1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(9)二项式定理计数概率与统计

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
计数问题、概率与统计部分

2019A 5、
在
1,2,3,,10
?中随机选出一个数a
，在
?1,?2,?3,,?10
?中随机选出一个
数
b，则
a
2
?b
被
3
整除的概率为 ．
◆答案：
37

100
2
★解析：首先
数 组
?
a,b
?
有
10?10?100
?种等概率的选法． 考虑其中使
a?b
被
3
整
除的选法数N．①若
a
被 3 整除，则
b
也被 3 整除．此时
a,b
各有3种选法，这
样的
?
a,b
?
有
若
a
不被 3 整除，则a2
?1
?
mod3
?
，从而b??1
?
mod 3
?
．此时
a
有7 种
3?3?9
组．
选法，b
有4种选法，这样的
?
a,b
?
有
7?4?28组． 因此
N?9?28?37
．于是所
求概率为
37
。

100
2019A 8、
将
6
个数
2,0,1,9,20, 19
按任意次序排成一行，拼成一个
8
位数（首位不为
0
），则产生 的不同的
8
位数的个数为 ．

◆答案：
498

★解析：
将
2,0,1,9,20,19
的首位不为
0
的排列的全体记为
A
，记
A
为
A
的元素个数。
易知
A?5?5!?600
．将
A
中< br>2
的后一项是
0
，且
1
的后一项是
9
的排列 的全体记为
B ；A中
2
的后一项是0 ，但
1
的后一项不是
9
的排列的全体记为C；A中1的后
一项是9，但2的后一项不是0 的排列的全体记为D．易知
B?4!
,
B?C?5!
，
B?D?4?4!
,
即
B?24
,
C?96
,< br>D?72
．由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的
2?2?4
个排列（这 样的排列中，20 可与“2, 0 ”互换，19可与“1, 9 ”互换）．类似地，
由C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应C 或 D 中的2个排列．因此满足
条件的 8 位数的个数为
A
?
BC

D
?
?
BC?D 3BC?D
??A???600?18?48?36?498
.
4242

2019B 5.
将
5
个数
2, 0,1,9,2019
按任意次序排成一行，拼成一个
8
位数（首位不为
0< br>），则产生的不同的
8
位数的个数为 ．

◆答案：
95

★解析：
易知
2,0,1,9,2019
的所有不以
0
为 开头的排列共有
4?4!?96
个．其中，除
了
?
2,0,1,9, 2019
?
和
?
2019,2,0,1,9
?
这两种排列对 应同一个数
20192019
，其余的数互
不相等．因此满足条件的
8
位数的个数为
96?1?95
．

n?4
2019B 6. 设 整数
n?4
，
x?2y?1
的展开式中
x
与
xy< br>两项的系数相等，则
n
的值
??
n
为 ．
◆答案：
51

★解析：
注意到
x?2y?1
??
?
?
Cx
?
2
n
r
n
n?rr?0
n
y?1
，
其中
x
n?4
项仅出现在求 和指标
4
?
r
r?4
时的展开式
Cx
4
n
n?4
?
2
4
y?1
中，其
x
n?4项系数为
?
?1
?
C
n
；
而
xy项仅出现在
n?1
n
?
4
求和指标
r?n?1
时的展开式
C
4n?12
因此有
?
?1
?
C
n
?C
n
C
n?1
?
?1
?
4
x2y?1
??
n?1
n?12
中，其
xy
项系数为
C
n
C
n?1
?
?1
?
n?3
n?3< br>，
n?3
，注意到
n?4
，化简得
n?3?
??1
?
?48
，故只能
是
n
为奇数且
n?3? 48
．解得
n?51
．


2018A 3、将
1 ,2,3,4,5,6
随机排成一行，记为
a,b,c,d,e,f
，则
ab c?def
是偶数的概率为
◆答案：
9
10
★解析：先考虑
abc?def
为奇数时，
abc
，
def
一奇一偶，①若
abc
为奇数，则
a,b,c
为
1 ,3,5
的排列，进而
d,e,f
为
2,4,6
的排列，这样共有< br>6?6?36
种；②若
abc
为偶数，由对称性得，
也有
6? 6?36
种，从而
abc?def
为奇数的概率为
72119
?，故所求为
1??

6!101010

2018B 3、将< br>1,2,3,4,5,6
随机排成一行，记为
a,b,c,d,e,f
，则abc?def
是奇数的概率为
1

10< br>★解析：由
abc?def
为奇数时，
abc
，
def
一奇一偶，①若
abc
为奇数，则
a,b,c
为
1,3,5
的
排列，进而
d,e,f
为
2,4,6
的排列，这样共有
6?6?36
种；②若
abc
为偶数，由对称性得，
721
?
。 也有
6?6?36
种，从而
abc?def
为奇数的概率为
6!10
◆答案：

2017A 6、在平面直角坐标系
xOy
中， 点集
K?
?
(x,y)|x,y??1,0,1
?
，在
K< br>中随机取出三个
点，则这三个点中存在两点距离为
5
的概率为
◆答案：
4

7

3
★解析：由题意得K
有
9
个点，故从中取出三个点共有
C
9
?84
种。
将
K
中的点按右图标记为
A
1
,A
2,
?
,A
8
,O
，其中有
8
对点之间的距 < br>离为
5
，由对称性，考虑取
A
1
,A
4
两点 的情况，则余下的一个点有
。对每个
A
i
（
i?1,2,?,8< br>），
K
中恰有
7
种取法，这样有
7?8?56
个三点 组（不考虑顺序）
A
i?3
,A
i?5
两点与之的距离为
5
（这里下标按模8可以理解），因而恰有
?
A
i
,A
i?3
,A
i?5
?
这
8
个
484
三点组被计了 两次，从而满足条件的三点组个数为
56?8?48
，进而所求的概率为
?
。
847

