_______.
4.已知直线l是函数
f (x)?2lnx?x
图像的切线，当l的斜率最小时，l的方程是_____.
5.在平面 直角坐标系xOy中，如果直线l将圆
x?y?2x?4y?0
平分，且不经过第四象
限，那么l的斜率的取值范围是______________.
6.已知等边
?ABC的边长为2，若
AP?
是_________.
7.已知正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，点P 在棱BC上，点Q为棱CC
1
的中点，若
过点
A,P,Q
的平面截该 正方体所得的截面为五边形，则BP的取值范围为_______.
8.已知数列
{a
n
}
的奇数项依次构成公差为d
1
的等差数列， 偶数项依次构成公差为d
2
的等差
数列，且对任意
n?N*
，都有
a
n?a
n?1
，若
a
1
?1,a
2
?2
，且数列
{a
n
}
的前10项和
S
10
=75，< br>则
a
8
?
__________.
22
2
2
11
则
?APQ
的面积
(AB?AC),AQ?AP?BC
，
32
(x?2)
2
(y?2)
2
??16
，则
x?y?
________. 9.已知正实数
x,y
满足
yx10.设M表示满足下列条件的正整数n的和：n整除2016
2
，且2016整除n，那 么M的所有
不同正因子的个数为_______.

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11.已知


1 33
1135
?
??,
?
?(0,)
，求
tan
?

sin
?
cos
?
122

12.如图，点P在
?ABC
的边AB上，且
AB?4AP
，过点P的直线MN与
?ABC
的外接圆
交于点
M,N,
且点A是 弧MN的中点，求证：
A
(1)
?ABN
∽
?ANP
；
(2)
BM?BN?2MN.









< br>N
M
B
C
(第12题图）
x
2
y
2
13.在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
C:
2
?
2
?1
的右焦点为F，过点F的直线l与双
ab
曲线C交于
A,B
两点，若
OFAB?FAFB
，求双曲线C的离心率
e
.






14.已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其 余4个内角的余弦之和都等于某个常数值
?
.若
九个内角中有一个角等于
12 0?
，试求常数
?
的值

















2 33

3 33

4 33

5 33

6 33

7 33

8 33

9 33

10 33

11 33

2015年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝log
a
(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ．
(a＋b)
2
解：由题意 知，log
a
(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4，
4
当a＝b＝2时，ab的最大值是4．
π43π
2．函数f(x)＝3sin(2x－)在x＝ 处的值是 ．
424
π43ππ40π10π4π43π4π
3
解：2x－＝－＝＝＝2π＋，所以 f()＝3sin＝－．
4
3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值是 ．
解：设函数f(x)＝|ax＋1|，则f(－2)＝ f(1)＝3，故a＝2．
4．第一 只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、
9个黑球，从两 个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．
3×10
30
7×6
42
解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的
25 ×25
625
25×25
625
72
概率是．
625x
2
y
2
x
2
y
2
5．在平面直角坐 标系xOy中，设焦距为2c的椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)与椭圆
2
＋
2
＝1有相
abbc
同的离心率e，则e的值是 ．
－1＋5
c
2
c
2
－b
2
c
2
b
2
－c
2
解：若c＞b，则
2
＝
2< br>，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有
2
＝
2
，解得e＝．
acab2
6．如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1< br>D
1
中，对角线B
1
D与平面A
1
BC
1< br>交于E点．记四棱锥E
－ABCD的体积为V
1
，长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的
V
1
体积为V
2
，则的值是 ．
V
2





12 33
A
（第6题图）
D
B
A
1
E
C
D
1
C
1
B
1

解：记四棱锥B
1
－ABCD的体积为V．
2
如图，DE＝DB
1
，
3
21V
1
2
从而V
1
＝V．又V＝V
2
，所以＝．
33V
2
9


A
A
1
D
1
O
B
1
E
D
B
（第6题图）
C
1
C
7．若实数集合A＝{31x，65y} 与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元
素之积的值是 ．
解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相 等，则另
一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0．
8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x
1
，x< br>2
，…，x
7
中有3个为a，其余为
b；向量y
1
， y
2
，…，y
7
中有2个为a，其余为b．则?x
i
yi
的可能取值中最小的为 ．
i=1
7
解：因为a
·
a＝b
·
b＝1，a
·
b＝0，所以?x
iy
i
的最小值为2．
i=1
7
9．在3×3的幻方中填数，使 每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个
方格中的数分别为1，2，2015，则幻 方中其余6个数之和为 ．
解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知
2
1
a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．
2015
因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．
2011
由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－．
2
201118099
这9个数的和为3×(－－2011)＝－，
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－．
22

