42.周期模型

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高考数学母题
[母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103)
303


周期模型

[母题](5-42):
若对于任意实数x函数f(x)满足:f(x+a)=
数.
f(x)
f(x?a)
(a≠0),则f(x)是以T=6a为周期的周期函
[解析]:
由f(x+a)=
f(x)
?
f(x?a)
f(x+2a )=
f(x?a)1
1
1
==f(x)
?
f(x)是以?
f(x+3a)=
?
f(x+6a)=
f(x)f(x?a)f(x? 3a)
f(x)
T=6a为周期的周期函数.
[点评]:
常见的周期函数模 型:①若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)+f(x)=c(c为常数),则f(x)是周期T=2a的 周期函数;②若f(x
+a)=
?
k
(k≠0),则f(x)是周期T=2 a的周期函数;③若f(x+a)+f(x-a)=2cosf(x),则f(x)是周期T=2ka的周期函数 ;
k
f(x)
tan
?
?f(x)
k
④若f(x+ a)=,则f(x)是周期T=ka的周期函数.
?
1?tan?f(x)
k

[子题](1):
(19 96年全国高考试题)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时, f(x)=x,则f(7.5)
等于( )
(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5
[解析]:
由f(x+2)=-f(x)
?
f(x+4)= -f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
?
f(x)是周期T=4的周期函数
?
f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)
-0.5.故选(B).
注:本题是母题中的模型①;解决周期函数问题的关键是根据母题中的模型,求周期.

[子题](2):
(2006年安徽高考试题)设数f(x)对任意实数x满足f(x+1)=
1
.若f(1)=-5,则f(f(5))=
f(x)
[解析]:由f(x+1)=
1
1
=f(x)
?
函数f(x)的同期为2, f(f(5))=f(f(1))=f(-5)=f(1)=-5.
?
f(x+2)=
f(x?1)
f(x)
注:本题是母题中的模 型②;已知f(x+a)=F(f(x))是周期函数,求f(x)周期的一般方法是倍乘常数:即由已知先求f (x+
2a),再求f(x+4a),…,直至f(x+ka)=f(x),得周期T=ka.
1?x)
?
?
log
(
(x?0)
2

[子题](3):
(2009年山东高考试题)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=?
,则f(2009)的值为( )
?
?
f(x?1)?f(x?2)(x?0)
(A)-1 (B)-2 (C)1 (D)2
[解析]:
由f(x)=f(x-1)-f(x-2)(x>0)
?
当x>1时,f(x+1)=f(x)-f(x-1)=f(x)-[f(x)+f(x-2)]=-f(x- 2)
?
当x>3时,f(x
+3)=-f(x)
?
当x>6时,f (x+6)=f(x)
?
f(2009)=f(3346+5)=f(5)=f(4)-f(3 )=[f(3)-f(2)]-f(3)=-f(2)=-[f(1)-f(0)]=
-f(1)=-[f(0)-f(-1)]=f(-1)=1.故选(C).
注:本题是母题中的模型③;在此应当注意的是:在什么范围内,函数具有周期性.

[子题系列]:
1.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设f(x )是区间(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+3)=-f(x),当0≤x≤
3
2
时 ,f(x)=x,则f(1997)等于( )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)1997