2017B 6、在平面直角坐标系
xOy< br>中，点集
K?
?
(x,y)|x,y??1,0,1
?
，在< br>K
中随机取出三个
点，则这三个点两两之间距离不超过
2
的概率为
◆答案：
3
★解析：注意
K
中共有9个点，故在
K
中随机取出三个点的方式数为
C
9
?84
种，

5

14
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：
（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2）三点是边长为
1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有
4?4?16
种情况，
（3）三点是边长为
2,2,2
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于
(0,0)
的有4个，< br>直角顶点位于
(?1,0)
，
(0,?1)
的各有一个，共有8种情况 .
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为
6?16?8?30
，进而 所求概率为
305
?
.
8414

2016A 4、袋子
A
中装有
2
张
10
元纸币和
3
张
1
元纸币，袋子
B
中装有
4
张
5
元纸币和
3
张
1
元
纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则
A
中剩下的纸币面值之和大于
B
中剩下的纸
币面值之和的概率为
◆答案：
9

35
★解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的 两张纸币的总面值
a
小于从B中取走的两
张纸币的总面值
b
，从而< br>a?b?5?5?10
．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取
2
法数为
C
3
?3
．又此时
b?a?2
，即从B中取走的两张纸币不 能都是1元纸币，相应有
C
7
2
?C
3
2
?18< br>种取法．因此，所求的概率为
3?18549
??
．
22
10?2135
C
5
?C
7

2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子
A,B,C,D,E
中 ，恰有两个球放在同
一盒子的概率为
◆答案：
12

25
★解析：样本空间中有
5
3< br>?125
个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012
C< br>3
2
?P
5
2
?60.
过所求的概率为
p? ?.

12525

2015A 5、在正方体中随机取
3
条棱，他们两两异面的概率为
◆答案：
2

55

★解析：设正方体为ABCD-E FGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有
C
12
=220
种 ．
下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即
A B、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同
的方向． 可先取定AB方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取
棱EH或棱FG，共 2种可能．当AD方向取棱是EH或FG时，AE方向取棱分别只能是CG
或DH．由上可知，3条棱两 两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为
3
82
．
?
22055

2015B 8、正2015边形
A
1A
2
???A
2015
内接于单位圆
O
，任取它的两个 不同顶点
A
i
,A
j
，
则
OA
i
?OA
j
?1
的概率为
671

1007
★解析：因为
|OA
i
|?|O A
j
|?1
，所以
◆答案：
|OA
i
?OA< br>j
|
2
?|OA
i
|
2
?|OA
j
|
2
?2OA
i
?OA
j
?2(1?cos?OA
i
,OA
j
?)
．
故
OA
i
? OA
j
?1
的充分必要条件是
cos?OA
i
,OA
j
???
超过
1
，即向量
OA
i
,OA
j
的夹角不
2
2
?
．对任意给定的向量
OA
i，满足条件
OA
i
?OA
j
?1
的向量可的取法共有：
3
2
?
?
2015?1342671
?
2
?
OA?OA?1
??2?1342
种，故的概率是：．
p??
i j
??
2015?20141007
?
32015
?
1的概率在每对点之间连一条边，任意两
2

2014A 8、设
A,B, C,D
是空间四个不共面的点，以
对点之间是否连边是相互独立的，则
A,B
可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接
的概率为
◆答案：
3

4
6
5
★解析：每对点之间是否连边有2种可能，共有
2?64
种情况。考虑其中A，B可用折线连
接的情况数。有AB边：共种
2 ?32
情况。
①无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少 一点相连，且
B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为
(2?1)(2?1)?9
。
② 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有
2
种情况，AD，DB相连也 有
2
种情况，
但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可 用折线连接的情况数
为
2?2?1?7
。
以上三类情况数的总和为32+9 +7=48，故A，B可用折线连接的概率为
22
22
22
483
?
。
644

2014B 7、将一副扑克牌中的大小王去掉，在剩下的52
张牌中随机地抽取
5
张，其中至少有两
张牌上的数字（或者字母J,Q,K,A
）相同的概率是 （要求计算出这个概率的数值，
精确到0.001）
◆答案：
0.4929

★解析：记所求事件为
A
，则
A
的 对立事件
A
为“所抽取的5张牌上的数字各不相同”，我们
来计算
A
的概率。事件
A
可以分解成两步：第一步在13个不同数字中抽取5个数字，共有
C< br>13
5

种取法；第二步给每个数字涂一种花色每个数字共有4种花色可选 ，5个数字共有
4
5
种不同
555
的选择。所以事件
A共包含
4?C
13
。由于在52张牌随机抽取5张的基本事件个数为
C< br>52
，
5
4
5
?C
13
于是事件
A
发生的概率为
?0.5071
，从而
P(A)?1?0.5071?0.49 29
。
5
C
52

2013A 6、从
1,2, ?,20
中任取
5
个不同的数，其中至少有
2
个是相邻数的概率为
◆答案：
232

323
★解析：记所取的
5
个数 分别为
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
，且
a
1
?a
2
?a
3
? a
4
?a
5
。
若这五个数互不相邻，则
1?a
1
?a
2
?1?a
3
?2?a
4
?3?a
5
?4?16
，由此可知，从
5
，
1,2,?,20
中取5
个互不相邻的数的取法和从
1,2,?,16
中取
5
个不同的 数的取法相同即
C
16
55
C
20
?C
16
232
故所求至少有两个数是相邻的概率为
?
5
323
C
20