（第9题图）
e
d
a
c
x
2015
1
2
b
（第9题图）
10 ．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形< br>成的区域（其中[x]是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个数为 ．
解：区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．



13 33

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．在等比数列{a
n
}中，a
2
＝2，q是公比．记S
n
为{a
n
}的 前n项和，T
n
为数列{a
2
n
}的前n项
和．若S
2n
＝2T
n
，求q的值．
解：若q＝1，则a
n
＝a
2
＝2，a
2
n
＝4，则S
2n
＝4n，T
n
＝4n，S
2n
≠2T
n
．
若q＝－1，则a
n
＝2×(－1)
n
，a
2
n
＝4，则S
2n< br>＝0，T
n
＝4n，S
2n
≠2T
n
．
……………………………… 5分
24
2
n
×(1－q
2
n
)
2
×(1－q)
qq
－
2
n
－
4
若q≠±1，则a
n
＝2q
n
2
，a
2
＝4q，从而S
2n
＝，T
n
＝．
n
1－q1－q
2
……………………………… 15分
由S
2n
＝2T
n
，则
－1±17
4
＝1，q
2＋q－4＝0，解得q＝．
2
q(1＋q)
－1＋17－1－17
综上，q的值为和． ……………………………… 20分
22
12．如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分 别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外
角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．
C
求证：A、P、B、C四点共圆．




证明：如图，连结PD，PE，PC．
因为四边形APDE是圆内接四边形,
所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．
又因为AP是∠BAC的外角平分线，
所以∠PAD＝∠PAF，
从而∠PED＝∠PDE，
D
A
F
P
(第12题图)
B
C
A
P
(第12题图)
E
D
B
E
故PD＝PE． ……………………………… 10分
又∠ADP＝∠AEP，
所以∠BDP＝∠CEP．
又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，
14 33

所以A、P、B、C四点共圆． ……………………………… 10分
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O
1
、圆O
2
都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若
两圆的半径之积为2，两圆的 一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．
解：由题意，圆心O
1
，O
2
都在x轴与直线l的角平分线上．
若直线l的斜率k＝tanα，
α
2t
设t＝tan，则k＝．
2
1－t
2
圆心O
1
，O
2
在直线y＝tx上，
可设O
1
(m，mt)，O
2
(n，nt)．
O
(第13题图)
P
O
2
O
1

x
y
l
交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0． ……………………………… 4分
所以⊙O
1
：(x－m)
2
+( y－mt)
2
=(mt)
2
，
⊙O
1
：(x－n )
2
+(y－nt)
2
=(nt)
2
，
?
(2－m)
2
＋(2－mt)
2
＝(mt)
2
，
?
m
2
－(4＋4t)m＋8＝0，
所以
?
即
?< br>2
……………… 8分
?
(2－n)
2
＋(2－nt)2
＝(nt)
2
，
?
n－(4＋4t)n＋8＝0，
所 以 m，n是方程X
2
－(4+4t)X＋8=0的两根，mn＝8．
11
由半径的积(mt)(nt)＝2，得t
2
＝，故t＝．……………………………… 16分
42
2t144
所以 k＝＝＝，直线l：y＝x． ……………………………… 20分
133
1－t
2
1－
4
14．将正十一边形的k个 顶点染红色，其余顶点染蓝色．
（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；
（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．
解：（1）设正十一边形的顶点A
1
，A
2
，A
3
，…，A
11
，则易知其中任意三点为顶点的三角形
都不是正三角形．
以这些点为顶 点的等腰三角形个数可以如此计算：以A
i
(i＝1，2，3，…，11)为顶角顶
1 1－1
点的等腰三角形有＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j≠i时，以A
j
为
2
顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．
故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分
当k＝2时，设其中A
m
，A
n
染成红色，其余染成蓝色．
以A
m
为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A
m
为底角顶点的等腰三角形有 10个；
同时以A
m
，A
n
为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三 角形的顶点不同色，且共有(5
15 33

