1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(4)平面向量与解三角形(含答案)

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
平面向量与解三角形部分
2019A 3、平面直角坐标系中，
e
是单位向量，向量
a
满足< br>a?e?2
，且
a?5a?te
对任意实数
t
恒成立，则a
的取值范围为 。
2
?
◆答案：
?
?
5,25
?

★解析：不妨设
e?
?
1,0
?
，
a?
?
x,y
?
，由
a?e?2
得
x?2
，
a?5a? te
等价
于
4?y
2
?5
2
?
2?t< br>?
2
?y
2
，即
4?y
2
?5y
， 解得
1?y?4
，所以
?
a?2
2
?y
2
?
?
?
5,25
?
。

2019A 9、在?ABC
中，
BC?a,CA?b,AB?c
，若
b
是
a
与
c
的等比中项，
且
sinA
是
sin
?
B?A
?
与
sinC
的等差中项，求
cosB
的 值．
★解析：因为
b
是
a
与
c
的等比中项，故存 在
q?0
，使得
b?qa,c?q
2
a
①
由sinA
是
sin
?
B?A
?
与
sinC的等差中项，得
ab
2
?c
2
?a
2
，
2sinA?sin
?
B?A
?
?sinC?2sinBcosA
，结合正余弦定理得
?
b2bc
即
b
2
?c
2?a
2
?2ac
，将①代入得
q
4
?q
2?1
，解得
q
2
?
a
2
?c
2
?b
2
q
4
?1?q
2
15?1
所以
c osB?
。
???
22
2ac2qq2
5?1
，
2

2019B 2. 若平面向量
a?
?
2
m< br>,?1
?
与
b?
?
2
m
?1,2
m ?1
?
垂直，其中
m
为实数，
则
a
的模为 ．
◆答案：
10

★解析：由条件得
2
m
?
2
m
?1
?
?
?
?1
?2?2
m
?0
，解得
2
m
?3
，所以
a?3
2
?
?
?1
?
?10
。
2

2019B 3. 设
?
,
?
?
?< br>0,
?
?
，
cos
?
,cos
?
是 方程
5x
2
?3x?1?0
的两根，则
sin
?
s in
?
的值为 ．
◆答案：
7

5
★解析：由已知得
cos
?
?cos
?
?
，
cos
?
cos
?
??
，从而
3
5
1
5
?
sin
?
sin
?
?
2
?
?
1?cos
2
?
??
1?cos
2
?
?< br>
22
?
?
1?cos
?
cos
?
?
?
?
cos
?
?cos
?
?

7
?
4
??
3
?
?
??
?
??< br>?

25
?
5
??
5
?
22

2018A 7、设
O
为
?ABC
的外心，若
AO?AB? 2AC
，则
sin?BAC
的值为
◆答案：
10

4
★解析：取
AC
的中点
D
，则
OD?AC
。由
AO?AB?2AC
得
AO?AB? 2AC?BO
，知
OD?BO
，且
B,A
在直线
OD
同侧。不妨设圆
O
的
半径为
2
，则
AC?OB?1
,
MC1
在
?BOC
中，有余弦
??
，
OC4
BC10
?
定理得
BC?10
,在
?ABC
中，由 正弦定理得
sin?BAC?
。
2R4
cos?BOC?cos90
0
??DOC
??sin?DOC??
1
2
??

2017A 7、在
?ABC
中，
M
为边
BC
的中 点，
N
是线段
BM
的中点，若
?A?
?
3
，
?ABC
的面积为
3
，则
AM?AN
的最小值为
◆答案：
3?1

★解析：由条件知
AM?
131
AB?AC
，
AN?AB?AC
，则
244
22
1??
AM?AN?
?
3AB?AC?4AB?AC
?
，
8
??
??

由
3?S
?ABC
?
13
AB?ACsinA?AB?AC
得
AB?AC?4

2422
所以
AB?AC?2
，所以
3AB?AC?83
，当且仅当
AB?
4
,AC?2?
4
3
3
2
时取等。
22
1
?
则
AM?AN?
?
3AB?AC?4AB ?AC
?
?
?3?1
。
8
??