304
[母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103)
2.(2004年全国高中数学联赛四川预 赛试题)已知f(x)对任意的整数x都有f(x+2)=f(x-2),若f(0)=2003,则
f (2004)=( )
(A)2002 (B)2003 (C)2004 (D)2005
3.(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)若对任意的x∈R,函数f(x) 满足f(x+2009)=-f(x+2008),且f(2009)=-2009,
则f(-1)=( )
(A)1 (B)-1 (C)2009 (D)-2009
4.(201 0年同济大学保送生考试数学试题)若奇函数f(x)满足f(x-1)+f(x+1)=0,则f(2010) = .
5.(2008年四川高考试题)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f (x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=( )
(A)13 (B)2 (C)
132
(D)
213
6.(2006年武汉大学保送生考试试题)已知f(x)是定义在实数集上的 偶函数,并满足f(x+2)=-
时,f(x)=x,则f(5.5)=( )
1
.当2≤x≤3
f(x)
(A)5.5 (B)-5.5 (C)-2.5 (D)2.5
7.(2008年全国高中数学联赛四川预赛试题)函数f(x)对任意的x满足f(x +3)=-
1
1
,且f(1)=则f(2008)= .
2
f(x)
8.(2013年全国高中数学联赛四川预赛试题)函数f(x)对于任意实数x满 足:f(x+3)=-
1
,若f(0)=2,则f(2013)=( )
f(x)
(A)-
11
(B) (C)2 (D)2013
22
9.(2012年全国高中数学联赛湖南预赛试题)设定义在R上的函数 f(x)满足f(x)f(x-2)=-2012,且f(1)＝503,则f(2013)
的值等于( )
(A)503 (B)-503 (C)4 (D)-4
10.(2009年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对任意整数x,函数f(x)满足f (x+1)=
11.(1996年福建省高一数学夏令营选拔试题)已知对任意整数x,f(x)满足f (x+1)=
1?f(x)
,且f(1)=2,则f(2009)= .
1?f(x)
1?f(x)
,若f(1)=2,则f(981)= .
1?f(x)
f(x)?1
,且f(1)=-2,f(2013)= .
f(x)?1
12.(2013年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)已知函数f(x)对任意x∈R,都 有f(x+2)=
13.(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题) R上定义的函数f(x),任何实数x都有f(x+2)=f(x+1)-f(x),
f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,则f(2001)= .
14.(1997年福建省高一数学夏令营选拔试题)x∈Z,f(x)=f(x-1)+f(x+1)恒成立 ,若f(0)=19,f(4)=97,则f(1997)= .
15.(2005年全国高 中数学联赛湖南预赛试题)对于x∈R,函数f(x+2)+f(x-2)=f(x),则它是周期函数.这类函 数的最小正
周期是( )
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
16.(2002年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知函数f(x)=sin(ωx+ φ)(ω>0,x∈R)满足f(x)=f(x+1)-f(x+2).若A=
sin(ωx+φ+9ω),B=sin(ωx+φ-9ω),则A与B的大小关系是( )
(A)A>B (B)A=B (C)A17.(2007年宁 波市高一数学竞赛试题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,x∈R)满足f(x+1)=f(x )-f(x-1)对任意的x∈R
都成立.若A=sin(ωx+φ+9ω),B=sin(ωx+φ- 9ω).则A与B的大小关系是( )
(A)A>B (B)A=B (C)A18.(1997年第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若是定义域为R的 函数,并且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(1)=
2+
3
,则f(1997)= .

[母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103)
305

则f(2009)=( )
(A)2+
3
(B)2-
3
(C)
3
(D)-
3


19.(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)已知f (x)的定义在实数上的函数,f(3)=-
3
,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f( x),
20.(2009年新疆维吾尔自治区初赛试题)己知f(x)是定义在实数上的函数,f(3) =-
3
,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),则
f(2009)=( )
(A)2+
3
(B)2-
3
(C)
3
(D)-
1?f(x?1)
1?f(x?1)
3

21.(2001年希望杯高一试题)定义在实数集上的函数f(x)满足:f(x-1)=
为 .
,则f(1)f(2)f(3)…f(2000)+2000的值
22.(1993年第四 届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)定义域为R的函数y=f(x)的值域为R,对任何x∈R都有lg[f(x+1)]+lg[f(x-1)]=