＋10)×2－3＝27个．
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰
三角形有55 －27＝28个． ………………………… 10分
（2）若 11个顶点中k个染红色，其余11－k个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对
角线)中，两端点染红 色的有
k(k－1)(11－k)(10－k)
条，两端点染蓝色的有条，两端点染
2 2
一红一蓝的有k(11－k)条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．
把等腰 三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x
1
个，三个顶点
均为蓝色的 等腰三角形有x
2
个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x
3
个 ，
两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x
4
个，则按顶点颜色计算连线段，
k(k－1)
3x
1
＋x
3
＝3×， ①
2
(11－k)(10－k)
3x
2
＋x
4
＝ 3×， ②
2
2x
3
＋2x
4
＝3×k(11－k)， ③
3
由①＋②得 3(x
1
＋x
2
)＋x
3< br>＋x
4
＝[k(k－1)＋(11－k)(10－k)]，
2
11
用③代入得 x
1
＋x
2
＝[ k(k－ 1)＋(11－k)(10－k)－k(11－k)]＝(3k
2
－33k＋110)． 22
1
当k＝5或6时，(x
1
＋x
2
)
mi n
＝(5×4＋6×5－5×6)＝10．
2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k＝5或6．………… 20分

















16 33

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）
1．若
x≥2
，则函数
f(x)?x?


2．已知函数


2
S
n
为前
n
项和，3．已知数列
?
a
n
?
是各项均不为0的等差数列，公差为< br>d
，且满足
a
n
?S
2n?1
，
1
的最小值是 ．
x?1
，则的值是 ．
f (x)?e
x
．若
f(a?b)?2f(3a)?f(3b)
n?N
*
，则数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?
．


2
?
?
2x?3x, x≥0,
4．若函数
f(x)?< br>?
是奇函数，则实数
a
的值是 ．
2
?
?
?2x?ax,x?0


5．已知函数
f(x)?lg|x?
则


6．设
?
、
?
都是锐角，且
cos
?
?
10
|< br>．若关于
x
的方程
2
的实根之和为
m
，
f( x)?5f(x)?6?0
3
f(m)
的值是 ．
5
3
，
sin(
?
?
?
)?
，则
cos
?
等于 ．
5
5


7．四面体
ABCD
中，
AB?3
，
CD?5
，异面直线< br>AB
和
CD
之间的距离为4，夹角为
60
o
，
则四面体
ABCD
的体积为 ．


8．若满足
?ABC?
是 ．


9 ．设集合
S?
?
1,2,,8
?
，
A
，
B
是
S
的两个非空子集，且
A
中的最大数小于
B
中的 最
小数，则这样的集合对
(A,B)
的个数是 ．


?
3
，
AC?3
，
BC?m
的
△ABC
恰有一解，则实数
m
的取值范围
17 33

10．如果正整数
m
可以表示为
x
2
?4y
2
(
x
，
y?Z
)，那么称
m
为“好数”．问1，2，3，… ，
2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知
a
，
b
，
c
为正实数，
a
x
?b
y
? c
z
，

111
???0
，求
abc
的值．
xyz
x2
y
2
12．已知
F
1
，
F
2
分别是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左右 焦点，点
B
的坐标为
ab
(0,b)
，直线
F
1< br>B
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P
，
Q
两点，线段
PQ
的垂直平分
1
线与
x
轴交于点
M< br>．若
MF
2
?F
1
F
2
，求双曲线C的离心 率．
2


13．如图，已知
?ABC
是锐角三角形，以
AB
为直径的圆交边
AC
于点
D
，交边
AB
上的
高
CH
于点
E
．以
AC
为直径的半圆交BD
的延长线于点
G
．求证：
AG?AE
．



14．（1）正六边形被
3
条互不交叉（端点可以重合）的对角 线分割成
4
个三角形．将每个三
角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三 角形涂的颜色不同．怎样分割并
涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
（2 ）凸
2016
边形被
2013
条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成< br>2014
个三角
形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形 涂的颜色不
同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值
是多少？证明你的结论．
18 33

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（5月5日8:00至10:00）

一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程的根大于< br>?2
，且小于
4
，则实数
m
的范围是 ．
x
2
?2mx?m
2
?1?0

2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．
3．设实数
x
，
y
满足
x?4x?y?3?0
，则x?y
的最大值与最小值之差是 ．