2017B 4、在
?ABC
中，若
sinA?2sinC
，且三条 边
a,b,c
成等比数列，则
cosA
的值为
◆答案：
?
2

4
sinA
?2
，又b
2
?ac
，于是
a:b:c?2:2:1
，
sinC
b
2
?c
2
?a
2
(2)
2
?1
2
?2
2
2
从而由余弦定理得：
cosA?
. < br>???
2bc4
2?2?1
★解析：由正弦定理知，
?
ac

2016A 9、（本题满分16分）在
?ABC
中，已知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB
，
求
sinC
的最大值。
b
2
?c
2
?a
2
★解析：由数量积的定义及余弦定理知 ，
AB?AC?cbcosA?
．
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
同理得 ，
BA?BC?
，
CA?CB?
．故已知条件化为
22
b
2
?c
2
?a
2
?2(a
2
?c
2
?b
2
)?3(a
2
?b
2
?c
2)

即
a
2
?2b
2
?3c
2
．………………………………8分
由余弦定理及基本不等式，得
1
a
2
?b
2
?(a
2
?2b
2
)
a?b?c< br>3

cosC??
2ab2ab
abab2
???2??

3b6a3b6a3
222
7
．………………………………12分
3
等号成立当且仅当
a:b:c?3:6:5
．因此
sinC
的最大 值是
所以
sinC?1?cos
2
C?
7
．……………16 分
3

2016B 10、（本题满分20分）在
?ABC
中，已 知
AB?AC?2BA?BC?3CA?CB

（1）将
BC,CA,AB< br>的长分别记为
a,b,c
，证明：
a
2
?2b
2?3c
2
；
（2）求
cosC
的最小值．

< br>b
2
?c
2
?a
2
★解析：（1）由数量积的定义及 余弦定理知，
AB?AC?cbcosA?.

2
222222
同理 得，
BA?BC?
a?c?b
,CA?CB?
a?b?c
.
故已知条件化为
22
b
2
?c
2
?a
2
?2a
2
?c
2
?b
2
?3a
2
?b2
?c
2
,
即
a
2
?2b
2
?3c
2
.

????
（2）由余弦定理及基本不等式，得
1
2
a?2b
2
a?b?c
3
cosC??
2a b2ab
abab2
???2??,
3b6a3b6a3
222
a< br>2
?b
2
?
??

2
.

3
等号成立当且仅当
a:b:c?3:6:5.
因此
cosC
的最小 值为

2015A 4、在矩形
ABCD
中，
AB?2
,< br>AD?1
,边
DC
上（包含
D
,
C
）的动点
P
与线段
CB
延长线上（包含
B
）的动点
Q
满足
DP?BQ
,则向量
PA
与向
量
PQ
的数量 积
PA?PQ
的最小值为
◆答案：
★解析：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（
t
, l)
（其中
0?t?2
），则由
|DP|?|BQ|
得Q的坐标为（2，-
t
)，故
PA?(?t, ?1),PQ?(2?t,?t?1)
,因此，
133
PA?PQ?(?t)?(2 ?t)?(?1)?(?t?1)?t
2
?t?1?(t?)
2
??
．
244
13
当
t?
时，
(PA?PQ)
min
?
．
24
3
4

2005*2、空间四点
A,B,C,D
满足
AB?3
，
BC?7
，
CD?11< br>，
DA?9
，则
AC?BD
的
取值
A. 只有一个 B. 有二个 C. 有四个 D. 有无穷多
个
◆答案：A
?
2222
★解析：注意到
3? 11?1130?7?9,
由于
AB?BC?CD?DA?0,
则
DA?DA
=
2
2
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB< br>2
?
BC
2
?CD
2
?2(BC?AB?BC?BC ?CD?CD?AB)?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(A B?