[子题详解]:
1.解 :由f(x+3)=-f(x)
?
f(x+6)=f(x)
?
f(1997) =f(-1)=-f(1)=-1.故选(C).
2.解:由f(x+2)=f(x-2)
?
f(x+4)=f(x)
?
f(2004)=f(0)=2003.故选(B). < br>3.解:由f(x+2009)=-f(x+2008)
?
f(x+1)=-f(x)< br>?
f(x+2)=f(x)
?
f(2009)=f(-1)
?
f(-1)=-2009.故选(D).
4.解:由f(x-1)+f(x+1)=0
?f(x+1)=-f(x-1)
?
f(x+2)=-f(x)
?
f(x+ 4)=-f(x+2)=f(x)
?
f(x)是周期为4的周期函数
?
f(2 010)=f(2)=-f(0)=0.
2
+
lg[f(x)],则f(x-2)f(x+2)= . < br>5.解:由f(x)f(x+2)=13
?
f(x+4)=f(x)
?
f(99)=f(-1)=
6.解:由f(x+2)=-
7.解:由f(x+3)=-
8.解:由f(x+3)=-
13
13
=.故选(C).
f(1)
2
1
1
=f(x)
?
f(x)是周期为4的周期函数
?f(5.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.选(D).
?
f(x+4)= -
f(x?2)
f(x)
1
11
=f(x)
?
f( 2008)=f(4)=-=-2.
?
f(x+6)=-
f(x?3)f(1)f(x)
1
1
1
1
=f(x)
?
f(2013 )=f(3)=-=-.故选(A).
?
f(x+6)=-
2
f(x?3)
f(x)f(0)
9.解:由f(x)f(x-2)=-2012
?
f(x+ 2)f(x)=-2012
?
f(x+4)=f(x)
?
f(2013)=f (1)=503.故选(A).
10.解:由f(x+1)=
11.解:由f(x+1)=< br>12.解:由f(x+2)=
1?f(x)1?f(x?1)
1
1
=- =f(x)
?
f(2009)=f(1)=2.
?
f(x+2)=
?
f(x+4)=-
1?f(x)1?f(x?1)f(x?2)
f(x)
1 ?f(x)1?f(x?1)
1
1
=-=f(x)
?
f(981)= f(1)=2.
?
f(x+2)=
?
f(x+4)=-
1?f(x )1?f(x?1)f(x?2)
f(x)
1
f(x)?1f(x?2)?1
1
1
=-=.
?
f(x+4)=
?
f(x+8)=f(x )
?
f(2013)=f(5)=-
f(x)?1f(x?2)?1f(1)
2
f(x)
13.解:由f(x+2)=f(x+1)-f(x)
?
f(x+ 4)=f(x+3)-f(x+2)=[f(x+2)-f(x+1)]-f(x+2)=-f(x+1)
?
f(x+3)=-f(x)
?
f(x+6)=
f(x)
?
f(2001)=f(3)=f(2)-f(1)=lg5+lg2=1.
14.解:由f(x)=f(x-1)+f(x+1)
?
f(x+2)=f(x+1) -f(x)
?
f(x+6)=f(x)
?
f(1997)=f(5)=f(4 )-f(3)=f(4)+f(0)=116.
15.解:由f(x+2)+f(x-2)=f(x)
?
f(x+4)=f(x+2)-f(x)
?
f(x+6)=f(x+4)- f(x+2)=-f(x)
?
f(x+12)=-f(x+6)=f(x).故选
(D ).
16.解:由f(x)=f(x+1)-f(x+2)
?
f(x+2)=f(x +1)-f(x)
?
f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)=[f(x+1)-f(x) ]-f(x+1)=-f(x)
?
f(x+
6)=-f(x+3)=-[-f(x) ]=f(x)
?
f(x)是周期为6的周期函数
?
ω=
+φ),B= sin(
???
?
A=sin(ωx+φ+9ω)=sin(x+φ+3π)=-si n(x
333
???
x+φ-3π)=-sin[3π-(x+φ)]=-sin( x+φ)
?
A=B.选(B).
333
17.解:由f(x+1)=f(x )-f(x-1)
?
f(x+2)=f(x+1)-f(x)
?
f(x+4) =f(x+3)-f(x+2)=[f(x+2)-f(x+1)]-f(x+2)=-f(x+1)
?

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[母题]Ⅰ(5-42):周期模型(103)
f(x+3)=-f(x)
?f(x+6)=f(x)
?
ω=
?
?
A=-sin(ωx+φ) ,B=-sin(ωx+φ).故选(B).
3
1?f(x)
?
1?f(x )
18.解:由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)
?
f(x+2)=19.解:由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)
?
f(x+2)=
3
.故选(A).
f(x+4)=
1?f(x?2)
1?f(x?2)
=-
1
?
f(x)
f(x+8)=f(x)
?
f(199 7)=f(-3)=
3
.
3
1?f(x)1?f(x?2)
1=-
?
f(x+4)=
?
f(x+8)=f(x)
?
f (2009)=f(1)=2+
1?f(x)1?f(x?2)
f(x)
20.解: 由f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)
?
f(3)[1-f(1)]=1+f(1)
?
f(1)=2+
3
,又f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x)?
f(x+8)=f(x)
?

f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=2+
3
.
21.解: 由f(x-1)=
1?f(x?1)
?
1?f(x?1)
f(x)=
1?f(x?2)
?
1?f(x?2)
f(x+2)=
f(x)?1
?
f(x)?1
f(x+4)=
f(x?2)?1
f(x?2)?1
=-
1
?
f(x)
f(x)f(x+4)=-1,f(x+8)
=f(x)
?
f(1)f(2)f(3)…f(2000)+2000=2001.
22.解:由lg[f(x+1)]+lg[f(x-1)]=
f
2
(x?1 )f
2
(x?1)
f
2
(x)
2
lg[f(x)]
?
f(x-1)f(x+1)=
f
2
(x)
?
f( x-2)f(x+2)=
[f(x?2)f(x)][f(x)f(x?2)]
f
2< br>(x)
=
f(x?1)]
=
[f(x?1)
2
f( x)
2
=
[f
2
(x)]
2
f
2
(x)
=1;实质上,令g(x)=lg[f(x)],则g(x+1)=
1
?
f(x)
2
g(x)-g(x-1)
?
g(x)是以8为周
期的周 期函数
?
f(x)是以8为周期的周期函数
?
f(x+4)=
期函数 的变换方法,如f(x)=
g(x)=
g



3
f(x)f(x+4)=1
?
f(x-2)f(x+2)=1.本题为我们提供了周
3
f(x-a)-f(x-2a),则函数f(x)是以T=12a为周期的周期函数,令f(x)=lg g(x)
?
g(x-2a)
(x-a),则函数g(x)是以T=12a为周期的周期函数.