4．若存在正实数< br>a
，
b
满足
(a?bi)?(a?bi)
（
i
是虚数单位，
n?N
*
），则
n
的最小值
是 ．

5．若三角形
ABC
的三边
AB
，
BC，
AC
成等差数列，则
?A
的取值范围是 ．

*
6．若数列
?
a
n
?
满足
a
4
?9
，
(a
n?1
?a
n
?1)(a< br>n?1
?3a
n
)?0
（
n?N
），则满足条件的< br>a
1
的
222
nn
所有可能值之积是 ．

7．已知
f(x)?x?94x?2013
，则

2n?30
?
?
f(n)?
60
f(n)
?
?< br> ．
19 33

8．设
x
，
y?
?
0,2
?
?
，且满足
2sinxcosy? sinx?cosy??
为 ．

1
，则
x? y
的最大值
2
9．已知正四面体
ABCD
的棱长为9，点
P
是面
ABC
上的一个动点，满足
P
到面
DAB
、< br>DBC
、
DCA
的距离成等差数列，则
P
到面
DCA
距离的最大值是 ．


10．将小王和小孙现在 的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平
方数，再过31年，将他们俩的年龄 以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完
全平方数，小王现在的年龄是 ．



二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分． (x?k)
2
x
2
2
?y?1
与椭圆
E
2
:?y
2
?1
交于点
A
和11．设
k
为实数，
0?k?6
，椭圆
E
1
:
99
，若四边形
ABCD
是正方形，求实
C
，
E
1
的左顶点为B
，
E
2
的右顶点为
D
（如图）
数
k
．




12．如图，梯形
ABCD
中，
B
、
D
关于对角线
AC
对称的点分别是
B'< br>、
D'
，
A
、
C
关于
对角线
BD< br>对称的点分别是
A'
、
C'
．证明：四边形
A'B'C'D'
是梯形．
20 33

13．设 实数
a
，
b
满足
0?a?
1
?b?1
．证 明：
2(b?a)?cos
?
a?cos
?
b
．
2




14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三 色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰
梯形的顶点．



2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
1. 当
x?[?3,3]
时,函数
f(x)?x
3
?3x
的最大值为_______
解：设
g(x)?x
3
?3x,x?[?3,3]

g
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)
g(?1)?2
，
g(1)??2
，
g(3)?18
，
g(?3)??18
，根据
g(x)
的单调性结合绝对值的性质
知
f (x)?x
3
?3x
的最大值为18
评析：本题主要考查导数与绝对值的有关知识，较基础

2. 在△ABC中 ,已知
AC?BC?12,AC?BA??4
,则AC=_____
解：
A C?BC?AC?BA?16
，
AC?AC?16
?AC?4

评析：本题主要考查向量的有关概念与运算，有一定的灵活性


3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是
_______
21 33

解：考虑取出三数从小到大成数列
当
d
=1时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组
当
d
=2时，有3，5，7；4，6，8两组，所以有6种情形，
3
?20
种情形，故概率为
P?
从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有
C
6
63
?

2010
评析： 本题以集合与数列为载体，考查排列组合与概率的知识，本题数据较小，可用枚举法
处理，体现文理科学 生的公平性

4. 已知
a?R
,方程
x
2
?( 4?i)x?4?ai?0
的一个实数根是
b
,则
a?bi
的值为_ _____
解：
b
2
?(4?i)b?4?ai?0

即
(b
2
?4b?4)?(b?a)i?0

?
b
2
?4b?4?0
?
a?2

??
?
?
?
b??2
?
a?b?0
a?bi=
22

评析：本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识

x
2
y
2
5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线
??1
的右焦点为F,一条过原点O且倾斜
124
角为锐角的直 线
l
与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为
83
，则直线
l
的斜率为
________
解：由题可设斜率为
k
（
k
>0）,
将
y?kx
代入C：
x
2
?3y
2
?12?0
得
y
(1?3k
2
)x
2
?12
，
x2
?
12
，
k
2
x
2
?12

2
1?3k
O
B
A
F
x
1S??4?y
1
?y
2
?4y
1
?83?y
1
2
?12

2
11
12k
2
2
22
，
k?1?3k
?k?,k?0,?k?
?12
1?3k
2
42
评析：本题 是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识
检测学生数学的基本素养和运算能力

6. 设为
a
正实数,
k?a
lga
，则
k
的取值范围是_________
解：两边取对数得
lgk?(lga)
2
?0?k?1
，即
k
的取值范围是
[1,??)

