各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计 (2)

各省市数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计

1．【2019年 全国联赛】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，
则a
2
+b被3整除的概率为
【答案】
.
.
.
.
.
.
【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8， 10}，
若
若a∈{3，6，9}，
若
∴a
2
+b为3的倍 数的概率为
2．【2018年全国联赛】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d ，e，f，则abc+def是偶数的
概率为
【答案】
【解析】先考虑abc+ def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的
排 列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为 奇数的
情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.
.
3．【2016年全国联赛】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张< br>1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之< br>和的概率为 ________.
【答案】
【解析】
一种取法符合要求， 等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，
.故只能从A中 取走两张1元纸币，相应的取法数为
又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有
.
.
种取法．
因此，所求的概率为
4．【2015年全国联赛】在正 方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.

【答案】
【解析】
设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种.
下面考虑使三条棱两两异面的取法数.
由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即
此，取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定
不妨设取的棱为
只能为.
.则方 向只能取棱
的方向），具有相同方向的四条棱两两共面，因
方向的棱，这有四种取法.
方向取棱时，方向取棱分别，共两种可能.当
综上，三条棱两两异面的取法数为8.
故所求概率为.
5．【2014年全国联赛】设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的 概率在每对点之间连一条边，任意两
对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干 条边组成的）空间折线连接的概率为
_______.
【答案】
【解析】
每对点之间是否连边有2种可能，共有
（1）有边AB：共种情形.
种情形.考虑其中点A、B可用折线连接的情形数.
（2）无边AB，但有边CD：此时，点 A、B可用折线连接当且仅当点A与C、D中至少一点相连，且点B与C、
D中至少一点相连，这样的情 形数为.
（3）无边AB，也无边CD：此时，AC与CB相连有种情形，AD与DB相连也有情形， 但其中AC、CB、AD、
DB均相连的情形被重复计了一次，故点A与B可用折线连接的情形数为综上，情形数的总和为
故点A与B可用折线连接的概率为
.
.
. < br>6．【2013年全国联赛】从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是 ______.
【答案】
【解析】
设取自1，2，…，20.

若互不相邻，则
.
由此知从1，2，…，2 0中取五个互不相邻的数的选法与从1，2，…，16中取五个不同的数的选法相同，即
种.于是，所求 的概率为
7．【2012年全国联赛】某情报站有
.
四种互不相同的密码，每周使用 其中的一种密码，且每周都
是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码. 那么，第七周也使用种密码的
概率是______（用最简分数表示）.
【答案】
【解析】
用表示第周用种密码本的概率.则第周末用种密码的概率为
故
.
8．【2 010年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，
否 则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是________.
【答案】
【解析】
同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
从而，先投掷人的获胜概率为
，
.
.
.
9．【2009年全国联赛】某车站每天早上8：00~9：00、9：00 ~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻
是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见 表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望
为______（精确到分）．
表1
到站时刻
概率


【答案】27

8：10~9：10 8：30~9：30 8：50~9：50

【解析】
旅客候车时间的分布如下表．
候车时间（分） 10 30 50 70 90
概率


候车时间的数学期望为．


1．【2016年陕西】从1，2，…，20这 20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有个.
若取出的三个数a、b、c成等差数列，则a+c=2b.
故a与c的奇偶性相同，且a、c确定后，b随之而定.
从而，所求概率为. 选D. 2．【2016年天津】掷两次色子,用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为( )
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】
易知,,
，
，
，
，

. ）

，
故
与最接近.
的方格表中，每个小方格恰填写
,
3．【2018年江苏】将1，2，3，4，5， 6，7，8，9这9个数随机填入
一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概 率是________.

【答案】.
【解析】
要使每行、每列所填数 之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满
足条件的填法共有故答案为：
种.因此所求的概率为.

4．【2018年重庆】从正九边形中 任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．
【答案】
【解析】
如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：

对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为
，故答案为：
5．【2018年安徽】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字， 其样本方差
【答案】
【解析】

的样本方差
故
故答案为：
6．【2018年甘肃】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台 举办的
知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是
率依次是.
，女生闯过一至四关的概
.
，当且仅当是连续的正整数.
的概率=_________.
（1）求男生闯过四关的概率；
（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】分析
：（
1
）
利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；
（2）记女生四关都闯过为事件，则
独立事件的概率公式即可得出.
详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则
（2）记女生四关都闯过为事件，则
因为
，
；
的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互

，
，
，
，
所以的分布如下：

.
点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数 学期望计算公式，考查了
推理能力与计算能力.
7．【2016年上海】设n为给定的大于2 的整数。有n个外表上没有区别的袋子，第k(k=1,2,···,n)个袋中有k
个红球，n-k个 白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球(每次取出不放回)。求
第三次取出 的为白球的概率。
【答案】
【解析】
设选出的是第k个袋子，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2).
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形:
(白，白，白)取法数为 (n-k)(n-k-1)(n-k-2)，
(白，红，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，
(红，白，白)取法数为k(n-k)(n-k-1)，
(红，红,白)取法数为k(k-1)(n-k).
从而，第三次取出的是白球的种数为 < br>（n-k）（n-k-1）（n-k-2）+k（n-k）（n-k-1）+k（n-k）（n-k-1） +k（k-1）（n-k）
=（n-1）（n-2）（n-k）.
则在第h个袋子中第三次取出的是白球的概率为

而选到第k个袋子的概率为，故所求的概率为

8．【2016年甘肃】在某电视娱 乐节目的游戏活动中，每人需完成A、B、C三个项目.已知选手甲完成A、B、
C三个项目的概率分别 为.每个项目之间相互独立.
（1）选手甲对A、B、C三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率.
（2）该活动要求项目A、B 各做两次，项目C做三次.若两次项目A均完成，则进行项目B，并获得 积分a；
两次项目B均完成，则进行项目C，并获积分3a；三次项目C只要两次成功，则该选手闯关成 功并获积分
6a（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用X表示选手甲所获积分的数值，写出X的 分布列并求数学
期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）设选手甲对A、B、C三个项目记为事件A、B、C，且相互独立，至少完成一个项目为事件D.
则
（2）X的取值分别0、a、3a、6a.则
，
，
，
.
于是，X的分布列如表1.
表1
X
P



0 a 3a 6a
.

故

.