1,2,?,8
?
，均有2013A 8、已知数列
?
a
n
?
共有
9
项，其中
a
1
?a
0
? 1
，且对每个
i?
?
a
i?1
?
1
??
?
2,1,?
?
则这样的数列的个数为
a
i
2
??
◆答案：
491

aa
1
??
1,2,?,8
?
，则
b
i
?
?
2,1,?
?
b
1
b
2
?b
8
?
9
?1
?
★解析：记
i?1
?b
i
，< br>i?
?
a
i
a
1
2
??
反之，若符 合
?
的
8
项数列
?
b
n
?
可以唯 一确定一个符合题意条件的
9
项数列
?
a
n
?
。
11
1,2,?,8
?
中有偶数个
?
，记符合条件
?
的
?
b
n
?
有
N
个，显然
b< br>i
i?
?
即
2k
个
?
；继而有
2k
22
2k2k
个
2
，
8?4k
个
1
，当给定
k
的值时，
?
b
n
?
有
C8
C
8?2k
种，易得
k
只能取
0,1,2
，
所以这样的数列
?
b
n
?
共有
1?C
8< br>C
6
?C
8
C
4
?491
.故所求的数列个 数为
491
。

2013A三、（本题满分50分）一次考试共有
m
道试题，
n
个学生参加，其中
m,n?2
为给定
的整数， 每道题的得分规则是：若该题恰有
x
个学生没有答对，则每个答对该题的学生得
x分，
未答对的学生得
0
分.每个学生得总分为其
m
道题的得分总 和.将所有的学生总分从高到低排
列为
P
1
?P
2
???P
n
，求
P
1
?P
2
的最大可能值。
22 44
★解析：对任意的
k?1,2,?,m
，设第
k
题没有答对的有
x
k
人，则第
k
题没有答对的有
n?x
k
人，由得分规则知，这
n?x
k
在第
k
题均得到
x
k
分，记这
n
个学生的得分之和为
S
，则
?
P< br>i
?S?
?
x
k
(n?x
k
)?n
?
x
k
?
?
?
x
k
?

2
i?1i?1k?1k?1
nmmm
因为每一个人在第
k
题上至多 得
x
k
分，故
p
1
?
由于
P
1< br>?P
2
???P
n
，故有
P
n
?
?
x
k?1
m
k

p
1
?p
2?
?
?p
n
S?P
1
?

n?1n? 1
S?P
1
n?2S
?P?P??P?
所以
P
< br>1n11
n?1n?1n?1

m
m
1
m
n?2
m
1
?
m
2
2
?
??
? 2x?x

??
?x?nx?x
??
??
kk
?? ?
kkk
n?1
k?1
n?1
k?1
n?1
?k?1
k?1
k?1
?
由柯西不等式的
?
?
x
?
k
k?1
m
2
1
?
m
?
?
?
?
x
k
?

m
?
k?1< br>?
2
2
1
?
m
?
于是，
P?P?? x?m(n?1)
?
1nk
?
?m(n?1)?m(n?1)
m(n?1)
?
?
k?1
?
另一方面，若有一个学生全部答对， 其他
n?1
个学生全部答错时，
P
1
?P
n
?m(n?1)

综上所述，
P
1
?P
2
的最大可能值为
m(n?1)
。

2013B 8、将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 ．
◆答案：
247

2 56
★解析：若同一种颜色的顶点构成的凸多边形内部包含正九边形的外接圆圆心，则存在这种
颜色的三个顶点，其构成的三角形也包含圆心，从而这个三角形是锐角三角形。反之，若某
种颜色的顶点 包含一个锐角三角形的顶点，则它们所生成的凸多边形就包含了正九边形外接
圆的圆心。这样一来，如果 红蓝两色的顶点生成的凸多边形都不包含圆心的话，那么这两种
颜色的顶点分别落在外接圆的半圆中，这 种情况发生的仅有的可能是红点是连续的4个顶点，
或者是连续的5个顶点，它们各有9种情况。所以， 所求的概率为
P?1?
18247

?
2
9
256

2012A 8、某情报站有
A, B,C,D
四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都
是从上周未使用的三种密 码中等可能地随机选用一种。设第
1
周使用
A
密码，那么第
7
周也使
用
A
密码的概率为
61
< br>243
★解析：用
P
k
表示第
k
周用
A种密码的概率,则第
k
周末用
A
种密码的概率为
1?P
k
.
◆答案：
于是,有
P
k?1
?
1
?
1111
?
?1
P?
知，
(1?P
k
), k?N
?
,即
P
k?1
???(P
k
?)
，由
P
??
是首项为
1
k
4
3434
??
31131
k?1
31
k?1
161
，公比为
?< br>的等比数列。所以
P
k
??(?)
，即
P
k
?(?)?
，故
P
7
?

43443434243

2012B 8、一个均匀的正方体骰子的各面上分别标有数字
1,2,?,6
，每次 投掷这样两个相同的
骰子，规定向上的两个面上的数字之和为这次投掷的点数。那么，投掷
3< br>次所得
3
个点数之积
能被
14
整除的概率是 （用最简分数表示）
◆答案：
1

3
1
，又投出的点数是 奇数（偶数）的概
6
1111
率均为，故投出的点数是奇数但不是
7
的概率为
??
。
2263
在
3
次投掷中，记“仅有一次投 出的点数是
7
，另外两次至少有一次投出的点数是偶数”为事
1
?
1
1111
?
7
1
件
A
，则
P(A)?C< br>3
??
?
C
2
????
?
?
，记 “有两次投出的点数是
7
，另外
6
?
2322
?
2 4
★解析：考虑一次投掷时，投出的点数是
7
的概率为