评析：本题考查指对数运算等知识，较为基础，考查学生的灵活性


22 33
A
D
B
C

7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____

解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A点在底面上的射影
1153
为三角形的外心所以即为BD中点，故
V???3?4??53

322



评析：本题是立体几何试题，主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算

8 .已知等差数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足:
a
1
?b
1
?3
，
a
2
?b
2
?7
，
a
3
?b
3< br>?15
，
a
4
?b
4
?35
，则
a
n
?b
n
?
________
?
a
1< br>?b
1
?3
?
a?d?bq?7
1
?
1解：设公差为d，公比为q，则
?

2
a?2d?bq?15
1
?
1
?
a?3d?bq
3
?35
1
?1
（4）-（3）得
d?b
1
q
3
?b
1q
2
=20 ， （3）-（2）得
d?b
1
q
2?b
1
q?8

b
1
q
3
?2b1
q
2
?b
1
q?12
（5）
（1）+ （4）得
2a
1
?3d?b
1
q
3
?b
1
?38
，（2）+（3）得
2a
1
?3d?b
1
q
2
?b
1
q?22

两式相减得，
b
1< br>q
3
?b
1
?b
1
q
2
?b
1
q?16
（6）
(5)q3
??q?3,
a
1
?2,d?2,b
1
?1
得
(6)q?14
a
n
?2n,b
n
?3
n?1
，
a
n
?b
n
?2n?3
n?1

评析：本题以等差、等比数列为载体，全面考查学生解方 程组和代数推理等运算能力，本题
运算要求较高

9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数
则这样的排法有____ 种。
解：将7个数分成3类：
（1）3
k
的数为 27，48，75，有3个
（2）3
k
-1的数为47，71，有2个
（3）3
k
+1的数为37，55，有2个
要使排列的一列数中任意的四个 数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一
类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7 位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有
32
3种排法，三类数排到三类位置共有
A
3
种，每一类位置各有
A
2
种排法，故共有
23 33

233
3（A
2
）A
3
?144
种 排法。
评析：本题是一个排列组合与数论结合的问题，重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力，要求较高，有较好的区分度

10、三角形的周长为31，三边为
a,b,c
均为整数且
a?b?c，则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个数为________
a?b?c?31,a,b,c?Z,?c?11
解：
又a?b?c,?c?15
c
的取值为11，12，13，14，15
当
c
=11时，
(a,b)
的取值为（9，11）（10，10） 有2组
c
=12时，
(a,b)
的取值为（7，12）（8，11）（9， 10）有3组
c
=13时，
(a,b)
的取值为（5，13）（6，12） （7，11）（8，10）（9，9）有5组
c
=14时，
(a,b)
的取值为 (3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9）有6组
c
=1 5时，
(a,b)
的取值为（1，15）（2，14）（3，13）-----（8，8）有8 组
故满足要求的三元
(a,b,c)
的个数为24
评析：本题是以三角形 为背景的整数问题，考查学生分类讨论和分析问题和解决问题的能力，
对学生背景公平但又有较高的区分 度，是一个相等精彩的好题
11、 .在
?
ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明：
(1)
bcosC?ccosB?a
； ⑵
证法一：（余弦定理法）
cosA? cosB
?
a?b
2sin
2
c
C
2
< br>a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
2a
2
（1）
bcosC?ccosB?b?c ??a

2ab2ac2a
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?co sB
2ac2bc
?
（2）
a?ba?b
ab
2
?ac
2
?a
3
?a
2
b?bc
2
?b< br>3
2ab?a
2
?b
2
?c
2
??
2abc(a?b)2abc

a
2
?c
2
?b
2
C
1?
2sin
2ab?a
2
?b
2
?c
2
2ac
2
?
1?cosC
?
，所以等式成立
?
ccc2abc

证法二：（正弦定理法）
（1）在
?
ABC中由正弦定理得
b?2RsinB,c?2RsinC
，所以
2
bcosC?ccosB?2RsinBcosC?2RsinCcosB