2
BC)?(BC?CD),
即
2AC?BD?AD
2
?BC
2
?AB
2
?CD
2
?0,

?AC?BD
只有一个值为0，故选A。

2014A 7 、设等边三角形
ABC
的内切圆半径为
2
，圆心为
I
。若点
P
满足
|PI|?1
，则
?APB
与
?APC的面积之比最大值为
◆答案：
3?5

2
★解析：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。
设
?BAP?< br>?
，在圆
K
上取一点
P
0
，使得
?
取到最大值
?
0
，此时
P
0
应落在
?IAC
内，且是
AP
0
与圆
K
的切点。由于
0?
??
?
0
?
sin
?
0
S
?APBsin
?
???
???
S
?APC
1
AP?A Csin(?
?
)sin(?
?
)sin(?
?
0
)
2333
1
AP?ABsin
?
2
?
3
，故
?
sin(?
?
)
6
?
sin(?
?
)
6
?

①
其中，
??
?
0
?
由
?AP
0
I?
?
?
6
??IAP
0

IP
0
11
??，于是
cot
?
?15
，所以
AI2r4
3
sin
?
cot
?
?315?33?5
2
???
②
2
3cot
?
?315?3
sin
?
2
S
3?5
根据①、②可知，当
P?P
0
时，
?APB
的最大值为
2
S
?APC
2
?
1
sin(??
)
cos
?
?
6
2
?
?
s in(?
?
)
1
cos
?
?
6
2
知，
sin
?
?

2014B 4、若果三角形
?ABC< br>的三个内角
A,B,C
的余切值
cotA,cotB,cotC
依次成 等差数列，则角
B
的最大值是
?

3
★解析：记
x?cotA
，
y?cotB
，
z?cotC< br>，它们成等差数列，即
2y?x?z
①，由于三个内角和为
?
，所以< br>x,y,z
中至多有一个小于等于
0
，这说明
◆答案：
y? 0
.另一方面，
A?B?
?
?C
，即
xy?1
?? z
，即
xy?yz?zx?1
②，联立
x?y
3
，即
3
①②消去
z
得
x
2
?2yx?(1?2y
2< br>)?0
，有
??12y
2
?4?0
，得
y?
cotB?
?
3
?
，解得
B?
，当且仅当
A?B? C?
时，角
B
取得最大值。
3
3
3

2013A 3、在
?ABC
中，已知
sinA?10sinB?sinC< br>，
cosA?10cosB?cosC
，则
tanA
的值为
◆答案：
11

★于
sinA?cosA?10?
sinBsinC?cosBcosC
?
??10cos
?
B ?C
?
?10cosA
，即
tanA?11


2 013B1、已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为
3和4，则第三条边的边长为 ．
◆答案：
3
或
4

★解析：设第三条边长为
c
。因为是锐角三角形，所以
c
2
?4
3
?3
3?2
2
，
且
c
2
?3
2
?4
2
?5
2
，即
2?c?5
，因为
c
是整数，得c?
3
或
4


2012A 2、设
?ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且满足
3ta nA
的取值为
acosB?bcosA?c
，则
5tanB
◆答案：
4

c
2
?a
2
?b
2
b
2
?c2
?a3
?b??c
,即★解析：由题设及余弦定理得
a?
2c a2bc5
3
a
2
?b
2
?c
2
， 5
a
2
?c
2
?b
2
8
2
a ?c
222
tanAsinAcosBc?a?b
2ac5
?????4 故
b
2
?c
2
?a
2
b
2
?c
2
?a
2
2
c
2
tanBsinBcosA< br>b?
5
2bc
解析：由

2012B 5、在
?AB C
中，若
AB?AC?7
,
AB?AC?6
,则
?ABC< br>面积的最大值
为
◆答案：
12

★解析： 记
BC
的中点为
M
，则
AM?
22
1
AB ?AC
,
2
??
因为
AB?AC?AB?AC?4AB?AC?6 4
，所以
AB?AC?8
，从而
AM?4

所以
S
?ABC
??BC?AM?12
（当且仅当
AM?BC
，即
AC?AB?5
时，取
等号）
故所求面积最大值为
12
。
另法：由
AB?AC?7
得
bccosA?7
，由
AB?AC?6
，平方可得
b
2
?c
2
?50
，
所以< br>S
?ABC
11
22
1
?
b
2
?c
2
?
2
??
?bcsinA?bc?
?
bccos A
?
??49?12
（当且仅
??
222
?
2?
2
1
2
当
b?c?5
时，等号成立），所以所求面积 最大值为
12
。

2008AB 6、设
?ABC
D的内 角
A,B,C
所对的边
a,b,c
成等比数列，则

s inAcotC?cosA
的取值范围为（ ）
sinBcotC?cosB
5?15?15?1
)
C.
(,)
D. A.
(0,??)
B.
(0,
222
5?1
(,??)