一次投 出的点数是偶数”为事件
B
，则
P(B)?C
3
?
???
斥，
故所求概率为
P(A)?P(B)?
2
?
1< br>?
11
?
，显然事件
A
与事件
B
互
6224
??
711
??
。
24243

2011A 5、现安排
7
名同学去参加
5
个运动项目，要求甲、乙 两同学不能参加同一个项目，每
个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方 案数为
◆答案：
15000

★解析：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
31
（1）有一个项目有 3人参加，共有
C
7
?5!?C
5
?5!?3600
种方案 ；
1
22
(C
7
?C
5
)?5!?C
5
2
?5!?11400
种方案；
2
所以满足题设要求的方案数为
3600?11400?15000
．
（2）有两个项目各有2人参加，共有

2011B 4、把扑克牌中
A,2 ,,J,Q,K
的分别看作数字
1,2,,11,12,13
.现将一副扑克牌中的< br>黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平
方数的概 率为_____．
2

65
2
★解析：从
26
张牌中任意取出
2
张，共有
C
26
?325
种取法。牌的花 色相同且积是完全平方
数的有
4?1?4
，
9?1?9
，
1 6?2?8
，
36?3?12?4?9
共
10
对，因此概率为
102

?
32565
◆答案：

2010AB 6、 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两个颗，第一个使两颗骰子点数和大于
6
者为
胜，否 则轮另一个人投掷。则先投掷人获胜的概率为
◆答案：
12

17
★解析：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
217
?
，从而先投掷人的获胜概率为
3612
75757
7112?
()
2
??
()
4
???
???
.
25
17
1212121212
12
1?
144

2009*7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数
之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一个数
是 （可以用指数表示）
◆答案：
101?2
98

★解析： 易知：
(i)
该数表共有100行；
(ii)
每一行构成一个等差数列，且公差依次 为
d
1
?1,d
2
?2,d
3
?2
2< br>,...,d
99
?2
98

(iii)
a
100
为所求。设第
n(n?2)
行的第一个数为
a
n
，则
a
n
?a
n?1
?(a
n?1
?2
n?2
)?2a
n?1
?2
n?2

n?3n?2

?2[2a
n?2
?2]?2

2n?4n?2n?2

?2[2a
n?3
?2]?2?2?2

3n?2

?2a
n?3
?3?2

......
n?1n?2

?2a
1
?(n?1)?2


?(n?1)2
98
n?2

故
a
100
?101?2
.

2009*8、某 车站每天
8:00~9:00
，
9:00~10:00
都恰有一辆客车到站， 但到站的时刻是
随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
8:108:308:50

概率
9:10
1

6
9:30
1

2
9:50
1

3
一旅客
8:20
到车站，则他候车时间的数学期望为 （精确到分）
◆答案：
27

★解析：解：旅客候车的分布列为

30 50 70 90
候车时间（分）
10
概率
11
111111

?

?

?

23
662636
候车时间的数学期望为
11111
10??30??50??70??90??27

23361218

2008AB 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得< br>1
分，负者得
0
分，比赛进行到有一人
比对方多
2
分 或打满
6
局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
21
，乙在每局中获胜的概率 为，
33
且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数
?
的数学期望是（ ）
A.
241266274670
B. C. D.
818181243
◆答案： B
★解析：方法一： 依题意知，
?
的所有可能值为2、4、6. 设每两局比赛为一轮 ，则该轮结束
215
时比赛停止的概率为
()
2
?()
2< br>?
．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各
339
5
得 一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有
P(
?
?2)?，
9
4520416
52016266
，
P(
??6)?()
2
?
，故
E
?
?2??4??6??．
P(
?
?4)?()()?
9981981
981818 1
方法二： 依题意知，
?
的所有可能值为2、4、6.令
A
k表示甲在第
k
局比赛中获胜，则
A
k
表
示乙在第
k
局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
5
P(
?
?2)?P (A
1
A
2
)?P(A
1
A
2
)?
，
9
P(
?
?4)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3< br>A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

211220

?2[()
3
()?()
3
()]?
，
3333 81
P(
?
?6)?P(A
1
A
2
A
3< br>A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)?P(A
1
A
2
A
3
A
4
)

2116

?4()
2
()
2
?
，
3381
520 16266
因此
E
?
?2??4??6??
．
9818181

2008AB 9、将
24
名志愿者名额分配给< br>3
个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同
的分配方法共有 种。
◆答案：
222

★解析：方法一：用4条棍子间的空隙代表3个学校 ，而用
?
表示名额．如
|????|??|??|

表示第一、二、 三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“
?
”与每个“
|
”都视为一 个位置，
由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于
24?2?26
(个) 位置（两端不在内）被2
个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24 个“
?
”之间的23个空
隙中选出2个空隙插入“｜”，故有
C
2< br>(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少
23
?253
有两个学校 的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝
222(种)．
方法二：设分配给3个学校的名额数分别为
x
1
、x
2
、x
3
，则每校至少有一个名额的分法数
为不定方程
x
1
?x< br>2
?x
3
?24
的正整数解的个数，即方程
x
1?x
2
?x
3
?21
的非负整数解的个数，
212它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
H
3
．又在“每校至少有一?C
21
23
?C
23
?253
个名额的分法”中“至 少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分
配方法共有253－31＝2 22（种）．