?2Rsin(B?C)?2RsinA?a
（2）由（1）知
bcosC?ccosB?a
， 同理有
acosC?ccosA?b


所以
bcosC?ccosB?acosC?ccosA?a?b

24 33

即
c(cosB?cosA)?(a?b)(1?cosC)?(a? b)?2sin
2
C

2
所以
cosA?cosB?
a?b
2sin
2
c
C
2

评析： 本题是三角中解三角形题，主要考查正弦、余弦定理的应用和有关三角变换等知识，
较为基础以检测学生 的基本运算能力

12、已知
a,b
为实数,
a?2
， 函数
f(x)?lnx?
a
x
?b(x?0)
，
f(2)?
e
2
?ln2?1

(1)求实数
a,b
； (2)求函数
f(x)
的单调区间；
(3)若实数
c,d,
满足
c?d,cd?1
,求证：
f(c)?f(d)

?
f(1 )?a?b?e?1
解：（1）
?
?
?
?
f(2)?ln2 ?
a
2
?b?
e
2
?ln2?1

a?1
?ln2?
a
2
?
a
2
?ln2
?
a
2
?b?
e
2
?1
?a?e,b?1

（2）
f(x)?lnx?
a
x
?1

设
g(x)?lnx?
a
x
(x?0)

g
?
(x)?
1
x
?
e
x
2
?0
，
g(x)
在
(0,??)
上递增
g(e)?0
，
?0?x?e
时，
g(x)?0

f(x)?lnx?
e
x
?1
，
f(x)
在
(0, e)
上递减
当
x?e
，
g(x)?0
，
f(x) ?lnx?
e
x
?1
在
(e,??)
上递增，
即
f(x)
的减区间为
(0,e)
，增区间为
(e,??)


（3）
d?
1
,c?1
，
f(c)?lnc?
e
c
c
?1

f(d)?f (
11cc
c
)?ln
c
?ce?
1
?lnc?c e?1?lnc?
e
?1?lnc?
e
?1

?lnc?
c
e
?1?f(c)
，所以命题成立
25 33
若
f(1)?e?1

评析：本题是一个函 数与不等式综合题，主要考查函数的有关性质，绝对值、导数、不等式
等知识，属中档题，作为预赛题有 较好的选拔功效




13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A为圆O 上动点，
A
在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB交圆O
于另一点C,D为线段OB的中点，求线段CD长的取值范围

O
证明： 如图，设
?AOB?
?
,OA?AB??OBA?
?

D< br>M
B
?BAO?
?
?2
?
,OA?OC??OCA?
?
?2
?
，
于是
?BOC?
?
?3?
，∵D为OB的中点，
?OD?OAcos
?
?cos
?
?CD
2
?OC
2
?OD
2
?2OCODc os?COD?1?cos
2
?
?2cos
?
cos(
?< br>?3
?
)?1?cos
2
?
?2cos
?
c os3
?

5
2
7
)?

1632
又
?BOC?
?
?3
?
??AOB?
?
,
?OCA?
?
?2
?
??OBA?
?
得
?
?3
?
?
?
，
?
?2
?
?
?< br>
??
1171
142
??
?
?

?cos
2
?
?(,)
，于是
CD
2
?[,)

?CD?[,)

82
4342322
?1?cos
2
?
?2cos
?
( 4cos
3
?
?3cos
?
)?8cos
4
??5cos
2
?
?1?8(cos
2
?
?
评析 ：本题是一个以平几为背景的题目，它可用三角函数知识转化为二次函数问题来加以处
理，考查学生灵活 运用数学知识的能力

14. 设
a,b,c,d
是正整数，
a ,b
是方程
x
2
?(d?c)x?cd?0
的两根，证明：存在边长 是正整
数且面积为
ab
的直角三角形。
?
a?b?d?c
证明： （命题组提供） 由题设可知，
?
，由于
a,b,c,d
是正整数，
ab?cd?
则
a?b,a?c,b?c
中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， (c?a)
2
?(b?c)
2
?a
2
?b
2< br>?2c
2
?2c(a?b)
?a
2
?b
2
? 2c
2
?2c(d?c)
?a?b?2cd?a?b?2ab
?(a?b)< br>2
2222

11
22
故存在边长为
a?c,b?c ，a?b
（均为正整数）的直角三角形（
a?b
为斜边）符合题设要求.
又
S?(a?c)(b?c)?(ab?c(a?b?c))?(ab?cd)?ab