2
◆答案：C
★解析：设
a、b、c
的公比为
q
，则
b?aq,c?aq
2
，而
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC

?
si n(A?C)
?
sin(
?
?B)
?
sinB
?< br>b
?q
．
?
sinBcotC?cosBsinBcosC?cos BsinC
sin(B?C)sin(
?
?A)sinAa
因此，只需求q
的取值范围．因为
a、b、c
成等比数列，最大边只能是
a
或
c
，因此
a、b、c
要构成三角形的三边，必须且只需
a?b?c< br>且
22
??
?
a?aq?aq,
?
q?q?1?0,
即
?
2

b?c?a
．即有不等式组
?
2
??
?
aq?aq?a
?
q?q?1?0.
?
1? 55?1
?q?,
?
5?15?1
22
?q?
得
?
从而，
?
22
?
q?
5?1
或q??
5 ?1
.
?
?22
因此所求的取值范围是
(
5?15?1,)
．
22


2007*8、在
?ABC
和
?AEF
中，
B
是
EF
的中点，
AB?EF?1
，
BC?6
，
CA?33
，若
AB?AE?AC?AF?2
，则
EF
与
BC
的夹角的余弦值为
◆答案：
★解析：因为
AB?AE?AC?AF?2
，所以
AB? (AB?BE)?AC?(AB?BF)?2
，
即，
AB?AB?BE?AC?AB? AC?BF?2
33?1?36
AC?AB?33?1???1
，
BE??B F
，所以
1?BF?(AC?AB)?1?2
，
2?33?1
AB? 1
2
2
3
。因为
2
即
BF?BC?2
。设
EF
与
BC
的夹角为θ，则有
|BF|?|BC|?cosθ?2< br>，即
3cos
?
?2
，所以
cosθ?
2
。
3

2006*1、已知
?ABC
，若对任意
t?R
,
BA?tBC?AC
，则
?ABC
一定为
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形
D.答案不确定
◆答案：C
★解析：令
?ABC?
?
， 过A作
AD?BC
于D。由
BA?tBC?AC
，

推出
BA?2tBABC?tBC?AC
,令
t?
2
222
BABC
BC
2
，代入上式，
22
得< br>BA?2BAcos
2
?
?cos
2
?
BA?AC< br>，即
BAsin
2
?
?AC
,
也即
BAsin
?
?AC
。从而有
AD?AC
。由此可得
?ACB?
。
2
2222
?

2005*3 、
?ABC
内接于单位圆，三个内角
A,B,C
的平分线延长后分别
ABC
?BB
1
cos?CC
1
cos
222
的 值为 交此圆于
A
1
,B
1
,C
1
. 则
sinA?sinB?sinC
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8

AA
1
cos
◆答案：A
★解析：如图，连
BA
1
，则
AA?B?CBCBC
AA
1
?2sin(B?)?2sin(??)?2cos(?).

22222 2
ABC
?
AA?B?CA?C?B
?cos?sinC?sinB
，所以
AA
1
cos?2cos
?

?
?
?
cos?cos
2222
?
22
?
BC
BB1
cos?sinA?sinC
,
CC
1
cos?sinA?s inB
。
22
ABC
所以
AA
1
cos?BB< br>1
cos?CC
1
cos?2
?
sinA?sinB?sin C
?
，即可求得。
222

2004*4、设点
O
在
?ABC
的内部，且有
OA?2OB?3OC?0
,
则
?ABC
与
?AOC
的面积的比为
1< br>A
B
O
S
C
B
35
A.
2
B. C.
3
D.
23
D
C
1
◆答案：C
★解析：如图，设面积
? AOC?s
，则
?OC
1
D?3s
，
?OB
1D??OB
1
C
1
?3s
，
?AOB??OBD?1 .5s
．
?OBC?0.5s
，
进而得
?ABC?3s
。