2007*3、将号码分别为
1,2,?,9
的九个小球放 入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相
同。甲从袋中摸出一个球，其号码为
a
，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为
b
。则使
不等式
a?2b?10 ?0
成立的事件发生的概率等于
A.
60
525961
B. C. D.
81
818181
2
◆答案：D
★解析：甲、乙二人每人摸出一个 小球都有
9
种不同的结果，故基本事件总数为
9?81
个。
由不等式
a?2b?10?0
得
2b?a?10
，于是，当
b?1,2,3, 4,5
时，每种情形
a
可取
1,2,?,9
中每一个值，使不等式成 立，则共有
9?5?45
种；当
b?6
时，
a
可取
3,4,?9
中每一个值，
有
7
种；当
b?7
时，
a
可取
5,6,7,8,9
中每一个值，有
5
种；当
b?8
时，
a
可取
7,8,9
中每一
个值，有
3
种；当
b?9
时，
a
只能取
9
，有
1
种。 于是，所求事件的概率为
45?7?5?3?161
?
。
8181

2007*12、将
2
个
a
和
2
个
b共
4
个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格
内至多填
1
个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共
有 种。
◆答案：
3960

★解析：解：使
2
个
a
既不同行也不同列的填法有
C
4
A
4
?72
种， 同样，使
2
个
b
既不同行
2
也不同列的填法也有
C
4
A
4
?72
种，故由乘法原理，这样的填法共有
72种，其中不符合要
22
22
求的有两种情况：
2
个
a< br>所在的方格内都填有
b
的情况有
72
种；
2
个
a
所在的方格内仅有
1
个
12
方格内填有
b
的情 况有
C
16
A
9
?16?72
种。所以，符合题设条件的填 法共有
72
2
?72?16?72?3960
种。

20 06*12、袋中有
8
个白球和
2
个红球，每次从中随机取出
1个球，然后放回
1
个球，则第
4
次
恰好取完所有红球的概率为

◆答案：
0.0434

★解析：第4次恰好取完所有红球的 概率为
2
?
9
?
18291
?
8
?
21
?
??
??????
??
??
?0.0434
.
10
?
10
?
1010101010
?
10
?
1010

231920
2005*7、将关于
x
的多项式
f(x)?1?x?x?x???x?x
表示为关于
y
的多项式< br>22
g(y)?a
0
?a
1
y?a
2
y2
???a
19
y
19
?a
20
y
2 0
，其中
y?x?4
，则
a
0
?a
1
?a
2
???a
19
?a
20
的值为
5
21
?1
◆答案：
6
★解析：由题设知，
f( x)
和式中的各项构成首项为1，公比为
?x
的等比数列，由等比数列
(y? 4)
21
?1
(?x)
21
?1x
21
?1
,

?.
令
x?y?4,
得
g(y)?
的求和公 式，得：
f(x)?
y?5
?x?1x?1
取
y?1,
有< br>a
0
?a
1
?a
2
???a
20
5
21
?1
?g(1)?.

6

2005*14、（本题满分20分） 。
将编号为
1,2,3,?,9
的 九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.
设圆周上所有相邻两球号码之差 的绝对值之和为
S
.求使
S
达到最小值的放法的概率.（注：如
果某 种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
★解析：九个编号不同的小 球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在
圆周上的一个圆形排列，故共有
8!
种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
8!
种.
2
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条
路径，设x
1
,x
2
,
?
,x
k
是依次排列于 这段弧上的小球号码，则
|1?x
1
|?|x
1
?x
2< br>|???||x
k
?9|?|(1?x
1
)?(x
1
?x
2
)???(x
k
?9)|?|1?9|?8.
上
式取 等号当且仅当
1?x
1
?x
2
???x
k
?9，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排
列.
因此
S
最小
?2?8?16
.
由上知，当每个弧段上的球 号
{1,x
1
,x
2
,?x
k
,9}
确定 之后，达到最小值的排序方案便唯一
确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号 2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素
01236
较少的一个子集共有
C
7
?C
7
?C
7
?C
7
?2
种情况，每 种情况对应着圆周上使S值达到最
2
6
1
?.
小的唯一排法，即有 利事件总数是
2
种，故所求概率
P?
8!
315
2
6

2004*5、设三位数
n?abc
，以
a,b,c
为 三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这
样的三位数
n
有
A.
45
个 B.
81
个 C.
165
个 D.
216
个
◆答案：C
★解析：⑴等边三角形共9个；
⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为
a ,b
)，有
36
种取法，以小数为底时总能
构成等腰三角形，而以大数为底时 ，
b?a?2b
．
a?9
或
8
时，
b?4,3,2 ,1
，有
4?2?8
种；

a?7
或
6时，
b?3,2,1
，有
3?2?6
种；
a?5
或4
时，
b?2,1
有
2?2?4
种；
a?3
或
2
时，
b?1
，有
1?2?2
种，共有
8?6? 4?2?20
种不能取的值．
所以共有
2?36?20?52
种方法，而每 取一组数，可有
3
种方法构成三位数，故共有
52?3?156
个三位数。综 上知，可取
9?156?165
种数．选
C
．
2004*13、（ 本题满分20分）一项“过关游戏”规则规定:在第
n
关要抛掷一颗骰子
n
次 ,如果
这
n
次抛掷所出现的点数的和大于
2
n
,则算过关. 问:
(1)某人在这项游戏中最多能过几关?
(2)他连过前三关的概率是多少?
★解析：
解：⑴ 设他能过
n
关，则第
n
关掷
n
次，至多得
6n
点，
由
6n?2
，知，
n?4
．即最多能过
4
关．
⑵ 要求他第一关时掷
1
次的点数大于
2
，第二关时掷
2< br>次的点数和大于
4
，第三关时掷
3
次的点数和大于
8
．
n
42
?
；
63
2
第二关过关的基本事件有
6?36
种，不能过关的基本事件有为不等式
x?y?4
的正整数
2
解的个数，有
C
4
?6
个 (亦可枚举计数：
1?2,1?2,1?3,2?1,2?2,3?1
)计6种，
65
所以过关的概率为
1??
；
366
3
第三关 的基本事件有
6
种，不能过关的基本事件为方程
x?y?z?8
的正整数解的 总数，
567
3
可连写
8
个
1
，从
8个空档中选
3
个空档的方法为
C
8
?56
种，不能过关 的概率
3
?
，能
627
720
过关的概率为
1?< br>；
?
2727
2520100
∴连过三关的概率为
??
．
?
3627243
第一关过关的概率为