评析：本题为全套试题的压轴题，是一个开放性问题，能很好地考查学生的思维能力和创新< br>能力，难度较高，试题构思巧妙朴实优美。本题的关键是如何构造一个满足题设要求
的三边长为正 整数，面积为
ab
的三角形
26 33
1
2

上述命题组给出的证明方法，结论是正确的但很不自然 ，让人感到迷茫，正如美籍匈牙
利数学家波利亚所言：“就像从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人 感到意外，根本不
具有什么启发性。聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各个步骤都是正确 的，
他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。如果最为引人注目的步骤其动机和目的仍不可理
解的话，那么他们在推理和创新方面学不到任何东西。”我们研究一个问题不仅希望得到一
个解答，也希 望这个解答是优美的、富有启发性的，更渴望知道这个解答是如何想到的，因
此揭示出问题解决的心理过 程和分析探索过程，对培养学生的解题能力进而提高他们的思维
能力和创新能力显得尤为重要。下面给出 笔者的探索尝试过程，供参考
设以正整数
x,y
为直角边的三角形满足要求，则xy?2ab
，
x
2
?y
2
为完全平方数
?
a?b?d?c
由题设根据韦达定理可知，正整数
a,b,c,d
满足
?
， 又
ab?cd
?

x
2
?y< br>2
?(x?y)
2
?2xy?(x?y)
2
?4ab?(x? y)
2
?4cd
，
222
（c?d）（c?d）?4cd?（c?d）
可尝试猜想
(x?y)
2
?4cd?
，则
(x?y)
2
?
得
x?y?c?d
，又
xy? 2ab?2cd
，利用韦达定理和一元二次方程求根公式结合对称性
c?d?c
2< br>?d
2
?6cdc?d?c
2
?d
2
?6cd
不妨设
x?
，
y?

22
d?c?c
2?d
2
?6cd
因为
a,b
是方程
x?(d?c)x? cd?0
的两根，同样不妨设
a?

2
2
d?c?c
2
?d
2
?6cd
b?
，所以
c
2
?d
2
?6cd?d?2a?c
或
c
2
?d
2
?6cd?2b?c?d

2
c?d?(d?2a?c)
?
x??c ?a
?
?
2
所以得
?

c?d?(d?2a ?c)
?
y??d?a?b?c
?
2
?
c?d?(2b?c ?d)
?
x??d?b?a?c
?
?
2
或
?
，此时
c?d?(2b?c?d)
?
y??b?c
?< br>2
?
x
2
?y
2
?(c?a)
2
? (b?c)
2
?a
2
?b
2
?2c
2
?2 c(a?b)
?a
2
?b
2
?2c
2
?2c(d? c)
?a
2
?b
2
?2cd?a
2
?b
2
?2ab
?(a?b)
2

这样可得到满足要求的三角形两条直角边 为
a?c,b?c
，斜边为
a?b
。

27 33

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?
．
2． 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
2
?y< br>2
?4x?4y?5?0
的一条对称轴，则实数
m?
.

3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概
率
是 （结果用最简分数表示）．

1
4． 已知
cos4
?
?
，则
sin
4
?
?cos
4
?
?
．
5

5． 已知向量a，b满足
a?b?2,?a,b??
π< br>，则以向量
2a?b
与
3a?b
表示的有向线段
3
为邻边的平行四边形的面积为 ．

6． 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．若{S
n
}是首项及公 比都为2的等比数列，则数列{a
n
3
}的前
n项和等于 ．

7． 设函数
f(x)?x
2
?2
．若f(a)＝f (b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
28 33

8． 设f(m)为数列{a
n
}中小于m的项的个数，其中
a
n
?n
2
,n?N*
，
则
f[f(2011)]?
．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知m是正整数，且方程
2x?m10?x?m?10?0
有整数解，则m 所有可能的值
是 ．











二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x
2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h
有公 共点，求实数h的取值范围．





12．设
f(x)?x
2
?bx?c(b,c?R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在区间
?
2,3
?
上 的最大值
为
1，求
b
2
?c
2
的最大值和最小值．






13．如图，P是
ABC
内一点．
1
（1）若P是
ABC
的内心，证明：
?BPC?90??BAC
；
2
11
（2 ）若
?BPC?90??BAC
且
?APC?90??ABC
，证明：P是< br>ABC
的内心．
22
29 33

A
P
B C
14．已知
?
是实数，且存在 正整数n
0
，使得
n
0
?
?
为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
n?
?
为有理数．



2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?
．
答案：－8
基础题，送分题，高考难度
2． 已知直线
x?my?1 ?0
是圆
C:x
2
?y
2
?4x?4y?5?0
的 一条对称轴，则实数
m?
.
3
答案：
?

