2015年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案与评分细则(word版)

2015年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
（5月17日下午14：30——16：30）



三

题 目 一 二总成绩
13 14 15 16

得 分

评卷人

复核人

考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.
2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场.
4、解题书写不要超过密封线.

得 分 评卷人
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）



1、已知n为正整数，二项式
(x
2
?
1
n7
x
的展开式中含有项，则n的最小值为 【 】
)
3
x
A、4 B、5 C、6 D、7
2、在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若
【 】
A、
abc
??
，则
?A
的大小为
cosA2cosB3cosC
D、
?

6
B、
?

4
0
C、
?

3
5
?

12
3、已知二面角
?
?l?< br>?
的大小为30，则由平面
?
上的圆在平面
?
上的正射影得到 的椭圆的离心率为
【 】
A、
1

3
B、
1

2
C、
3

3
D、
3

2
4、记函数
f(x)?2?x? 3x?12
的最大值为M，最小值为m，则
A、
M
的值为 【 】
m
6

2
B、
2
C、
3
D、2
5、已知正三棱锥P-ABC的底面ABC是正三角形，该三棱锥 的外接球的球心O满足
OA?OB?OC?0
，
则二面角
A?PB?C
的余弦值为 【 】
A、
1
3
D、
5
3
222
6、 设质数p，满足存在正整数x，y使得
p?1?2x,p?1?2y
，则符合条件的质数p的个 数为
B、
1

6
2

8
C、
【 】
A、1
得 分 评卷人

B、2 C、 3 D、4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）


7、
i
为虚数单位，复数
z?
4?2i
，则
z
= .
1?i
2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第1页 （共8页）

121
???
.
ab c
9、已知点P
(x,y)
满足
x?y?2
，则到x轴的距离
d?1
的点P的概率是 .
10、设
x?si nx?cos?1?0,2cosy?2y?
?
?4?0
，则
sin(2x? y)
的值是 .
8、若
4?6?9
，则
abc
11、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满 足PA=2，PC=
21
，则
PB?PD?
.
12、对任意正整数n，定义函数
?
(n)
如下：
?
( 1)?1
，且当
n?p
1
?
1
?p
2
?< br>2
?????p
k
?
k
?2
时，
?
(?1)
t
,
?
1
?
?
2
??????
t
?1
，其中
t?1,p
1
,???,p
k
是不同的质数.
?
(n)?
?
0，否则
?
若记< br>A?{x
1
,x
2
,???,x
k
}
为12 的全部不同正因数的集合，则
得 分 评卷人

?
?
(x)?
.
i
i?1
k
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、已知数列
{a
n
}
满足：
a
1< br>,a
2
?1,a
3
成等差数列，且对任意的正整数n，均有
1 3
a
n?1
?2
n
?
成立，其中
S
n是数列
{a
n
}
的前n项和.
22
（1）求
a
1
,a
2
,a
3
； （2）求数列
{a
n
}
的通项公式.
S
n
?14、已知
f(x)?sin
4
x
.
?
3
?
?x)
，求
g(x)
在
[,]
上的最大值和最小值； 268
?
2
?
3
?
88
?
89
?
（2）求
f()?f()?f()?????f()?f()
的值.
1 80
y
2
2
?1
的右支上任意一点
P(x
0
,y
0
)
作一直线
l
与两条渐近线交于A、B，若P是AB的中1 5、过双曲线
x?
4
（1）记
g(x)?f(x)?f(
点.
（1）求证：直线
l
与双曲线只有一个交点；
（2）求证：△OAB的面积为定值.
题源：（2012-2013学年浙江省宁波市海曙区 效实中学高二（上）期中数学试卷（文科））点
P
是双曲线
?
x
2< br>?y
2
?1
右支上的点，直线l交双曲线的两条渐近线于
A,B
两点，且
P
为线段
AB
的中点
4
（1）若
P22,1
，求直线l的方程；[来源:]
??
（2）若直线
l
的斜率为2，求l的方程．[来源:学
解：（1）
y?
2
x?1
；
2
?
2mm
??
2mm
?
,?
?
,B
?
?,
?
，从而得中点
3355
????
（2）设
l:y?2x? m
，联立两条渐近线得到交点坐标为
A
?
?
?
8mm
?
P
?
?,?
?
，把P点坐标代入双曲线方程，解得
m< br>2
?15
，因为P在右支，
m?0,?m??15
，所以
?< br>1515
?
y?2x?15.

?x
16、已知a为实常数， 函数
f(x)?esinx?ax,x?[0,2
?
]
.
（1）记
f(x)
的导函数为
g(x)
，求
g(x)
在
[0 ,2
?
]
上的单调区间；
（2）若
f(x)
在
( 0,2
?
)
的极大值和极小值恰好各有一个，求实数a的取值范围.
2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第2页 （共8页）

2015 年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准．选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档；其它各题的评阅，
请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次． < br>2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次．
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
l、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、3 8、0 9、
3
10、-l 11、0 12、0
4
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.解： (l) 由
a
1
,a
2
?1,a
3
成等差数列知，
2(a
2
?1)?a
1
?a
3
,①
1313a
n?1
?2
n
?
，取
n?1
知
a< br>1
?a
2
?2?
②
2222
13
取< br>n?2
知
a
1
?a
2
?a
3
?4?
③
22
联立①、②、③解得：
a
1
??1,a
2
??1,a
3
?1
.
1313
nn?1
( 2)当
n?2
时，由
S
n
?a
n?1
?2?
，
S
n?1
?a
n
?2?
,知，
222211
a
n
?a
n?1
?a
n
?2
n? 1
， 即
a
n?1
?3a
n
?2
n
，故< br>a
n?1
?2
n?1
?3(a
n
?2
n)
，
22
于是，当
n?2
时，有
a
n
?2
n
?(a
2
?2
2
)?3
n?2
， 即
a
n
?3
n?1
?2
n
(n?2)
．
由
S
n
?
又
a
1
??1
，也满足
a
n
?3
n?1
?2
n
，所以，
a
n
?3
n?1
?2
n
．
所以，数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?3
n?1
?2
n
．
1
2
sin2x
．
2
?
3
??
3
?
113
2
]
，则
2x?[,]
，故
sin
因为
x?[,
2x?[,1]
，从而
?1?si n
2
2x?
，即
6834224
2
13
?
3
?
3
?
3
?
1
g(x)?[,]
，所以 ，
g(x)
在
[,]
上的最大值为
g()?
，最小值为g()?
．
24688462
?
2
?
3
?< br>88
?
89
?
(2)注意到
f()?f()?f()???? ?f()?f()