1
??
2 002*8、将二项式
?
x?
?
的展开式按
x
的降幂排列， 若前三项系数成等差数列，
4
2x
??
则该展开式中
x
的幂指数是整数的项共有 个
◆答案：
3

11
★解析：不难求出前三项的系数分别是
1,n,n(n?1)
，
28
11
∵
2?n?1?n(n?1)

28
16?3r
r
1
r
∴当
n?8
时 ，
T
r?1
?C
n
()x
4
(
r?0,1,2,?,8
)
2
∴所以当
r?0,4,8
时,
x
的幂指数是整数，即有3项。

2002*三、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，
F
国教练为了考察
A
1
,A
2
,?,A
7
这七名，准
备让他们在三场训 练比赛(每场
90
分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一
人在场上 ，并且
A
1
,A
2
,A
3
,A
4
每人上场的总时间(以分钟为单位)均被
13
整除，如果每场换人
次数不限，那么按每 名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。
★解析：设第
i
名队员上场的时 间为
x
i
分钟(
i?1,2,3,?,7
)，问题即转化为：求不定 方程
n

x
1
?x
2
???x
7?270
①在条件
7|x
i
(
i?1,2,3,4
)且
13|x
j
(
j?5,6,7
)下的正整数解的级
数。 < br>若
?
x
1
,x
2
,?,x
7
?是满足条件①的一组正整数解，则应有
?
x
i?1
4
i
?7m
，
?
x
j
?13n
（
m,n?N
）
j?5
7
∴
m,n
是不定方程
7m?13n?27 0
②在条件
m?4
且
n?3
下的一组正整数解。

∵
7
?
m?4
?
?13
?
n?3
?
?203
，令
m?m?4,n?n?3
有
7m?13n?203
③

∴ 求②满足条件
m?4
且
n?3
的正整数解等价于求③的非负整数解。
∵易观察到
7?2?13?(?1)?1
， ∴
7?406?13?(?203)?203
，
即
m
0
?406,n
0
??203
m
0
=406是③的整数解
∴ ③的整数通解为
m?406?13k,n??203?7k
其中
k?Z

令
m?406?13k?0,n??203?7k?0
,解得
29?k?31
，


?
m
?
?29
?
m
?
?16
?
m
?
?3
取k?29,30,31
得到③满足条件的三组非负整数解：
?
、
?
、
?
，
??
?
?
n?0
?
n?14< br>?
n?7
?
m?33
?
m?20
?
m?7< br> 从而得到②满足条件的三组正整数解：
?
、
?
、
?
，
n?17
n?3n?10
?
??
1)当
m?33,n ?3
时，显然
x
5
?x
6
?x
7
?13< br>仅有一种可能，
又设
x
i
?7y
i
(i?1,2,3,4
)，于是由不定方程
y
1
?y
2
? y
3
?y
4
?33
有
4?13
C
33?C
?132
?4960
组正整数解。
∴此时①有满足条件的
C
32
?4960
组正整数解。
2)在
m?20,n?10
时，设
x
i
?7y
i
(
i?1,2,3,4
)，
x
j
?7y
j
(
j?5,6,7
)于是由不定方程
3
2
y
1
?y
2
?y
3
?y
4
?20
有
C
19
组正整数解，不定方程
y
5
?y
6
?y
7
?10< br>有
C
9
组正整数解。
3
∴此时①有满足条件的
C
19
?C
9
?34884
组正整数解。
3) 在
m?7,n?17
时，设
x
i
?7y
i
(i?1,2,3,4
)，
x
j
?7y
j
(
j? 5,6,7
)。于是由不定方
程
y
1
?y
2
?y< br>3
?y
4
?7
有
C
6
组正整数解，不定方程
y
5
?y
6
?y
7
?17
有
C< br>16
组正整数解。
∴此时①有满足条件的
C
6
?C
16
?2400
组正整数解。
综上①满足条件的正整数解的组数为
3 3332
C
32
?C
19
?C
9
?C
6< br>?C
16
?4960?34884?2400?42244
。
32
3
2
32

22000
21000
2 001*5、若
(1?x?x)
的展开式为
a
0
?a
1x?a
2
x???a
2000
x
，则
a
0?a
3
?a
6
?a
9
???a
1998
的值为
A.
3
B.
3
◆答案：C
333666
C.
3
999
D.
3
2001

★解析：令
x?1
可得
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
???a
2000
?3
令x=
?
可 得
a
0
?a
1
?
?a
2
?
?a< br>3
?
???a
2000
?
232000
1000；
?0
；
3
2
（其中
?
??
1< br>?
3
i
，则
?
=1且
?
+
?
+1=0）
22
2464000
2
?0
． 令x=
?< br>可得
a
0
?a
1
?
?a
2
?
?a
3
?
???a
2000
?
1000
以上三式 相加可得
3
?
a
0
?a
3
?a
6
?a
9
???a
1998
?
?3

所以
a
0
?a
3
?a
6
?a
9
???a
1998
?3

999
．

2001*12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同
一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植
物可供选择，则有 种栽种方案．
◆答案：
732