2
基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概
率
是 （结果用最简分数表示）．
答案：
19

145
基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错
30 33

1
4． 已知
cos4
?
?
，则
s in
4
?
?cos
4
?
?
．
5
4

5
计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度
答案：
5． 已知向量a，b满足
a?b?2,?a,b??
π
，则 以向量
2a?b
与
3a?b
表示的有向线段
3
为邻边的平行四边形的面积为 ．
答案：
103

可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案
6． 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．若{S
n
}是首项及公比都为2的等比数列， 则数列{a
n
3
}的前
n项和等于 ．
1
答案：
(8
n
?48)

7
高考难度级别，基础好的同学可以做出来
7． 设函数
f(x)?x2
?2
．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
答案：(0,2)
这是一道高考题
8． 设f(m)为数列{a
n< br>}中小于m的项的个数，其中
a
n
?n
2
,n?N*
，
则
f[f(2011)]?
．
答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
答案：43
还是一道高考题
10．已知m是正整数，且方程
2x?m 10?x?m?10?0
有整数解，则m所有可能的值
是 ．
答案：3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x
2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h
有公 共点，求实数h的取值范围．
解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，
1 5
得
h?sin
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?1?(sin
?
?)
2
?

24
?
5
?
因为
sin
?
?
?
?1,1
?
，所以
h?
?
?,1
?
?
4
?
简单，很简单
12．设
f(x)?x
2
?bx?c(b,c?R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在区间
?
2,3
?
上的最大值
31 33

为
1，求
b
2
?c
2
的最大值和最小值．
解：由题 意函数图象为开口向上的抛物线，且
f(x)
在区间
?
2,3
?上的最大值只能在闭端点取
得，
故有
f(2)≤f(3)?1
，从而< br>b≥?5
且
c??3b?8
．
若
f(x)?0
有实根，则
??b
2
?4c≥0
，
4
?
?
b≤?,
?
?
f(?2)≥0,
?
4?2b?c≥0,
5
?
?
?
在区间
?
? 2,2
?
有
?
f(2)≥0,
即
?
4?2b?c≥ 0,
消去c，解出
?
b≤?4,

?
?
?4≤b≤ 4,
?
?4≤b≤4,
b
?
?2≤≤2,
?
??2
?
即
b??4
，这时
c?4
，且
??0< br>．
若
f(x)?0
无实根，则
??b
2
?4c?0
，将
c??3b?8
代入解得
?8?b??4
．
综上
?5≤b≤?4
．
所以
b
2
?c
2
?b
2
?(?3b?8)
2
?10b
2
?48b? 64
，单调递减
故
(b
2
?c
2
)
mi n
?32,(b
2
?c
2
)
max
?74
．
注重分类讨论
13．如图，P是
ABC
内一点．
1
（1）若P是
ABC
的内心，证明：
?BPC?90??BAC
；
2
11
（2）若
?BPC?90??BAC
且
?APC?90??A BC
，证明：P是
ABC
的内心．
22
111
证明：（1 ）
?BPC?180?(?ABC??ACB)?180?(180??BAC)?90??BAC
222

A




P


B C
32 33

这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有
14．已知
?
是实数，且存在正整数n
0
，使得
n
0
?
?为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
n?
?
为有理数．
q
q
2
证明：设
n
0
?
?
?，其中p，q为互质的正整数，则
n
0
?
?
?
2
．
p
p
设k为任意的正整数，构造
n?p
2
k
2
?2qk?n
0
，
则
n?
?
?pk?2qk? n
0
?
?
?
22
q
2
q
pk?2 qk?
2
?pk??Q
．
pp
22


非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识
总结：这张试卷大约90分以上应该可以 出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平
时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个 ），对于没有进行过竞赛辅导的
同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。
尤其提醒一点 ，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。比
如最后一题，只要把他设出来， 就有8分。




33 33