2001*4、如果满足
?ABC?60
0
，
AC?12
，
BC?k
的
?ABC
恰有一个，那
么
k
的取值范围是
A.
k?83
B.
0?k?12
C.
k?12
D.
0?k?12
或
k?83

◆答案：D
ACk
?
,得
k?83sinA
，显然
A?(0
0
,120
0
)
，
0
sinA
sin60
要使得
?ABC恰有一个，则
A?(0
0
,60
0
)
或
A?9 0
0
，得
0?k?12
或
k?83

★解析：根据正弦定理得

1999*9、在
?ABC
中，记
BC?a
，
CA?b
，
AB?c
，
9a
2
?9b
2
?19c
2
?0
，则

cotC< br>?
_______．
cotA?cotB
5
◆答案：
9< br>cotCsinAsinBcosCaba
2
?b
2
?c
2< br>a
2
?b
2
?c
2
5
??
2
???
★解析：
cotA?cotB2ab9
sin
2
Ccc
2

1993*5、在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边长分别为
a,b,c
，若
c?a
等于
AC
边
上的高
h，则
sin
C?A
?cos
C?A
的值是( )
22
1
2
1
3
A.
1
B. C. D.
?1

◆答案：A
★解析：由题设得
2R
?
sinC?sinA
?
?csinA?2R sinCsinA
，即
sinC?sinA?sinCsinA
，
即
2cos
C?AC?A11
?
C?AC?A
?
sin?
?
cos(C?A)?cos(C?A)
?
?
?
1?2sin
2
?2cos
2
?1
?
2222
?
22
?
2
．
C?A
?
C?AC?A
?
?
C?A
sin?cos?0
，故选A． 整理得
?
，又
sin?cos?1
??
??
22
?
22
?
?
?
< br>1992*4、在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别记为
a,b,c
(
b?1
)，且
,
是方程
log
bx?log
b
(4x?4)
的根，则
?ABC
( )
A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰
三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三
角形
◆答案：B
★解析：由题意得
x
2
?4x?4
．根为x?2
．∴
C?2A
，
B?180
0
?3A
，
sinB?2sinA
．所以
sin3A?2sinA
，即
3?4s in
2
A?2
．得
A?30
0
,B?90
0
,C?60
0
．选B．

1991*8．在
?ABC
中，已知三个角
A,B,C
成等差数列，假设它们所对的
边分别为
a,b,c
，并且
c?a
等于
AC
边上的高
h
，则
C ?A
?
．
2
1
◆答案：
2
sin
CsinB
都
AsinA

★解析：易知
h?c?a?
hh
，
sinAsinC?sinC?sinA
，由已知，< br>?
sinAsinC
A?C?120
0
．
1C?AC?AC ?A3
∴
cos
?
C?A
?
?cos120
0?2sincos60
0
，即
sin
2
?sin??0
，
22224
C?A3C?A1
即
sin??
(舍去)，
sin?
．
2222
??

1988*8．在
?ABC
中，已知
?A?
?
，
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
上的高，
DE
?
．
BC
◆答案：
cos
?

则
★解析：注意到
?AED~?ABC
，

DEAD
??cos
?
．
BCAC
1
4
1986*6、边长为
a,b,c
的三角形，其面积等于，而外接圆半径为
1
，若
111
??
，则
s
与
t
的大小关系是（ ）
abc
A.
s?t
B.
s?t
C.
s?t
D.不确定
s?a?b?c
，
t?
◆答案：C
★解析：
S
?
?absinC?
等
t?
1
2
abc1
，由
R?1
，
S
?
?
，知
abc?1
．且三角形不是
4R4
边三角形．∴
111111a?b?c
???????a?b?c?s
．(且等号不
abc
abcbacabc
成立)．选
C
．

1985*7、在
?ABC
中，角
A,B,C
的对边分别 为
a,b,c
，若角
A,B,C
的大小成
等比数列，且
b< br>2
?a
2
?ac
，则角
B
的弧度为等于 ．
◆答案：
2
?