★解析：考虑A、C、E种同一种植物，此时共有
4?3?3?3?108
种方法．
考虑A、C、E种二种植物，此时共有
3?4?3?3?2?2?432
种方法． < br>考虑A、C、E种三种植物，此时共有
A
4
?2?2?2?192
种方 法．
故总计有
108?432?192?732
种方法．

20 00*8、设
a
n
是
3?
3
?
x
的展开式 中
x
项的系数(
n?2,3,4,?
)，则
?
n
?
3
2
3
3
3
n
?
lim
?
??
?
?
?
?
_____.
?
n??
?
aa
n
??
2
a
3
◆答案：
18

★解析：由题意得
a
n
?C3
2
n
n?23
k
181
??
1
．∴
??18?
?
?
?
，于是
a
k
k(k? 1)
?
k?1k
?
?
3
2
3
3
?
3
n
?
1
?
?
?
1
?
l im
?
??
?
??lim18???18
．
?
? ?
?
??
?
n??
?
a
n??
a
n
?
?
2?1k
?
??
?
2
a
3

1,2,3,4
?
；2000*12、如果：(1)
a,b,c, d
都属于
?
(2)
a?b
，(3)
a
是
a ,b,c,d
b?c
，
c?d
，
d?a
；
中的最小 值，那么，可以组成的不同的四位数
abcd
的个数是_________
◆答案：
28

★解析：
a,c
可以相等，
b,d
也可以相等．
⑴ 当< br>a,c
相等，
b,d
也相等时，有
C
4
?6
种；
22
⑵ 当
a,c
相等，
b,d
不相等时，有
A
3
?A
2
?8
种；
111
⑶ 当
a ,c
不相等，
b,d
相等时，有
C
3
C
2
?C
2
?8
种；
2
3
⑷ 当
a,c
不相 等，
b,d
也不相等时，有
A
3
?6
种；
综上共有
6?8?8?6?28
种。

1999*5、在某次乒乓 球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有
3
名选手各比赛了
2
场之 后就退出了，这样，全部比赛只进行了
50
场。那么，在上述
3
名选手之间比 赛的场数是
( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

◆答案：B
2
★解析：这三名选手之间的比赛场数是
r
，共
n
名选手参赛.由题意，可得
C
n?3
?6?r?5 0
，
即
?
n?3
??
n?4
?
?44?r
.由于
0?r?3
，经检验可知，仅当
r?1
时，
n?13
为正整数.
2

1998*6、在正方体的
8
个顶点，< br>12
条棱的中点，
6
个面的中心及正方体的中心共27个点中，
共线的 三点组的个数是( )
A.
57
B.
49
C.
43
D.
37

A
◆答案：B
★解析：注意到
8
个顶点中无
3
点共线，故共线的三点组中至少有一
E
个是棱中点或面中心或体中心．
B
F
C
G
D

⑴ 体中心为中点：
4
对顶点，
6
对棱中点，
3
对面中心；共
13
组；
⑵ 面中心为中点：
4?6?24
组；
⑶ 棱中点为中点：
12
个．共
49
个，选B．

1998* 9、从
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
这
10
个数中取出
3
个数，使其和为不小于
10
的偶数，不同的取
法有____种.
◆答案：
51

3
★解析：从这
10
个数中取出< br>3
个偶数的方法有
C
5
?10
种，取出
1
个 偶数，
2
个奇数的方法有
12
C
5
C
5
? 50
种，而取出
3
个数的和为小于
10
的偶数的方法有
?< br>0,2,4
?
，
?
0,2,6
?
，
?
0,1,3
?
，
?
0,1,5
?
，
?
0 ,1,7
?
，
?
0,3,5
?
，
?
2,1 ,3
?
，
?
2,1,5
?
，
?
4,1,3
?
，共有
9
种，
故应答
10?50?9?51
种．

1997*11、设
ABCDEF
为正六边形，一只青蛙开始在顶点
A
处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到
D
点，则停止跳动；若
5
次之内不能到达< br>D
点，则跳完
5
次也
停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现 的不同跳法共 种．
◆答案：
26

★解析：青蛙跳5次，只可能跳到
B,D,F
三点(染色可证)．
青蛙顺时 针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”
号：
□1□1□1□1□1
规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写
符号．
前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有
2
3
?2?6
种 ，后两个□中填号的方
法有
2
种．∴ 共有2+6×4
=
26种方法．

1996*11、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一
种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注: 如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、
左、右、前、后 六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
◆答案：
230

★解析：由于至少3种颜色：
若6种颜色全用： 上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有
?
4?1
?
!?6
种方法，
共计
5?6?30
种方法；
若用5种颜色：上下用同色：6种方法 ，选4色：
C
5
?
4?1
?
!?30
；
4
2
6?30
．
?90
种方法；
2
22
若 用4种颜色：
C
6
C
4
?90
种方法．
3
若用3种颜色：
C
6
?20
种方法．
∴共有230种方法．

1996*12、在直角坐标平面上，以
?
199,0
?
为圆心，以
199
为半径的圆周上，整点（即横、纵坐
标皆为整数的点）的个数为_______________．
◆答案：
4
★解析：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求
x?y?199
的整数解数．
显然
x,y
一奇一偶，设
x?2m
，
y?2n?1
．且
1?m,n?99
．
则得
4m?199?(2n?1)?
?< br>198?2n
??
200?2n
?
．
222
222
即
m?
?
99?n
??
100?n
?
?< br>?
n?1
??
?n
?
?
mod4
?