180
?
2
?
3
?
4 4
?
45
?
?g()?g()?g()?????g()?g()

180
12
?
4
?
6
?
88
?< br>2
4
?44?[sin
2
()?sin
2
()?si n
2
()?????sin
2
()]?()

218
11133
．
?44??22??
244
15. 证明： (l)双曲线两条渐近线方程为
y??2x
．
当
y
0=0时，易得直线l的方程为
x?x
0
，此时l与双曲线只有一个交点．
14. 解： ( l )
g(x)?sinx?cosx?(sinx?cosx)?2s inx?cosx?1?
4422222
当
y
0
?0
时，显 然直线l存在斜率，故可设直线l的方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
, 与
y?2x
联立，解得 A
2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第3页 （共8页）

点 坐标为（
(
kx
0
?y
0
2kx
0
?2y
0
,)
．
k?2k?2
kx
0
?y
0< br>2kx
0
?2y
0
,?)
． … … 5 分
k? 2k?2
kx?y
0
kx
0
?y
0
4x
? ?2x
0
，解得
k?
0
． 因为P是AB的中点，所以
0< br>k?2k?2
y
0
4x
故直线l的方程为
y?y
0< br>?
0
(x?x
0
)
．
y
0
4x
22
与双曲线方程联立，得
4x?[y
0
?
0
(x?x
0
)]?4
，得
y
0
与
y??2x
联立，解得 B 点坐标为
(
2222
， ①
4y
0
x?[y
0
?4x
0
(x?x
0
)]
2
?4y
02
y
0
y
2
2
22
?1
上，所以x
0
??1
，得
y
0
又因为
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
x?
?4x
0
?4，
44
22222
所以方程①可化为
4y
0
x?(4 x
0
x?4)?4y
0
,化简得，
?4x
2
?8x
0
x?4?y
0
?0
,
2
22222
所以
??64x
0
?16(4?y
0
)?64x
0
?16y
0
?64?0
．
所以l与双曲线只有一个交点．… …15分
1
|OA|?|OB|?sin?AOB
B , 故只需证明
|OA|?|OB|
为定值即可．
2
kx?y
0
2
2kx
0
?2y
0
2
5
2
)?()? (2x
0
?y
0
)
， 因为
|OA|?(
0k?2k?24
kx?y
0
2
2kx
0
?2y
0
2
5
|OB|
2
?(
0
)?(?)?(2x0
?y
0
)
．
k?2k?24
2525
22 22
(4x
0
?y
0
)?
所以
|OA|?|OB| ?
．故得证． …… 20 分
164
?x'?x
16. 解： ( l )
f(x)?esinx?ax
，故
g(x)?f(x)?a?e(sinx?co sx)
．
?
3
?
'?x'
于是
g(x)??2e cosx
，由
g(x)?0
知
x?
或;
22
?
3
?
?
3
?
?x?2
?
；由
g< br>'
(x)?0
解得，
?x?
由
g
'
(x)? 0
解得，
0?x?
或．
2222
?
3
?
?
3
?
]
，单调递减区间为
[0,),(,2
?
]
． 所以，函数
g(x)
在
[0,2
?
]
的单调递 增区间为
[,
2222
?
3
?
(2)由（1）知
g(x)
在
x?
处取得极小值，在
x?
处取得极大值．
2 2
?
3
?
??
?
3
?
?2
?又因为
g(0)?a?1,g()?a?e
2
,g()?a?e
2
,g(2
?
)?a?e
．
22
3
??
一方面， 显然
g(0)?g()?g(2
?
)?g()
．
22
(2)
S
?OAB
?
'
①若
g() ?0
，则
f(x)?0
，故
f(x)
在
(0,2
?
)
内单调递增，从而
f(x)
在
(0,2
?
)内无极值．矛盾！
?
2
所以
g()?0
．
?
2
②若
g(2
?
)?0
，当
g(
3
?3
?
)?0
时，
f(x)
在
(0,2
?
)
内至多有一个极值点，当
g()?0
时，
f(x)
在
2 2
2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第4页 （共8页）

(0,2
?
)
内至少有3个极值点，矛盾！
所以，
g(2
?
)?0
． 15 分
另一方面，当
g()?0
且
g(2
?
)?0
时，
f
'
(x)
在
(0,)
与
(,2
?
)
内各有一个极值点 ．
22
2
?
g(2
?
)?a?e
?2
?
?0,
?
?
所以
f(x)
在
(0,2
?< br>)
的极大值、极小值恰好各有一个的充要条件是：
?
?

?
2
?
g()?a?e?0,
?2
解得：
e
?2?
?
?
?
?a?e
2
．所以，所求的实数
a< br>的取值范围是
(e
?
?
?2
?
,e
2
)
．…20分
?
?
2015年全国高中数学联赛（四川初赛）第5页 （共8页）