7
★解析：由余弦定理，
b< br>2
?a
2
?c
2
?2accosB
．故
ac ?c
2
?2accosB
．
即
a?c?2acosB
．所 以
sinA?sin
?
A?B
?
?2sinAcosB?sin?
B?A
?
．
∴ 由
b?a
，得
B?A．
A?B?A
，即
B?2A
，
C?4A
．或
A ?B?A?
?
(不
可能)
∴
B?
2
?
．
7

1985*一、在直角坐标系< br>xOy
中，点
A(x
1
,y
1
)
和点
B(x
2
,y
2
)
的坐标均为一位
的正整数．
O A
与
x
轴正方向的夹角大于
45
0
，
OB
与
x
轴正方向的夹角

小于
45
0
，
B
在
x
轴上的射影为
B

，

A
在
y
轴上的射影为
A

，
?OBB

的
面积比
?OAA

的面积大
33.5
，由
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
组成的四位数
x
1
x
2
y
2
y
1
?x
1
?103
?x
2
?10
2
?y
2
?10?y
1
．试求出所有这样的四位数，并写出求
解过程．
★解析：由题意得
x2
y
2
?x
1
y
1
?67
，
x
1
?y
1
，
x
2
?y
2
， < br>且
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
都是不超过10的正整数．
∴
x
2
y
2
?67
，则
x
2
y
2
?72
或
81
．但
x
2
?y
2
，故
x
2
y
2
?8 1
舍去．
∴
x
2
y
2
?72
．即
x
2
?9
，
y
2
?8
．
∴
x
1
y
1
?72?67?5
．
x
1
?1< br>，
y
1
?5
，∴
x
1
x
2
y
2
y
1
?1985
．

1984*9、如图，
AB
是单位圆的直径，在
AB
上任取一点
D
，作
D C?AB
，
交圆周于
C
，若点
D
的坐标为
D(x, 0)
，则当
x?
时，线段
y
AD
、< br>BD
、
CD
可以构成锐角三角形．
1
C
◆答案：
?
2?5,5?2
?

B< br>A
O
D
1
x
★解析：由对称性，先考虑
0?x?1< br>的情况，设
AD?a,BD?b,CD?c
，
则
a?b?2
，
ab?c
2
，且必有
a?c?b
，于是只要考虑
c
2
?b
2
?a
2
，
即
?
1?x
??
1?x
?
?
?
1?x
?
2
?
?
1?x
?
2
，解得
0?x?5?2
．∴
2?5 ?x?5?2
．

1983*3、已知等腰三角形
ABC
的底边< br>BC
及高
AD
的长都是整数，那么，
sinA
和
co sA
中（ ）
A.一个是有理数，另一个是无理数； B.两个都是有理数；
C.两个都是无理数； D.是有理数还是无理数要根
据
BC
和
AD
的数值来确定。
◆答案：B
★解析：
tan
A
为有理数，得
sinA和
cosA
都是有理数．选B．
2

1983*8、任意?ABC
，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别
为
l
、
R
与
r
，那么（ ）
A
．
l?R?r

B
．
l?R?r

C
．
?R?r?6l

D
．
A,B,C
三种关系
都不对
◆答案：C
a
，当
A?180
0
时，
a
最大，而
R
可大 于任意指定的正
2sinA
3
a?l
， 否数
M
．从而可有
R?6l
，否定A、C．又正三角形中，
r?R?
2
l
6< br>★解析：
R?
定B．故选D．

1983*9、在
?ABC
中，
sinA?
于 ．
◆答案：
16

65
35
，
cosB?
，那么
cosC
的值等
513
★解析：
cosA??
41 24
，
sinB?
，但若
cosA??
，则
A?1350
，
5135
54
．∴
cosB??cos60
0< br>，则
B?60
0
，矛盾．故
cosA?
135
16< br>cosC??cos(A?B)?
．
65

1983*10、三边均为整数，且最大边长为
11
的三角形，共有 个．
◆答案：
36

★解析：设另两边为
x,y
，且x?y
．则得
x?y?11
，
x?y?11
，在直角坐
标系内作直线
y?x
，
y?11
，
x?11
，
x? y?11
，则所求三角形数等于由
此四条直线围成三角形内的整点数．(含
y?11< br>，
y?x
上的整点，不含
x?y?11
上的整点)共有
12< br>2
?4?36
个．