2

?
0n?0,1(mod4)
，二者矛盾，
?< br>2n?2,3(mod4)
故只有
?
0,?199
?
，
?
?199,0
?
这4解．∴ 共有4个．
?
199,?199< br>?
，
?
0,0
?
，
?
398,0
?
．
由于
m
为正整数，
m?0,1
?
mod4?
；
?
n?1
??
?n
?
?
?
2

1995*11、 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色 ，如果只有
5
种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是______．
◆答案：
420

★解析：顶点染色，有
5
种方法，底面4 个顶点，用4种颜色染，
A
4
?24
种方法；用3种颜
色，选 1对 顶点
C
2
种，这一对顶点用某种颜色染
C
4
，余下2个顶点 ，任选2色染，
A
3
种，
112
2
共有
C
2
C
4
A
3
?48
种方法；用2种颜色染：
A< br>4
?12
种方法；∴共有
5?
?
24?48?12
?
?420
4
11
2
种方法．

1993*12、 三位数
(100,101,?,999)
共
900
个，在卡片上打印这些三位 数，每张卡片上打印一
个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如
198
倒 过来看是
861
；有的卡片则不然，
如
531
倒过来看是，因此，有 些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印__ ___张卡
片．
◆答案：
34

★解析：首位与末位各可选择
1,6,8,9
有
4
种选择，十位还可选
0
，有
5
种选择，共有
4?5?4?80
种选择．但两端为
1,8
，中间为
0,1,8
时， 或两端为
9,6
，中间为
0,1,8
时，倒后不
80?12
变；共有
2?3?2?3?12
个，故共有
?34
个．
2

1990*11．设
n?1990
，则
◆答案：
?
1
224369951990
1?3C?3C?3C???3C
n
?
．
nnn
n
2
??
1

2
1990?
13
?
??
★解析：取
??
?
22
i
?
??
1
??
．
2
?
13
?
??
展开的实部即为此式．而
??
?
22
i
???
1990
13
???i
．故原式
22

1 990*12．
8
个女孩与
25
个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两 个男孩，则共有
种不同和排列方法．(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的)．
◆答案：
7!?25!?C
16

★解析：每个女孩与其后的两个男 孩组成一组，共
8
组，与余下
9
个男孩进行排列，某个女孩
始终站第 一个位子，其余
7
组在
8?9?1?16
个位子中选择
7
个 位子，得
C
16
种选法．
7
个女
孩可任意换位，
25
个男孩也可任意换位，故共得
7!?25!?C
16
种排列方法．

1989*11．如果从数
1,2,3,?,14
中，按由小到大的顺序取 出
a
1
,a
2
,a
3
，使同时满足
a2
?a
1
?3
，
7
7
7
a
3
?a
2
?3
，那么，所有符合上述要求的不同取法有 种．
◆答案：
120




★解析：令
a< br>1
?a
1
，
a
2
?a
2
?2
，
a
3
?a
3
?4
，则得
1?a
1?a
2
?a
3
?10
．所求取法为
3
C
10
?120
．

1988*7．
◆答案：★解析：
?
?
x?2
?
2n?1
的展开式中，
x
的整数次幂的各项系数之和为 ．
1
2n?1
3?1

2
??
11n33n?22n ?12n?10
x?2?2C
2
???C
2
x
．
n?1
2x?C
2n?1
2x
n?1
2
1
2n?1
令
x?1
，得所求系数和为
?
3?1
?
．
2
x?2
?
2n?1
?
??
2n?1
??

1988*9.甲乙两队各出
7
名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双 方先由
1
号队员比赛，
负者被淘汰，胜者再与负方
2
号队员比赛，… 直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，
形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛的过程种数 为 ．
◆答案：
C
14

★解析：画1行14 个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应
的格子中写上他的顺序号(两方 的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则
在后面的格子中依次填入另一方未出场的队 员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填
表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对 应关系．故所求方法数等于在14个
格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有
C14
种比赛方式．

1987*9．五对孪生兄妹参加
k
个组活动，若规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵ 非孪生关系的
任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则
k
的最小值
为 ．(命题组供题)
◆答案：
14

★解析：设此10人为
A,a,B,b,C,c,D,d,E,e
．
A
只参加2组，故除
a
外其余8人应分成2
组，每组人数都不超过4人（否则有孪生兄 妹同组)．记第一组为
?
B,C,D,E
?
，第二组为
7
7
?
b,c,d,e
?
．于是其余8人中大写字母不再同组，小写字母也不再同 组．即除
a
外其余组中人
数不超过2人．每人都再参加3组，故至少还要
3? 4?12
组．
a
可参加其中4组．即至少要
14组．又
?
a ,B,c
?
，
?
B,d
?
，
?
B,e< br>?
，
?
a,C,b
?
，
?
C,d
?
，
?
C,e
?
，
?
D,b
?
，< br>?
D,c
?
，
?
D,a,e
?
，
?
E,b
?
，
?
E,c
?
，
?
a, E,d
?
满足要求．故所求最小值为14．

1985*8、 方程
2x
1
?x
2
?x
3
???x
10
?3
的非负整数解共有 组．
◆答案：
174
★解析：当
x
1
?1
时，
x
2
?x
3
???x
10
?1
，共有9解；当
x
1
?0
时，
x
2
?x
3
???x
10
?3
，< br>23
共有
9?A
9
?C
9
?165
解．∴ 共有
174
解．

1983*7、 在正方形
ABCD
所 在平面上有点
P
，使
?PAB
、
?PBC
、
?PC D
、
?PDA
都是
等腰三角形，那么具有这样性质的点
P
的 个数有（ ）
A
．
9
个
B
．
17
个
C
．
1
个
D
．
5
个
◆答案：A
★解析：作图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要 求，正方
形的中心满足要求，共有9个点．选A．